黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

哈三中2025—2026学年度下学期 高一学年6月月考数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则 A． B． C． D． 2．如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为 A． B． C． D． 3．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为 A． B． C． D． 4．已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则 A．14 B．15 C．16 D．17 6．某圆台的轴截面是一个上底为2，下底为4，腰长为2的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为 A． B． C． D． 7．直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知，若向量满足，则的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是 A． B．若，，则三角形为锐角三角形 C．若，，则 D．若，且三角形有两解，则 10．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是 A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 11．已知正方体棱长为，为边中点，为空间内一动点，下列说法中正确的有 A．当在线段上运动时，三棱锥体积为定值 B．当在线段上运动时，存在点使直线与成角为 C．当在底面内运动时，若，则轨迹长度为 D．当在三角形内运动，且时，则轨迹长度为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12．已知向量、满足，若为单位向量，则_________． 13．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则此三棱台的体积为_________． 14．已知四面体外接球半径为，，，，则该四面体体积最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点． （1）求证：平面； （2）设为中点，，求直线与所成角的余弦值． 17．（15分） 如图，在平面四边形中，，为等边三角形． （1）若，，求； （2）若，求四边形面积的取值范围． 18．（17分） 在边长为4的菱形中，，与相交于点．将沿折起，使得点到达点的位置，得到如图所示的三棱锥，为线段上一点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，． ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分） 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段（不含端点）上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． （1）若，求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值的最小值； （3）若，点在内部（含边界）运动，满足四棱锥与三棱锥的体积相等，求点轨迹长度． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一下6月月 一、单选题 1~8BCCDABAC 二、多选题 9.AC 10.ABD 11.ABD 三、填空题 12. 13.14V2 14. 4V6+12√2 3 四、解答题 l5.(1)由已知sin4=sinB+sinC cosA cosB+cosC 交叉相乘，整理得sin(A-B)=sin(C-A 所以A-B=C-A或(A-B)+(C-A)=π（舍） 故A=元 3 (2)由已知S=bcsin4=5bc=16N5,得c=640 由余弦定理，a2=b2+c2-2 bccosA (6V3)2=(b+c)2-3bc…② 由①.②可得b+c=10V3 所以三角形ABC的周长L=a+b+c=16V3 16.(1)证明：取PA中点G,连接BG,GE,EC EGIAD.EG-AD:BCUAD.RC-TAD :BC//GE BC=GE GBCE为平行四边形 GBIICE、 又CEt平面PAB,BGc平面PAB .CE∥平面PAB (2)取PB中点H,连接FH,则∠HFC即为所求角 PF2+FC2=PC2.PF⊥FC 又：PF⊥AB,AB∩CF=F PF⊥平面ABCD 考数学试题答案 又：PFc平面PAB .平面PAB⊥平面ABCD 又.BC⊥AB .BC⊥面PAB:.BC⊥PB :.CH=5 CF=5,HF=1 co∠FHC= 10 17.(1)在△BCD中， 5V3 CD- +12-2×1× 2 os30- 5V3 BD 1 CD 又因为 即2 1 sin∠CBD sin.∠BCD ，解得sin∠BCD= sin30°sin∠BCD > (2)设∠BDC=0 在△BCD中，BC2=12+32-2×1×3×c0s0=10-6cos0, 5c-5c:-510-6os01=5y5.35 cos0 4 4 22 SABCD= .BD.CD.sin=x1x3xsin0=3sine, 3 .S=S△ABc+S△BCD= 5V53 、22 -coso +sine =3sin03 2 32， :0e(0,π， 18.(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD,O为BD中点， 由题可知PB=PD,所以OP⊥BD, 因为0Cn0P=0,0C,0Pc平面P0C, 所以BD⊥平面POC 又BDC平面BDM,所以平面BDM⊥平面POC. (2)①以0为原点，0B,0C所在直线分别为x,y轴，过点0且垂直于 如图所示的空间直角坐标系 平面BCD的直线为z轴，建立 B 二面角P-BD-C的大小为120°，即LP0C=120° 因为PB=PD=4,LBPD=60°，所以BD=4,OP=0C=2V5, 则P0,-5,3,B(2,00)，D(-2,0,0),C0,25,0, 所以PC=0,35,-3,PD=-2,V5,-3, 设PM=tPC=(0,3V5,-31,则M0,33t-5,3-3,所以DM=2,3W5 PC.i=33y-3z=0 设平面PBC的法向量为i=(x,y,z),则 PB.n=2x+√3y-3z=0 取y=1,得x=V5,z=V5,则i=(N51,5 设直线DM与平面PBC所成角为0， DM.n 则sin0=cos<DM,i>= 4V5 √42 DM×V4+3V3t-3y2+3-3)2V7 7 鉴里约90-9+2=0：解两1写或：号 当1=时，w-c,则 当1-号时，丽-心，则兴-2 3 MC 因为PM>MC,所以P=2 MC ②设平面BDM的法向量为元=(x,出，乙)，则元=(0，-1，V 设平面CDM的法向量为元，=(x,y2,22),则元，=（5，-1，-V5 设直线DM与平面P8C所成角为9，cos0'=kos<元，属- 1 19.(1)连接DE,平面ABEF⊥平面ECDF,交线为EF, 由BE⊥EF,有BE⊥平面ECDF,又CFC平面ECDF,所以BE⊥CF, 所以CF⊥平面BDE, 5,3-30. 当CF⊥BD,BE∩BD=B, 又DEC平面BDE,所以CF⊥DE, 此时△FEC与△DFE相似，故DF·EC=EF2, D 设BE=t(0<t≤6)，由12-t)(6-=16,解得t=4或t=14（舍)，所以BE=4. (2)过C作EF的平行线交DF于点G,连接AG,由CGIEFIIBA,且CG=EF=BA, 得四边形CGAB是平行四边形，故BC∥AG,所以∠DAG即为异面直线BC与AD所成的角， 设BE=t(0<t≤6)， tan∠DAG=tan(∠DAF-∠GAF)=tan∠DAF-tan∠GAE 1+tan∠DAFtan∠GAF 12-t6-t =-11 3 1 12-t.6-t1 1+ +36-g2V36-91, t 当且仅当t=6取等 所以镜角∠DAG正切值的最大值为1，此时余弦值有最小值 2 所以异面直线8C与AD所成角余弦值的最小值为 2 (3)BC=2V5,CD=2V13,BF=4V2,BD=4√6 易知点Q轨迹为两平面的交线，所以轨迹为线段，设轨迹与线段BC相交于点2与BD相交于点Q2· a-amSa-5因为%aw=ar,所以ag= Ve-CEE=SACEE=1 g-r5’ 又a-位--Cg,所以Bg=8C=5y5 Vo-BEF VB-QEF BO 6 3 Vg-DEF=S△E=4, Ve:-DEF_4 品所以e的0 9 c0s∠CBD=8C2+BD2-CD2-20+96-52.4 2BC·BD 一2xV20x96=J30 090790o0801元-0g+:09=70