11.1因式分解课件2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦因式分解概念及与整式乘法的联系，通过“回顾与思考”从整数因数分解（如6=2×3）类比多项式因式分解（如x²-1=(x+1)(x-1)），搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于运用类比方法和几何直观（数学眼光），通过拼图面积（a²+2ab+b²=(a+b)²）帮助理解，结合典型例题辨析（数学思维）明确因式分解与整式乘法的逆关系。能发展学生抽象能力和推理意识，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第11章 因式分解 第一课时 因式分解 学习目标 1、理解因式分解的概念以及与整式乘法的联系和区别。 2、通过从因数分解到因式分解的类比过程和用几何图形解释因式分解意 义的过程，能感受类比的数学方法，并能发展几何直观。 问题1 6 等于 2 乘哪个整数？ 6＝2×3 问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？ 回顾与思考 3 1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 合作探究 2.根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x-1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 4 新课讲授 类似地,我们可以将多项式化成整式的乘积形式吗？ 思考： 新课讲授 思考： (1)仿照上面的算式,怎样将a2+2a化成整式的乘积形式? a2+2a =a(a+2) a2+2a的因式 新课讲授 (2)联想平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,怎样将x2-4化成整式的 乘积形式? x2-4 =(x+2)·(x-2) x+2与x-2是x2-4的因式。 观察与发现 方法一：=2400 2400 方法二：能被50整除其实就是这个式子能化成几个因数乘积的形式，期中一个因数为50。 =48 逆用乘法对加法的分配律 =48 所以能被50整除。 类似的，我们可以将多项式化成为整式乘积的形式。 思考一下还能被哪些数整除？ 思考与交流 （1）仿照上面的算式，怎样将a 化成整式乘积的形式。 a=a+2 是a的因式 从左到右 把多项式化成了整式乘积的形式。 从右到左 是单项式×多项式，是整式的乘法。这是两种形式的恒等变形。 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把2叫作6的一个因数．同理，3也是6的一个因数． 对于多项式 ，有多项式 x－1使得 ，我们把x+1叫作 x2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式． 10 定义： 像这样，把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式,叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式. 概念学习 一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式． 11 x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 12 新课讲授 a2+2a=a(a+2) x2-4=(x+2)·(x-2) a2+2ab+b2=(a+b)2 观察等式两边，它们有什么共同特点？ 多项式 几个整式乘积 新课讲授 概括与表达 把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这种式子变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。 新课讲授 注意：正确区分整式乘法与因式分解！ x2-4 (x-2)(x+2) 因式分解 整式乘法 联系：整式乘法和因式分解是方向相反的代数恒等变形。 因式分解与整式乘法的区别和联系： 区别：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式。 整式乘法则是把几个整式的积化成一个多项式的形式。 思考与交流 （2）联想特殊形式的多项式×多项式中的平方差公式： (a-b)(a+b)=, 从右到左 =(a-b)(a+b)化成了乘积的形式。怎样将 =(x+2)(x-2), x+2与x-2是的因式。 从左到右，多项式分解成整式乘积的形式。 从右到左，是整式的乘法。它们互为逆运算。 思考与交流 左边四个图形的面积和为：2ab+ 拼成的右边大正方形的面积为： 所以2ab+= 从左到右，多项式化成整式乘积的形式 从右到左是整式的乘法。 典例精析 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 18 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的 有 ，不是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式， 是整式乘法 每个因式必须是整式 19 典例分析 例 下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解? 为什么? (1)a2-2ab+b2=(a-b)2; (2)x2+2x+3=(x+1)2+2; (3)x2y-xy2=xy(x-y)。 解:(1)因为右式(a-b)2 是a-b与a-b的乘积形式,且左式=右式, 所以这个变形是因式分解。 (2)因为右式(x+1)2+2不是整式的乘积形式,所以这个变形不是因式分解。 (3)因为右式xy(x-y)是x,y,x-y的乘积形式,且左式=右式,所以 这个变形是因式分解。 学以致用 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． A 学以致用 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． A 概括与表达 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。 整式的乘法与因式分解是方向相反的代数恒等变形。 整式的乘法与因式分解互为逆运算 概括与表达 a (x+2)(x-2) 2ab+ 因式分解 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解后，是整式乘积的形式 多项式即和的形式 乘积的形式 ① ② 有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为 进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得 例如 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁． 25 例2 检验下列因式分解是否正确？ (1) x2 y-xy 2=xy(x-y)； (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1); (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2). 用什么方法检验 因式分解是否 正确呢？ 分析：看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等. 26 解：(1)因为xy(x-y)=x2 y-xy 2， 所以因式分解 x2 y-xy2 =xy(x-y)正确； (2)因为(2x+1)(2x-1)= 4x2-1, 所以因式分解 2x2-1=(2x+1)(2x-1)错误； (3)因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2， 所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确. 27 课堂小结 你这节课有什么收获？ 1、因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这种式子变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。 2、因式分解与整式乘法的区别和联系： 联系：整式乘法和因式分解是方向相反的代数恒等变形。 区别：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式。 整式乘法则是把几个整式的积化成一个多项式的形式。 $