四川泸州市合江县部分学校2025-2026学年高二下学期第一学月考试数学试题

**基本信息** 高二数学月考卷立足基础，综合考查数列、导数、立体几何、椭圆等核心知识，解答题注重知识交汇（如三棱台二面角与线面角、椭圆与平行四边形结合），体现数学思维的逻辑性与空间观念的建构，适配学月阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数列概念、导数几何意义、异面直线角|通过正误判断（如数列定义）、几何计算（长方体线线角）考查基础认知| |多选|3/18|等差数列性质、等比数列综合|结合等差数列片段和性质（如S₃,S₆-S₃,S₉-S₆成等差）考查推理能力| |填空|3/15|等比数列性质、前n项和|以等比数列对数运算、前n项和公式应用（S₁₀=1求S₄₀）检测运算能力| |解答|5/77|导数切线、数列求和、三棱台证明与角、椭圆方程|18题结合三棱台证明与二面角、线面角关系，19题椭圆与平行四边形存在性问题，考查空间观念与模型观念|

合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试 数学试题参考答案 一、单项选择题 1、B 2、D 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、C 二、多项选择题 9、ACD 10、ABD 11、BC 三、填空题 12、10 13、40 14、2020 四、解答题 15、【答案】（1）y＝13x－32；（2）y＝4x－18或y＝4x－14． 【详解】（1）由函数f (x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f (x)上，∴f '(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f '(2)＝13， ∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32； （2）∵曲线f (x)的某一切线与直线y＝－＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4， 设切点的坐标为(x0，y0)， 则f '(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或 故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)， 即y＝4x－18或y＝4x－14． 16、【详解】且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以； （2）由（1）知，， 所以 ． 17、【详解】（1）由，则，，…，， 累加得：，验证a1＝1成立， 所以； （2）由（1），， 所以...1． 当时，，则0，所以． 18、【详解】（1）如图，取AC的中点O，连接OD，OB，，． 因为，所以． 又，平面， 所以平面，又平面， 所以．………………2分 因为，所以； 因为，所以四边形为等腰梯形． 所以，又，， 所以，所以． 又，所以D为的中点． （2）作平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，， 所以为二面角的平面角，即．由题意知，，，， ，， 则，． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，，所以．又， 所以． 因为，所以． 所以，即的取值范围是． 19、【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可； （2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程. 【详解】（1）由题意知：，则，故椭圆的方程为； （2） 设，又，故，又直线经过点，故的方程为， 联立椭圆方程可得，显然，， 则， 又，由，可得， 解得或， 故直线的方程为或． ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试 数学试题参考答案 一、单项选择题 1、B 2、D 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、C 二、多项选择题 9、ACD 10、ABD 11、BC 三、填空题 12、10 13、40 14、2020 四、解答题 15、【答案】(1)y=13x-32;(2)y=4x-18或y=4x-14. 【详解】(1)由函数fx)的解析式可知点(2，一6)在曲线y=fx)上，f'(x)=(x3+x一16)'=3x2+1, .在点(2，一6)处的切线的斜率为k=f"(2)=13, .切线的方程为y-(-6)=13(x-2),即y=13x-32: (2):曲线fx)的某一切线与直线y=一X+3垂直，“该切线的斜率k=4, 4 设切点的坐标为(xo,yo), 则f)=36+1=4,o=,:=1,或 o=-1, y0=-14y0=-18. 故切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-（-18)=4x+1), 即y=4x-18或y=4x-14. 16、【详解】~n≥l且neN,有S,=r+n, 1 2 2 当neNn22时，有80-少P+0m-, 两式得ar+-m-+r-小初-1 32 ,1 当n=1时，由8.=r+2→4=2，适合a=3n-1, 所以an=3n-1; (2)由(1)知，6=1 171 1 a.a1(31-1)3n+2)33-13n+2 第1页共4页 m以工=+格++=0投动非》 n 17、【详解】(1)由a-41=2-1,则4-4=2-1,4-4=22-1，，4-an-1=2-1-1(n之2)， 累加得：a,=1+2+22++2-1-(-1)= x-2）-+1=2-m,验证a=1成立， 1-2 所以4=2”-n: 2)由1)，6-82-=2*m-111 a.aH(2”-n(2m-n-12”-n2-h1' 所以 8=-+6-nnn 28-n-1 当n≥1时，2+>n+1,则 1 +1-n-1 >0,所以Sn<1. 18、【详解】(1)如图，取AC的中点O,连接OD,OB,OA,OC1. 因为AB=BC,所以AC⊥OB. 又AC⊥BD,BO∩BD=B,BO,BDC平面OBD, A B 所以AC⊥平面OBD,又ODC平面OBD, 所以AC⊥OD.…2分 B 因为AC∥AC,所以AC⊥OD: 因为AA=C,C,所以四边形ACCA为等腰梯形. 所以∠AAO=∠CCO,又AA=CC,AO=C0, 所以△AAO≌△CCO,所以OA=OC1. 又AC⊥OD,所以D为AC的中点. 第2页共4页 (2)作O⊥平面ABC,建立如图所示的空间直角坐标系， 由(1)知OD⊥AC,OB⊥AC, 所以∠BOD为二面角C-AC-B的平面角，即∠BOD=a&.由题意知A1,0,0),B(0,3,0), ics-(.5.9).c 设平面BB,CC的一个法向量为i=(x,y,), CB.=0, x+V3y=0 则 cC.=0, sin a =0 2 取x=-5,则y=1,:=1=cosa,所以n=-5,1l=cos“ .又A4= 15 sin a 2'2 所mB=eo(4,列= 44·列 √5 4同 2 3 1+cosa 因为a∈ π2π 117 33 所以cosa∈ 22 所以sinB∈ √2313 √2133 7’13 即sinB的取值范围是 713 19、【答案】(1) +y2=1: 4 (2)y=±5+5或y-5 2 2 2 【分析】(1)直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可； (2)设D(4,t),由kAD=k表示出直线l的斜率，进而写出直线I的方程，联立椭圆求出弦长BC, 由BC=AD求出t,即可求得直线I的方程 【详解】(1)由愿意知：a=2三-5，则6：=G-c-,故椭圆M的方程为 +y2=1: a 2 第3页共4页 2 x=-4 (2) D 设X-40BC,⅓为又4(-2.0，故人如=号=太g,又直线I经过点 0」 2 故的方程 为y=-{x+ 2x+2 -5+5 y= 联立椭圆方程 2可得1+)x-25-1=0,显然△>0，+名=1牛4=1+’ 231 1 x 4+21 则qs- 4 V(4+）+(42+1) 1+t2 1+t2 MD=4+f,sC=AD,可得4++ 1+2 2=4+t, 解得t=±√2或t=0, 故直线1的方程为y=±5x+5或y-5 2 2 第4页共4页合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试 数学试题 (考试时间：120分钟；试卷满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分) 1、下列四个选项中，不正确的是() A.数列的图象是一群孤立的点 B.数列1,0,1,0，.与数列0,1,0,1，.是同一数列 。数列时子号的一个通限公式是a=后aeN) n+1 D数列时·子一品是滋陕数列 2n 之自线了)-6+2在=1处的切线领角是() 1 C. D. 2 B 6π 3、在长方体ABCD-A,B,CD中，AB=1,AD=√，A4=V3,则异面直线AB与AC,所 成角的余弦值为() A.4 B.-V3 14 13 c v6 01 6 3 4、设函数f(x)在x=1处存在导数为3，则1im f1+△x)f但-() △x0 3△ A.1 B.3 C.6 D.9 5、己知函数f(x)=f'()x3+x2,则f(3)+∫'(2)() A.-12 B.12 C.-26 D.26 6、设S,为正项等比数列{a}的前n项和，4,3a,a成等差数列，则令的值为《) A. 1 16 B: C.16 D.17 第1页共4页 不已克多a}ea-居小a2 (n∈N),若对于任意neN都有a.>a1,则实 a-7,n≤8 数a的取值范围是( 03 B. D &、椭圆C: +3」(a>b>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任 意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，则OP·PF的取值范围 为() A.(-16,-10) B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9、近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调 控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成 房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案 中，在时间[0，]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是() Q Qo Q D T T 第2页共4页 10、记Sn为等差数列{a}的前n项和，则() A.S,S%-S,S-S6成等差数列 B S6. 3’69 成等差数列 C.S,=2S6-S3 D.S,=3(S6-S) 11、己知等比数列{an}满足：a>0,4,·4=8a,4+a,=6a,,则下列结论中正确的有（) A.41=2 B.d=2" c.若u,1eN,Qa=16,则品+升的最小值为是 D.存在，n,pEN,且l<n<卫，使得am+an=a。 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12、等比数列{an}的各项均为正数，且4，a4。+a,47=18,则 10g,a1+l0g3a2++l0g34o= 13、己知等比数列{4}的前n项和为Sm,So=1,S30=13,S4o= 14、在数列{an}中，已知4=2，a,an-1=2an-1-1(22,n∈N),记数列{a}的前n项之积为T., 若T,=2021,则n的值为 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15、(本题满分13分) 己知函数f(x)=x3+x一16. (1)求曲线y=f(x)在点(2，一6)处的切线的方程： (2)如果曲线)6的某一切线与直线=一子+3垂直，求切点坐标与切线方程， 16、(本题满分15分) 已知数列{o,}的前n项和为S,S-3 1 n2+1nneN,n≥1) 22 (1)求{am}的通项公式： (2)若b-1 ，求数列{bn}的前n项和Tn. ad 第3页共4页 17、(本题满分15分) 在数列{a}中，4=1，a。-a-1=2”-1-1(n≥2). (1)求{an}的通项公式： (2)设bm=3+n- ,记数列{b}的前n项和为Sn,证明：Sn<1. adt 18、（本题满分17分) 如图，在三棱台ABC-AB,C,中，AB=BC=CA=2,AA=AC1=CC=1,点D在棱AC1上，且 AC⊥BD. ≥B (1)求证：D为AC的中点： (2)记二面角C,-AC-B的大小为C,直线AA与平面BBCC所成的角为B,若a∈ π2π 33 求 sinB的取值范围. 19、（本题满分17分) 示+F=1a>b>0)的左顶点为A(20),离心率为5 椭圆M:+y2 (1)求椭圆M的方程： (2)已知经过点 0, 的直线I交椭圆M于B,C两点，D是直线x=-4上一点.若四边形ABCD为 2 平行四边形，求直线的方程。 第4页共4页 合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试 数学试题 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1、下列四个选项中，不正确的是（ ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C．数列，，，，…的一个通项公式是 D．数列，，…，是递减数列 2、曲线在处的切线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3、在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4、设函数在处存在导数为，则（ ） A． B． C． D． 5、已知函数，则（ ） A．－12 B．12 C．－26 D．26 6、设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ） A． B． C． 16 D． 17 7、已知数列满足，若对于任意都有，则实数取值范围是（ ） A． B． C． D． 8、椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则•的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9、近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ） A． B． C． D． 10、记Sn为等差数列{an}的前n项和，则（ ） A．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列 B．，，成等差数列 C．S9＝2S6﹣S3 D．S9＝3（S6﹣S3） 11、已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（ ） A． B． C．若m，，，则的最小值为是 D．存在m，n，，且，使得 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12、等比数列的各项均为正数，且，则__________． 13、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝__________． 14、在数列中，已知， (n≥2，)，记数列的前n项之积为，若，则n的值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15、（本题满分13分） 已知函数f (x)＝x3＋x－16． （1）求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线的方程； （2）如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程． 16、（本题满分15分） 已知数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17、（本题满分15分） 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设bn，记数列的前n项和为，证明：． 18、（本题满分17分） 如图，在三棱台中，，，点D在棱上，且． （1）求证：D为的中点； （2）记二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 19、（本题满分17分） 椭圆的左顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程． ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $