精品解析：广东省广州市番禺区万翔学校2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年八年级下学期第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 化简的结果是(　　) A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25 2. 下列各式计算错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知正比例函数，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 6. 如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 13 B. 21 C. 26 D. 52 7. 甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两车在距离B城处相遇 B. 甲乙两车同时到达B城，甲车速度是 C. 甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是 D. 乙车的速度高于甲车，乙车用时4小时从A城到达B城 8. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 大小不确定 9. 如图，点B，C，E在同一直线上，分别以为边作正方形和正方形，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A. B. C. 4038 D. 4040 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中，x的取值范围是___． 12. 直线与相交于点，则关于 x 的方程的解是_____． 13. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 14. 如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为_______． 15. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 16. 如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为______________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知函数． （1）当，为何值时，此函数是一次函数？ （2）当，为何值时，此函数是正比例函数？ 19. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 20. 如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B． （1）求该一次函数的解析式． （2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数的图象上？说明理由； 22. 已知甲、乙两地相距，小徐和小马两人沿同一条公路从甲地到乙地，小徐骑自行车到达．小马骑摩托车比小徐晩出发，骑行时追上小徐，停留后继续以原速骑行．在整个行程中，两人与甲地的距离与小徐骑行时间的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为． （1）线段所对应的函数表达式为 ，相应自变量的取值范围是 ，线段所对应的函数表达式为 ，相应自变量的取值范围是 ； （2）小马在段的速度为 ， ； （3）求小马第二次追上小徐时与乙地的距离． 23. 如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）求的面积； （3）点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 24. 某文具店为筹备开学季活动，准备采购套笔记本套装，每套搭配支中性笔，供学生免费试用．甲、乙两家店都有这种笔记本套装和中性笔出售，每套笔记本套装标价元，每支中性笔标价元，目前两家店同时做促销活动： 甲店：所有商品均打七五折销售；乙店：买一套笔记本套装送支中性笔． 设在甲店购买笔记本套装和中性笔的费用为（元），在乙店购买的费用为（元），请回答下列问题： （1）分别写出、关于的函数解析式； （2）若只在一家店购买，在哪家店购买更划算？ （3）若每套笔记本套装需配支中性笔，请直接写出购买费用最低的方案及最低费用． 25. 已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． （1）如图1，连接、．求证：四边形为菱形； （2）如图1，求的长； （3）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 化简的结果是(　　) A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据开平方的运算法则计算即可． 【详解】解：==5， 故选：A． 【点睛】本题考查了开平方运算，关键是掌握基本的运算法则． 2. 下列各式计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据算术平方根对D进行判断． 【详解】A、，所以A选项的计算正确； B、原式，所以B选项的计算正确； C、原式，所以C选项的计算错误； D、原式，所以D选项的计算正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键． 3. 已知正比例函数，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限，随的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数中，的值随自变量的值增大而减小， ， 解得，； 故选：A． 4. 下列四个命题中不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定判断即可． 【详解】解：由题意可知： A、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，不合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，为假命题，符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，为真命题，不合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，为真命题，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 5. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断． 【详解】解：由题知，， ∵ ∴位于第一、二、三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 6. 如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 13 B. 21 C. 26 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】根据D，E，F分别是边，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点， ∴，， ，， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键． 7. 甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两车在距离B城处相遇 B. 甲乙两车同时到达B城，甲车速度是 C. 甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是 D. 乙车的速度高于甲车，乙车用时4小时从A城到达B城 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象得，A城与B城相距，甲车从出发，到达B城，乙车从出发，到达B城，即可得甲车速度，乙车速度， 乙先到达B城，甲车比乙车早出发1小时，根据图象得，甲乙两车在相遇，即可得甲乙两车在距离B城处相遇，即可得选项A正确；选项B错误；选项C错误；根据得乙车的速度高于甲车，根据乙车出发的时间和到达B城的时间即可得乙车用3小时小时从A城到达B城，故选项D错误；即可得． 【详解】解：根据图象得，A城与B城相距，甲车从出发，到达B城，乙车从出发，到达B城， ∴甲车速度：， 乙车速度：， 乙先到达B城， 甲车比乙车早出发1小时， 根据图象得，甲乙两车在相遇， 则， 故选项A正确；选项B错误；选项C错误； ∵， ∴乙车的速度高于甲车， ∵（小时）， ∴乙车用3小时小时从A城到达B城， 故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的应用，解题的关键是根据图象得到相应的信息，掌握速度，时间，路程三者之间的关系． 8. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 大小不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据，则随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵，点，都在直线上， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 9. 如图，点B，C，E在同一直线上，分别以为边作正方形和正方形，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：连接， 在正方形和正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ， 又∵H是AF的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A. B. C. 4038 D. 4040 【答案】A 【解析】 【分析】延长交轴于，交轴于，根据等边三角形的性质得，，，直线的解析式为，得，由直线的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长． 【详解】解：延长交轴于，延长交轴于， ，，均为等边三角形， ，，， 直线的解析式为：， ， 对于直线，，当时，， 点的坐标为， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， ， ， 同理得：，， 以此类推，第个等边三角形的边长为， 第2020个等边三角形的边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质找出第个等边三角形的边长为是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中，x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，即可． 【详解】解：根据题意得∶， ∴． 故答案为：． 12. 直线与相交于点，则关于 x 的方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知直线解析式求出交点的横坐标，再根据方程的解是直线纵坐标为时对应的横坐标，即可得到结果． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， 交点的坐标为， 关于的方程的解是． 13. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 14. 如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的一个外角的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和与外角和，解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的性质． 首先设此正多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的内角和除以11，根据多边形外角和为即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∵多边形外角和为，正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的一个外角的度数为：． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为， 关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值． 16. 如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值． 【详解】解：延长交于点M， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的基本法则． 18. 已知函数． （1）当，为何值时，此函数是一次函数？ （2）当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】（1）当，为任意实数时，这个函数是一次函数 （2）当，时，这个函数是正比例函数 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键． （1）直接利用一次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【小问1详解】 解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； 【小问2详解】 解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 19. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 20. 如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质可得，，，进而可证明，则，，结合，命题得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 21. 如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B． （1）求该一次函数的解析式． （2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数的图象上？说明理由； 【答案】（1）y＝﹣x+3 （2）不在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可． 【小问1详解】 把x＝1代入y＝2x中，得y＝2， 所以点B的坐标为（1，2）， 设一次函数的解析式为y＝kx+b， 把A（0，3）和B（1，2）代入，得 ， 解得， 所以一次函数的解析式是y＝﹣x+3； 【小问2详解】 点C（4，﹣2）不在该函数的图象上．理由： 当x＝4 时，y＝﹣1≠﹣2， 所以点C（4，﹣2）不在函数的图象上． 【点睛】本题是两条直线相交问题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 22. 已知甲、乙两地相距，小徐和小马两人沿同一条公路从甲地到乙地，小徐骑自行车到达．小马骑摩托车比小徐晩出发，骑行时追上小徐，停留后继续以原速骑行．在整个行程中，两人与甲地的距离与小徐骑行时间的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为． （1）线段所对应的函数表达式为 ，相应自变量的取值范围是 ，线段所对应的函数表达式为 ，相应自变量的取值范围是 ； （2）小马在段的速度为 ， ； （3）求小马第二次追上小徐时与乙地的距离． 【答案】（1），，， （2）， （3）小马第二次追上小徐时与乙地的距离为 【解析】 【分析】（1）由题意得，线段是小徐的函数图象，折线段是小马的函数图象，根据速度路程时间，求出小徐的速度，即可求出线段所对应的函数表达式；再求出小徐骑行的时间，进而求出小马的骑行速度，从而求出线段所对应的函数表达式，再求出对应的自变量的取值范围即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设小马在小徐出发t小时后第二次追上小徐，根据两人相遇时，所走的路程相同列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，线段是小徐的函数图象，折线段是小马的函数图象， ∴小徐的骑行速度为， ∴线段所对应的函数表达式为，其中相应自变量的取值范围是； 在中，当，， ∴在小徐出发时，小马追上小徐， ∴小马的骑行速度为， ∴线段所对应的函数表达式为，其中相应自变量的取值范围是； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：由（1）得小马在段的速度为，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：设小马在小徐出发t小时后第二次追上小徐， 由题意得，， 解得， ∴小马在小徐出发小时后第二次追上小徐， ∴小马第二次追上小徐时与乙地的距离为． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 23. 如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）求的面积； （3）点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，准确计算． （1）联立，解方程组即可； （2）先求出， ，得出，，再根据三角形面积公式进行计算即可； （3）根据，得出 ，根据点C的纵坐标为3，得出点D的纵坐标为6，把代入求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：解方程组 得： 所以点C的坐标是． 【小问2详解】 解：对直线 ，当 时，； 当 时，解方程 ,得 ， ∴， ， ∴，， ∴的面积为：． 【小问3详解】 解：若 ，则 ， ∵点C的纵坐标为3， ∴点D的纵坐标为6， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为． 24. 某文具店为筹备开学季活动，准备采购套笔记本套装，每套搭配支中性笔，供学生免费试用．甲、乙两家店都有这种笔记本套装和中性笔出售，每套笔记本套装标价元，每支中性笔标价元，目前两家店同时做促销活动： 甲店：所有商品均打七五折销售；乙店：买一套笔记本套装送支中性笔． 设在甲店购买笔记本套装和中性笔的费用为（元），在乙店购买的费用为（元），请回答下列问题： （1）分别写出、关于的函数解析式； （2）若只在一家店购买，在哪家店购买更划算？ （3）若每套笔记本套装需配支中性笔，请直接写出购买费用最低的方案及最低费用． 【答案】（1） ， （2） 只在一家店购买时，甲店更划算 （3） 购买方案为全部在甲店购买，最低费用为元 【解析】 【分析】（1）根据两家店的促销规则列出关于的函数解析式即可； （2）通过比较和的大小，判断更划算的购买方案； （3）分别计算不同方案的费用： 全部在甲店购买；全部在乙店购买；混合购买，得到最低费用的方案． 【小问1详解】 解：准备采购套笔记本套装，每套搭配支中性笔， 总共需要支中性笔， 根据题意得：，即； 乙店买一套笔记本送支中性笔， 需要付费的中性笔数量为支， ，即； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， 即对所有满足条件的，都有， 只在一家店购买时，甲店更划算； 【小问3详解】 解： 当时，分别计算不同方案的费用： 全部在甲店购买：（元） ； 全部在乙店购买：（元） ； 混合购买：在乙店买套笔记本，剩余中性笔去甲店购买，总费用为（元） ， 购买费用最低的方案是全部在甲店购买，最低费用为元． 25. 已知，中，，，的垂直平分线分别交、于点，垂足为． （1）如图1，连接、．求证：四边形为菱形； （2）如图1，求的长； （3）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止，在运动过程中，点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒，若当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，推出四边形为平行四边形，结合即可得证； （2）设菱形的边长，则，由勾股定理计算即可得出答案； （3）分情况讨论可得只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形，利用平行四边形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 解：设菱形的边长，则， 在中，，由勾股定理得：， 解得：， ； 【小问3详解】 解：由作图可以知道，在上时，在上，此时四点不能构成平行四边形；同理，在上时，在或上，此时四点也不能构成平行四边形， 只有当点在上，点在上时，四点才能构成平行四边形， ， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，设运动时间为秒， ，， ， 解得：， 以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $