四川省泸州市合江县部分学校2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

合江县部分学校高2024级高二下学期五月学业练习 数学试题 （考试时间：150分钟；试卷满分：120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知函数在处的导数为2，则（ ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则等于（ ） A．6 B．11 C．22 D．43 4．在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ） A．12 B．18 C．30 D．36 5．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设，，（为自然对数的底数），则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 10．已知等差数列前项和为，公差为，是和的等比中项，则（ ） A． B．数列是递增数列 C． D．有最大值为 11．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等比数列中，，则________． 13．点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小________． 14．已知曲线在点处的切线与在点处的切线平行，若点的纵坐标为1，则点的纵坐标为________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）设数列满足，求的前项和． 16．（本题满分15分）已知函数． （1）求的单调区间及最小值点； （2）若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围； 17．（本题满分15分）如图，在四面体中，面，． （1）求证：面面； （2）若，于，求平面和平面夹角的余弦值． 18．（本题满分17分）已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数a的值． 19．（本题满分17分）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别与曲线相交于，和，，求四边形面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $合江县部分学校高2024级高二下学期五月学业练习 数学试题参考答案 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 C C D D A C ABD AC ABC 12.±4 1音 14.11 15.解：(1)当n=1时，24-4=1，即4=1， f2a-Sn=n① 当n≥2时，联立 2a1-Smn1=n-1② ①-②，可得2a.-20-1-4=1, 即4=20-1+1， 所以+2a+2=2, a+1a+1 又4+1=2，所以{a+1}是以2为首项，2为公比的等比数列： (2)由(1)可得a+1=2”,则4=2”-1，bn=2”+n-1, 所以Tn=b+b+b3++bn-1+b =2+0+22+1+23+2+.+2-1+n-2+2”+n-1 =(2+22+23++2-1+2”）+(0+1+2+…+n-2+n-1) _21-2"）m-10n=21+0n-1n-2. 1-2 2 2 16.(1)解：函数f(x)=x3-3x+a的定义域为R, 又f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 当x<-1或x>1时，f(x)>0,当-1<x<1时，f(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(1，+o),单调递减区间为(-1,1)： f(x)的最小值点为1. (2)由(1)可知当x=-1时，f(x)有极大值，且极大值为f(-1)=3; .∴.a=1 令x3-3x+1=3得，x=-1或2，所以，所求m的取值范围为(1,2] 第1页/共4页 17.(1)PB:PC:BC=V3:√2：1，BC⊥PC, PA⊥面ABC,BC⊥PA,PA∩PC=P→BC⊥面PAC, .BCC面PAC,∴.面PAC⊥面PBC. (2)由题意知，PA=BC=2,PB:PC:BC=√3：V2:1,则AC=2 以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴，过C点垂直于底面的线为二轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),P(0,2,2),设BD=BP,则D(2-2九，2元，2)， :ADLP,A号D号净 224、 iC4=0 2y=0 设平面DAC的法向量为=(x,y,2),则 了224 i.CD=0 3x y+ 2=0 3 3 令x=2,则y=0,z=-1,.i=(2,0,-1) 同理平面DBC的法向量为V=(0,-1,-1), 设平面DAC和平面DBC夹角为O,则cosO= a_V10 阿10,2 ·.平面D4C和平面DBC夹角的余弦值为V10 10 18解：(1)f(y=2adr+号x-(a+2x 则f(y)=20+x-a+2)=-a+2r+2a_《-2x-四k>0), 当a≤0时，f(x)在(0,2)上递减，在(2，+o)上递增； 当a=2时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当0<a<2时f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,2)上单调递减，在(2，+n)上单调递增； 当a>2时f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，在(a,+w)上单调递增： (2)不等式f)+e-alnx-x+(a2xe,即为e+adr之e, 设()=e+ar,xe(0,+o),则r'(x)=e+-xe+a 设g(x)=e*+a,x∈(0，+∞)， 第2页/共4页 当a≥0时，g(x)>0,可得F'(x)>0,则F(x)单调递增， 此时当x=1,F(1)=e,而当0<x<1时，F(x)<e,故不满足题意： 当a<0时，由g'(x)=(x+1)e>0,g(x)单调递增， 当x无限趋近0时，g(x)无限趋近于负数a,当x无限趋近正无穷大时，g(x)无限趋近于正无穷大，故8(x)=0 有唯一的零点， 即eo+a=0,则e=-a ，+i=(a, 当x∈(0，)时，g(x)<0,可得F'(x)<0,F(x)单调递减： 当x∈(，+o)时，g(x)>0,可得F'(x)>0,F(x)单调递增， 所以F()a=Fk)=es+alm=-a+an(axn] =t(a-m是a血(o)-as+》 因为x>0,可得+22，当且仅当，=1时，等号成立， 所以ahn(-a）-a+ 1≥adn(-a)-2a 因为F(x)≥e恒成立，即an(-a)-2a≥e恒成立， 令h(ad=adn(-a)-2a,ae(-o,0),可得N(a=h(-ad)+1-2=n(-ad-1, 当a∈(-n,-e)时，(a)>0,h(a)单调递增： 当a∈(-e,0)时，t'(a<0,h(a单调递减，所以h(a≤h(-e)=e,即(a)≤e 又由h(a≥e恒成立，则h(d=dn(-a-2a=e,所以a=-e. 19解：(1)=22，即c=V2,又e-6,即S-6 E 3 a 3 a=5, F :公=1，赦椭圆C的方程为+y=1 3 (2)设四边形EPQ面积为S,当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在， 第3页/共4页 不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合， 1-20-25,且0方程为=5，将=5与号y-1民立 求网两交h为点5.5-写阳-29,8阳-2 3 当直线Pg与直线EF有一条斜率为可设直线P9的方程为x=my+√2， x=my+√2 P(,y),(化，y),联立方程x 3+21 得(m2+3)y2+2W2y-1=0且△=12(m2+1)>0恒成立， 2√3(m2+1) …为+3= 22m.3P四+m+均-4 m2+3 m2+3 同理可得c=2y5m+), 3m2+1 s-e-2m"20-。 (2+1)2 3m2+1 (m°+3)3m+1) 1 令t=m+1,则m2=t-1,t≥1，S=6: =6 t+2061-2）04+4 P++3 t 令u=}e0,,则S=64r+4u+3 1 :=r++3在(0宁上单调造增，在兮上单调递减，yc34,故S,2引 第4页/共4页 合江县部分学校高2024级高二下学期五月学业练习 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C D C D A C ABD AC ABC 12. 13. 14. 11 15. 解：（1）当时，，即， 当时，联立 ①－②，可得， 即， 所以， 又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，， 所以 ． 16. （1）解：函数的定义域为， 又， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 的最小值点为1. （2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为； 令得，，所以，所求的取值范围为. 17.（1），， 面ABC，，面， 面PAC，面面PBC. （2）由题意知，，，则. 以C为坐标原点，为x轴，为轴，过点垂直于底面的线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，设，则， ，， 设平面DAC的法向量为，则， 令，则，， 同理平面的法向量为， 设平面和平面夹角为，则，2 平面和平面夹角的余弦值为. 18.解：（1） 则，    当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （2）不等式，即为， 设，，则，   设，， 当时，，可得，则单调递增， 此时当而当时，，故不满足题意；    当时，由，单调递增， 当x无限趋近0时，无限趋近于负数a，当x无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点， 即，则，， 当时，，可得，单调递减； 当时，，可得，单调递增， 所以 ， 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以   因为恒成立，即恒成立， 令，，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，即      又由恒成立，则，所以. 19. 解：（1）由，即，又，即，， ，故椭圆C的方程为. （2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在， 不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合， ，且PQ方程为，将与联立， 求得两交点为，，，故. 当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为， ，，联立方程， 得且恒成立， ，， 同理可得， 令，则，， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减，，故. 第1 页 / 共1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $