2.2 一元二次方程的解法(2) 课件 2026-2027学年度北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法和因式分解法，通过复习配方法导入公式法推导，以因式分解旧知引入因式分解法，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以问题驱动培养推理意识（如推导求根公式时分析判别式）和应用意识（小球运动问题引入因式分解法），典例结合错误辨析（小明约去5t漏解）强化理解，小结用表格和口诀梳理步骤。学生能提升运算与解决问题能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第二章 一元二次方程 第3课时 用公式法求解一元二次方程 九年级上册数学（北师版） 2.2 一元二次方程的解法(2) 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 一、移常数项； 二、配方[配上 ]； 三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四、直接开平方法解方程. 复习导入 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 吗？ 探究新知 用公式法求解一元二次方程 1 合作探究 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多. 方程两边都除以 a，得 解： 移项，得 配方，得 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 吗？ ∵ a ≠ 0，4a2 ＞ 0， ∴ 当 b2 - 4ac≥0 时， 当 b2 - 4ac＜0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立， ∴ 此时方程无实数根. 求根公式： 归纳总结 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 用公式法解一元二次方程的前提是： 注意 1. 必须是一般形式的一元二次方程： ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 例1 解方程. （1）x2 - 7x - 18 = 0 解：这里 a = 1，b = -7，c = -18， ∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 ＞ 0. 典例精析 ∴ x1 = 9，x2 = -2. 解：将原方程化为一般式： 4x2 - 4x + 1 = 0. 即 （2）4x2 + 1 = 4x. 这里 a = 4，b = -4，c = 1， ∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0. 议一议 (1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 − 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流. 原方程无实数根. (x - 1)2 = -2 当 b2 - 4ac＜0 时， ∴ 此时方程无实数根. 两个不等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 − 4ac 来判定，我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示. b2 − 4ac ＞ 0 b2 − 4ac = 0 b2 − 4ac ＜ 0 Δ ≥ 0 归纳总结 判别式的情况 Δ ＞ 0 Δ = 0 Δ ＞ 0 Δ ＜ 0 Δ = 0 Δ ＞ 0 根的情况 10 例2 不解方程，判断下列方程根的情况． (1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1). 解：(1) 3x2 + 4x - 3 = 0，a = 3，b = 4，c = -3， (2) 方程化为： 4x2 - 12x+9 = 0， (3) 方程化为： 5y2 - 7y + 5 = 0， ∴b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． ∴b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9 = 0. ∴方程有两个相等的实数根． ∴b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0. ∴方程无实数根． 11 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程化为一般形式 根的判别式 b2 - 4ac 当堂小结 1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0. 解：这里 a = 1，b = 7， c = -18. ∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0， ∴ 即 x1 = -9，x2 = 2 . 课堂练习 2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6. 化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = - 7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96 = - 47 ＜ 0. ∴ 原方程没有实数根. 3.关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . 注意：一元二次方程有两个实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况. 解： ∴m≤1. ∵ b2 - 4ac = ( - 2)2 - 4×1×m = 4 - 4m≥0. 15 4. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0. 解：（1）2x2 + 3x − 4 = 0，a = 2，b = 3，c = −4， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0. ∴方程有两个不等的实数根． （2）x2 − x + = 0，a = 1，b = −1，c = ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× = 0. ∴方程有两个相等的实数根． 16 第二章 一元二次方程 九年级上册数学（北师版） 2.2 一元二次方程的解法(2) 第4课时 因式分解法 复习导入 因式分解的方法有哪些？ (1) 提公因式法 am + bm + cm = m(a + b + c) (2) 公式法 a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 因式分解法解一元二次方程 1 探究新知 一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系：h = 15t - 5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0， 于是可得方程 15t - 5t² = 0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 小颖的方法： 由方程 15t - 5t² = 0， 得 5t² - 15t = 0， 所以 t1 = 0，t2 = 3。 由方程 15t - 5t² = 0， 得 5t² = 15t， 所以 t = 3。 两边都约去 5t，得 小明的方法： 他们做得对吗？为什么？ √ × t = 0 由方程 15t - 5t² = 0， 得 5t² - 15t = 0， 所以 t1 = 0，t2 = 3。 即 5t(t - 3) = 0， 于是 t = 0，或 t - 3 = 0。 小亮的方法： 他做得对吗? 为什么? 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. √ 当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 要点归纳 例1 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x - 2) = x - 2. 解：(1) 原方程可变形为 x = 0 或 5x - 4 = 0. ∴ x1 = 0，x2 = . x(5x - 4) = 0. 典例精析 5x2 - 4x = 0， (2) 原方程可变形为 x - 2 = 0 或 x - 1 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 1. (x - 2)(x - 1) = 0. x(x - 2) - (x - 2) = 0. 解下列方程： x2 - 4 = 0，(x + 1)2 - 25 = 0， 解： x2 - 4 = 0 可变形为 x + 2 = 0 或 x - 2 = 0. ∴ x1 = -2，x2 = 2 . (x + 2)(x - 2) = 0. ∴ x1 = -6，x2 = 4. (x + 6)(x - 4) = 0. 解：分解因式，得 [(x + 1) + 5][(x + 1) - 5] = 0. x + 6 = 0 或 x - 4 = 0. 想一想 x2 + 2x - 3 = 0， x2 - 6x + 8 = 0。 ∴ x1 = -3，x2 = 1. 解：分解因式，得 (x + 3)(x - 1) = 0. x + 3 = 0 或 x - 1 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 4. 解：分解因式，得 (x - 2)(x - 4) = 0. x - 2 = 0 或 x - 4 = 0. 你还有哪些方法解上述方程？ 因式分解 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). 当堂小结 1. 填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 课堂练习 2. 解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？请指出并改正过来. 解：原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ① 由 x - 5 = 3，得 x = 8； ② 由 x + 2 = 6，得 x = 4. ③ ∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④ 3. 解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，解得 x1 = ，x2 = . x2 + x - 2 = 0 -2 1 解：原方程化为 x2 - 3x - 28 = 0， (x - 7)(x + 4) = 0， x1 = 7，x2 = -4. 28 解：化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. 解：因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0， 4.解方程： 解得 5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r， 根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 解得 . 30 $