第11章 因式分解 素养基础测试卷-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（青岛版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的核心知识，涵盖提公因式法、平方差公式、完全平方公式及分组分解法，通过典型例题将各方法串联，构建“概念-方法-应用”的知识网络，清晰呈现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于融入新考向设计，如“神秘数”新定义题培养数学眼光，代数推理题发展数学思维，结合图形面积推导公式强化数学语言表达。题目难度分层（★☆☆至★★★）满足不同学生需求，助力教师精准复习，有效提升学生知识巩固与素养发展。

第11章　素养基础测试卷 时间：90分钟 满分：120分 初中同步培优卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.(2025山东聊城东阿期末,★☆☆)下列各式从左到右的变形, 是因式分解的是 (        ) A. (a+3)2=a2+6a+9 B. a2-4a+4=a(a-4)+4 C. m2-2m-8=(m+2)(m-4) D. -mn-8n=-n(m-8) C 初中同步培优卷 解析    (a+3)2=a2+6a+9是乘法运算,选项A不符合题意;a2-4a+4 =a(a-4)+4中等号右边不是整式乘积的形式,选项B不符合题 意;m2-2m-8=(m+2)(m-4)符合因式分解的定义,选项C符合题意; -mn-8n=-n(m+8),选项D不符合题意.故选C. 初中同步培优卷 2.(2025山东聊城阳谷月考,★☆☆)把多项式12ab+3ab3分解因 式,应提的公因式是 (        ) A. 12ab　　    B. 4ab　　    C. 3ab　　    D. 3ab3 C 初中同步培优卷 解析    12ab+3ab3=3ab(4+b2),∴多项式12ab+3ab3分解因式,应 提的公因式是3ab.故选C. 初中同步培优卷 3.(2024湖北孝感孝南期末,★☆☆)下列多项式能用平方差公 式分解因式的是 (        ) A. x2+y2　　　　　    B. -x2-y2 C. x2-y3　　　　　    D. -x2+y2 D 初中同步培优卷 解析    x2+y2,-x2-y2,x2-y3均无法分解因式,-x2+y2=(y-x)·(y+x),能用 平方差公式分解因式.故选D. 初中同步培优卷 4.(2025甘肃白银期末,★☆☆)若9x2+(k-2)x+16能用完全平方 公式分解因式,则k的值为 (        ) A. ±24　　　　 　    B. ±26 C. 26或-22　　　 　　    D. -26或22 C 初中同步培优卷 解析　若9x2+(k-2)x+16能用完全平方公式分解因式, 则k-2=±2×3×4,解得k=26或k=-22.故选C. 初中同步培优卷 5.(2025河北唐山三十九中月考,★☆☆)下面是课堂投影屏上 显示的抢答题,需要回答横线上序号处缺少的内容.下列回答 错误的是 (        ) B 分解因式:2a(x2-1)-2b(x2-1). 解:原式=2(x2-1)　　①　     =　　②　     A. ①填(a-b) 　　　　　 B. ②填(x+1)(x-1) C. 该过程用到了提公因式法　   D. 该过程用到了公式法 初中同步培优卷 解析    2a(x2-1)-2b(x2-1)=2(x2-1)(a-b)=2(x+1)(x-1)·(a-b), 故①填(a-b),②填2(x+1)(x-1)(a-b),解题过程用到了提公因式 法和公式法.故选B. 初中同步培优卷 6.(2024河南安阳期末,★☆☆)下列各式不是多项式a3b-4ab的 因式的是     (        ) A. ab　　　　　    B. a+2 C. a-2　　　　　    D. a-4 D 初中同步培优卷 解析    a3b-4ab=ab(a+2)(a-2),故不是多项式a3b-4ab的因式的 是a-4.故选D. 初中同步培优卷 7.(2025广东深圳龙华期末,★☆☆)将图①沿虚线剪开后,拼成 如图②所示的长方形,据此写出一个多项式的因式分解为  (        ) A. x2-y2=(x+y)(x-y)　　　　　    B. x2+y2=(x+y)(x-y) A C. (x+y)(x-y)=x2-y2　　　　　    D. (x+y)(x-y)=x2+y2 初中同步培优卷 解析　题图①的面积是x2-y2,题图②的面积是(x+y)(x-y), 因为题图①和题图②的面积相等,所以x2-y2=(x+y)(x-y).故选A. 初中同步培优卷 8.(2025河北廊坊霸州模拟,★☆☆)分解因式:ax2+by2=(3x+4y) (3x-4y),则a+b的值为 (        ) A. 7　　    B. -1　　    C. 25　　    D. -7 D 初中同步培优卷 解析　∵ax2+by2=(3x+4y)(3x-4y)=9x2-16y2,∴a=9,b=-16, ∴a+b=9-16=-7.故选D. 初中同步培优卷 9.(★★☆)已知xy=-1,x+y=2,则 x3y+x2y2+ xy3的值为 (         ) A. -2　　    B. 2　　    C. -4　　    D. 4 A 初中同步培优卷 解析　∵xy=-1,x+y=2, ∴ x3y+x2y2+ xy3= xy(x2+2xy+y2)= xy(x+y)2= ×(-1)×22=-2.故 选A. 初中同步培优卷 10.【新考向·新定义题】(2025江苏南京师大附中江宁分校一 模,★★☆)若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则 称这个正整数为“神秘数”(如4=22-02,12=42-22).在1~100这10 0个数中,“神秘数”的个数是 (        ) A. 10　　    B. 11　　    C. 12　　    D. 13 D 初中同步培优卷 解析　设两个连续偶数为2k+2和2k,则(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1), 又∵2k+1是奇数,∴神秘数是4的倍数,但不是8的倍数,∴1~100 之间的神秘数有4×1,4×3,…,4×25,共计13个.故选D. 初中同步培优卷 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11.(2025山东青岛中考,★☆☆)因式分解:3x2-3y2=____________.     3(x+y)(x-y) 初中同步培优卷 解析    3x2-3y2=3(x2-y2)=3(x+y)(x-y). 初中同步培优卷 12.(2025广东深圳龙华二模,★☆☆)若x2-1=(x+m)(x+n),则mn= _______. 　-1     初中同步培优卷 解析　∵x2-1=(x+1)(x-1)=(x+m)(x+n), ∴m=1,n=-1或m=-1,n=1,∴mn=-1. 初中同步培优卷 13.(2025山东聊城高唐月考,★☆☆)计算(-2)1 997+(-2)1 998的结果 是______________.     21 997     初中同步培优卷 解析　原式=(-2)1 997×[1+(-2)]=(-2)1 997×(-1)=21 997. 初中同步培优卷 14.【学科特色·易错题】(2025山东聊城莘县月考,★☆☆)因 式分解:(2a+3b)2-a2=____________________.     3(a+b)(a+3b)     初中同步培优卷 解析    (2a+3b)2-a2=(2a+3b+a)(2a+3b-a) =(3a+3b)(a+3b)=3(a+b)(a+3b). 初中同步培优卷 15.【新考向·结论开放题】(2025河南郑州外国语学校三模, ★☆☆)写出一个含有因式a+b的二次多项式:_____________ _______. 唯一)         a2-b2(答案不 初中同步培优卷 解析　如:a2-b2=(a+b)(a-b),a2+ab=a(a+b), 所以含有因式a+b的二次多项式可以是a2-b2或a2+ab(答案不唯 一). 初中同步培优卷 16.(2025山东聊城高唐第一实验中学月考,★★☆)已知:m-n= 5,mn2=6,则 m3n2-m2n3+ mn4=__________.     75     初中同步培优卷 解析     m3n2-m2n3+ mn4= mn2(m2-2mn+n2) = mn2(m-n)2, 因为m-n=5,mn2=6,所以原式= ×6×52=75. 初中同步培优卷 三、解答题(本大题共6小题,共66分) 17.(2025山东潍坊高密月考,★☆☆)(9分)把下列各式分解因 式: (1)3x(a-b)-6y(b-a).    (2)3a2-48. (3)(x2+4)2-16x2. 初中同步培优卷 解析    (1)3x(a-b)-6y(b-a) =3x(a-b)+6y(a-b) =3(a-b)(x+2y). (2)3a2-48 =3(a2-16) =3(a+4)(a-4). (3)(x2+4)2-16x2 =(x2+4+4x)(x2+4-4x) =(x+2)2(x-2)2. 初中同步培优卷 18.(2025河北承德期末,★☆☆)(10分)对于题目“因式分解:(3 x+y)2-(x+3y)2”,佳佳的解答过程如下,请认真阅读并完成相应 的任务. 佳佳的解答: (3x+y)2-(x+3y)2 =(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)① =(4x+4y)(2x+4y)② =8(x+y)(x+2y)③ 初中同步培优卷 任务: (1)佳佳的解答是从第_______步开始出错的(填序号). (2)请你写出正确的解答过程. 初中同步培优卷 解析    (1)佳佳的解答是从第②步开始出错的. (2)(3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)=(4x+4y)(2x-2y)= 8(x+y)(x-y). 初中同步培优卷 19.【新考向·代数推理】(2025山东聊城阳谷月考,★★☆)(10 分)请你说明:当n为自然数时,(n+7)2-(n-5)2能被24整除. 初中同步培优卷 解析　原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=24(n+1),因为n为自然数,所 以n+1为整数, 所以当n为自然数时,(n+7)2-(n-5)2能被24整除. 初中同步培优卷 20.(★★☆)(12分)数学老师给同学们留了一道思考题:分解因 式:(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2),小东想:如果先将多项式化简再分解 因式必然很麻烦,可是想了半天也没有别的办法,就打电话给 好友小亮,小亮只在电话里讲了一句话,小东就恍然大悟了,你 能猜测小亮说了句什么话吗?这个多项式又该如何分解呢? 初中同步培优卷 解析　小亮说的是把(x+y),(x-y)看成完全平方公式里的a,b(猜 测合理即可). 原式=(x+y)2+[2(x-y)]2-2×2(x-y)(x+y) =[(x+y)-2(x-y)]2=(3y-x)2. 初中同步培优卷 21.【学科特色·整体思想】(2025山东聊城东昌府期末,★★ ☆)(12分)阅读以下材料: 材料1:如图所示,将图①中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图 ②. 材料2:分解因式:(a-b)2-2(a-b)+1. 解:将“a-b”看成整体,令a-b=A,则原式=A2-2A+1=(A-1)2,再将 a-b=A还原,得到:原式=(a-b-1)2. 上述解题过程用到了“整体思想”,它是数学中常用的一种 思想.请你根据以上材料解决下列问题: 初中同步培优卷 (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是 _______. (2)计算:2 0252-2 025×50+252.(结果用科学记数法表示) (3)根据材料2进行因式分解. ①x2+4xy+4y2-4; ②x2-4xy-5y2. 初中同步培优卷 解析    (1)题图②中阴影部分的面积为(a-b)2, 题图①中阴影部分的面积为a2-2ab+b2, ∴a2-2ab+b2=(a-b)2. (2)2 0252-2 025×50+252 =2 0252-2×2 025×25+252 =(2 025-25)2 =2 0002 =4 000 000 =4×106. 初中同步培优卷 (3)①x2+4xy+4y2-4 =(x+2y)2-22 =(x+2y+2)(x+2y-2). ②x2-4xy-5y2 =x2-4xy+4y2-9y2 =(x-2y)2-(3y)2 =(x-2y+3y)(x-2y-3y) =(x+y)(x-5y). 初中同步培优卷 22.【新考向·新定义题】(2025陕西渭南期末,★★★)(13分) 将x2-xy+xz-yz因式分解. 经过独立思考,合作交流,小明所在小组得到了如下的解决方 法: 解法一:原式=(x2-xy)+(xz-yz) =x(x-y)+z(x-y) =(x-y)(x+z). 解法二:原式=(x2+xz)-(xy+yz) =x(x+z)-y(x+z) =(x+z)(x-y). 初中同步培优卷 上述方法被称为分组分解法,请根据以上方法回答下列问题: (1)请用分组分解法将a3-3a2+6a-18因式分解. (2)如图①,小长方形的长为a,宽为b,用5个图①中的小长方形 按照图②的方式不重叠地放在大长方形ABCD中,且大长方形 ABCD的周长为16.根据以上信息,先将多项式a2+4ab+4b2+2a+ 4b+1因式分解,再求值. 初中同步培优卷 解析    (1)a3-3a2+6a-18 =(a3-3a2)+(6a-18) =a2(a-3)+6(a-3) =(a-3)(a2+6). 初中同步培优卷 (2)大长方形的长是a+3b,大长方形的宽是a+b, 所以(a+3b+a+b)×2=16,即a+2b=4, a2+4ab+4b2+2a+4b+1 =(a+2b)2+2(a+2b)+1 =(a+2b+1)2 =(4+1)2 =25. 初中同步培优卷 $