精品解析：广东中山市凯茵三鑫学校2025-2026学年八年级下学期数学4月阶段测试试题

25-26中山凯茵三鑫初二下4月月考 一、单选题 1. 在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A 且 B. C. D. 且 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 估算值在（） A. 和之间 B. 和之间 C. 和0之间 D. 0和1之间 8. 如图，在中，，，．将沿方向平移至，使经过的中点，则梯形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 9. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿着方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 长方形的周长是22 二、填空题 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 12. 菱形的对角线，，则菱形的面积是________． 13. 如图，中，D，E分别是，的中点，若，则________． 14. 如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则关于x的不等式4x+2＜kx+b≤0的解集为__________． 15. 如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 三、解答题 16. 计算： 17. 周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离森林公园的距离是___________米； （2）小华在新华书店停留了___________分钟； （3）买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； （4）本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 18. 如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形矩形． （2）若，且，求的长． 19. 如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米． （1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离？ （2）如果梯子底部B向外移动的距离为1.7米，那么顶部A下滑的距离是否与相等？请给予说明． 20. 为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共儒投入34万元． （1）种植A、B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ （2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，求w于m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 21. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点O，求的长． （3）过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 22. 如图所示，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以一边作等边三角形，点C在第二象限． （1）画出图形． （2）求点C的坐标． （3）点D在直线上，和面积相等，求点D的坐标． 23. 已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． （2）【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． （3）【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26中山凯茵三鑫初二下4月月考 一、单选题 1. 在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐项验证各条件能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：已知在四边形中，， A 若，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B 若，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C ， ， 又， ， ，因此四边形两组对边分别平行，可判定是平行四边形，不符合题意； D ，本身即可推出， 无法推出另一组对边平行或，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：有意义， ，且， 解得：且． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用商的算术平方根的性质，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确． 4. 如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∵ ． 5. 如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 【详解】解：由图象可知，，， ∴． 6. 如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求出，再根据折叠的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，, ∴， ∴． 根据折叠的性质得， 在中，， ∴． 7. 估算的值在（） A. 和之间 B. 和之间 C. 和0之间 D. 0和1之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 8. 如图，在中，，，．将沿方向平移至，使经过的中点，则梯形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．先根据平移的性质得，再证明，得出，又结合勾股定理计算得，运用等面积法得出，故把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：由平移的性质可知，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于， 在中，， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴． 9. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿着方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 长方形的周长是22 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象给出的信息逐项判断即可． 详解】解：由图象可知，，，故选项C不合题意； 长方形的周长为，故选项D不合题意； 当时，点在上，，故选项A不合题意； 当时，， 解得， 则点在或上， 当点上时，，此时； 当点在上时，，此时； ∴或；故选项B符合题意． 二、填空题 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 12. 菱形的对角线，，则菱形的面积是________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，代入已知对角线的长度即可求解． 【详解】解：由菱形的面积公式得，代入，，得． 13. 如图，中，D，E分别是，的中点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用中位线的性质求解即可. 【详解】解：∵，分别是，的中点，， ∴是的中位线， ∴． 14. 如图，经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则关于x的不等式4x+2＜kx+b≤0的解集为__________． 【答案】-2≤x＜-1 【解析】 【分析】由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（-1，-2）及直线y=kx+b与x轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求． 【详解】解：∵经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2）， ∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（-1，-2），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（-2，0）， 又∵当x＜-1时，4x+2＜kx+b， 当x≥-2时，kx+b≤0， ∴不等式4x+2＜kx+b≤0的解集为-2≤x＜-1． 故答案为：-2≤x＜-1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 【答案】50或800 【解析】 【分析】根据题意，易得40必为直角边，设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为，推出，设，得到，进而得到或，求出或，即可得出结果. 【详解】解：∵正整数满足方程，且互素， 则必为一奇一偶， ∴为奇数， ∵为一组“本原勾股数”，且40为偶数， ∴40必为直角三角形的一条直角边的长，为一条直角边和一条斜边的长， 设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为， 则， ∴， ∵和互素， ∴均为偶数，且最大公约数为2， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴满足条件的只有两组：或， ∴或， 解得：或， ∴或. 三、解答题 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小华家离森林公园的距离是___________米； （2）小华在新华书店停留了___________分钟； （3）买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车平均速度是___________米/分； （4）本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）从函数图象中得到纵轴代表离家距离的含义，从而得到答案． （2）根据线段水平、上升、下降分别代表的运动状态为停留、前进、返回，根据函数图像中的时间差得到停留时间． （3）在函数图象中读取信息，根据运动距离＝运动速度运动时间，计算即可得到答案． （4）根据行驶距离等于家到森林公园的距离加上折返的距离，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据函数图象知，小华家离森林公园的距离是米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：(分钟)， ∴小华在新华书店停留了分钟； 故答案为：； 【小问3详解】 解：小华从新华书店到森林公园的路程为(米)， 所用时间为(分钟)， ∴小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是：(米/分)； 故答案为：； 【小问4详解】 解：根据函数图象可知，小华一共行驶了(米)． 故答案为：． 18. 如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形是矩形． （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【小问1详解】 证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 19. 如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米． （1）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离？ （2）如果梯子底部B向外移动的距离为1.7米，那么顶部A下滑的距离是否与相等？请给予说明． 【答案】（1）0.8米 （2）相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在中，根据勾股定理求出，在中， 根据勾股定理求出，即可求解； （2）在中， 根据勾股定理求出，进而求出，即可判断． 【小问1详解】 解∶在中，，，， ∴， 根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：梯子底部B向外移动的距离为0.8米； 【小问2详解】 解：相等， 理由：当时，， 在中，，， ∴， ∴， ∴顶部A下滑的距离与相等． 20. 为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共儒投入34万元． （1）种植A、B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ （2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，求w于m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 【答案】（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入0.6万元、0.8万元 （2）w＝－0.1m＋150 （3）当种植A种蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，总获利最大，最大总获利为140万元． 【解析】 【分析】（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入x万元、y万元，然后根据“若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共儒投入34万元”列方程组求解即可； （2）设种植A种蔬菜m亩，则 种植B种蔬菜，然后根据“利润=单件利润×数量”列式解答即可； （3）先根据“若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍”列求出m的取值范围，再结合（2）的解析式求最值即可． 【小问1详解】 解：设种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入x万元、y万元． 根据题意，得，解得 答：种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入0.6万元、0.8万元． 【小问2详解】 解：设种植A种蔬菜m亩， 由题意，得w＝0.8m＋1.2×－0.1m＋150． 【小问3详解】 解：由题意，得，解得m≥100． ∵w＝－0.1m＋150，－0.1＜0， ∴w随m的增大而减小． ∴当m＝100时，w最大＝140，此时＝50（亩）． ∴当种植A种蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，总获利最大，最大总获利为140万元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、运用一次函数的性质求最值等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 21. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点O，求的长． （3）过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和旋转性质得到相等的边和角，利用证明； （2）根据得到，再根据勾股定理求出长，即可得到的长； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形是矩形，再找一组邻边相等，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴． ∵将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形． ∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 22. 如图所示，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为一边作等边三角形，点C在第二象限． （1）画出图形． （2）求点C的坐标． （3）点D在直线上，和面积相等，求点D的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意尺规作图即可； （2）先求出，，得到，根据是等边三角形，得到，过点作轴于点，根据，求出，，即可解答． （3）分两种情况：①当点D在点A上方时，②当点D在点A下方时，利用平行线间距离相等，结合和面积相等求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求作的图形； 【小问2详解】 解：∵与轴交于点，与轴交于点， ， ， ， ， ， ∵是等边三角形，点在第二象限， ， 如图2，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①当点D在点A上方时，过点C作， 设直线的解析式为，将代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ②当点D在点A下方时，由①得，过点E作， 则直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ∴点的坐标为或． 【点睛】注意：正确作图，数形结合，解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系． 23. 已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． （2）【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． （3）【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 解：四边形为正方形，证明如下： 上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）线段的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【小问1详解】 解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $