1.4.1 正方形的性质2026-2027学年九年级数学上册北师大版

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质及与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，通过观察特殊平行四边形导入，结合几何画板动态演示矩形变正方形（邻边相等）和菱形变正方形（一个角90°），搭建知识联系支架。 其亮点是动态探究与逻辑推理融合，几何画板直观呈现图形转化培养几何直观（数学眼光），例题规范推理过程发展推理能力（数学思维），分层练习强化性质应用。助力学生构建知识体系，教师可高效实施教学。

1.4.1 正方形的性质 新版北师大九上 第一章 1. 知识目标：掌握正方形的定义、边、角、对角线的性质，理清正方形与矩形、菱形、平行四边形的从属关系。 2. 能力目标：能运用正方形的性质进行计算、推理与几何证明，规范书写解题过程。 3. 素养目标：通过对比探究图形性质，体会类比、转化思想，发展几何直观与逻辑推理能力。 学习目标 图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 你能总结出正方形的定义吗？ 情境导入 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 矩形 定义 性质 判定 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 A B C D 正方形和矩形、菱形之间具有怎样的关系呢？ 情境导入 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 矩形变正方形 一组邻边相等 点击播放 几何画板.GSP 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 菱形变正方形 点击播放 几何画板.GSP 一个角是90° 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？ 平行四边形 矩形 正方形 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 602656769@qq.com (6) - 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 正方形的性质 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. AB = BC = CD = DA ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC⊥BD 总结 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都 相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. （2）延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE ≌ △DCF. ∴∠CBE = ∠CDF. ∵∠DCF = 90°. ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°. ∴BE ⊥ DF. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 如图1-15，四边形ABCD是正方形。 (1)在图1-15中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足B怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 (2)在图1-15中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形 ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 尝试·思考 EG与FH的交点是正方形中心O，且OE=OG，OF=OH，即EG与FH均过O，且被O平分 另外两个点E、F关于O对称，即OE=OF 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. 解：图中的全等三角形共有 3 对，分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB,△FAD 与 △FAB． 选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下： ∵正方形 ABCD, ∴AD = AB,∠DAF =∠BAF, 又∵AF = AF， ∴△FAD≌△FAB. 随堂练习 教材第18页 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D。已知菱形ABCD的面积为120cm2，正方形A'BC'D的面积为50cm2，求AC的长。 随堂练习 解: 如图，连接BD ∵S正 A'BC'D = A'C'·BD= BD2=50, ∴BD=10 ∵S菱 ABCD = AC·BD =120, ∴AC=24 因此AC=24 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 1. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？ 解：∵ABCD 是正方形， ∴AB = BC，∠B = 90° △ABC是等腰直角三角形， AB2 + BC2 = AC2 = 4， ∴AB = 教材习题1.4第1题 巩固提升 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 2. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形， 求∠AEB 的度数. 证明: ∵△BEC 是等边三角形， ∴BE = EC = BC = AB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 ° ∴∠AEB = = 75 ° 教材习题1.4第2题 巩固提升 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 6. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四 个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC. 证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ. 证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O． 在正方形 ABCD 中, ∵PD ＝ QC, ∴DQ ＝ AP ． 又∵AB ＝ AD ,∠D ＝∠PAB ＝ 90°, ∴△ABP ≌△DAQ． ∴BP ＝AQ,∠DAQ＝∠ABP ． ∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB． ∴∠AOP ＝90°．∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ． 教材习题1.4第6题 巩固提升 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 8. 四边形ABCD是正方形。 （1）如图(1)，点P是对角线BD上一点，连接AP，CP。线段AP与CP有怎样的关系?请证明你的结论。 （2）如图(2)，如果点P在BD的延长线上，连接AP，CP。线段AP与CP有怎样的关系?为什么? （3）你还可以提出什么问题? 巩固提升 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽度）.你有几种方法？ 巩固提升 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? $