精品解析：河北邯郸市第二十五中学2025-2026学年下学期九年级中考第三阶段测试数学试卷

数学练习卷（三） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在有理数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ） A. B. C. D. 4. 某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 23 5. 某战区举行军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的东北方向（如图），同时观测到军舰B位于点O的北偏西方向，那么（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边与半圆相切于点，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、重合，则三角板直角边的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 10. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系．小明原来佩戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了150度 B. 下降了250度 C. 下降了350度 D. 不变 11. 在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 12. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 14. 如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为________． 15. 如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 16. 如图，在正六边形中除点为原点，点外，其他各点均在轴上方，将正三角形在正六边形外连续作如下运动：起始位置，与重合；第一次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；第二次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；……如此运动，共完成六次运动，在这个运动的过程中，点P，O之间距离的最大值为_____________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求的取值范围． 18. 甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数），甲、乙面积分别记为，． （1）求； （2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，请说明该正方形的面积不小于． 19. 端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A包粽子，B划旱船，C诵诗词，D创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题： （1）________，“创美文”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为________°； （2）补全条形统计图； （3）若学校有2000名学生，请估计选择类活动的人数； （4）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 20. 如图，已知正方形的边长为，，分别是，延长线上的点，连接，，于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数； （3）若，求的面积． 21. 情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 （1）请求出长（结果保留一位小数）； （2）在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 22. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为  %； （2）求段的函数解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 23. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． （1）求船轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； （2）在点处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线的一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； （3）若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 24. 综合与实践 【情境】圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，B都在圆上）裁剪后，得到如图12-1所示的图形，为了复原该圆形纸板，需要确定圆心的位置． 【探究】嘉嘉说：“若连接，则只需要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． （1）结合嘉嘉的说法，应作线段_______（写出一条）的垂直平分线； 【操作】 （2）在【探究】的基础上，在图1中用尺规作图作出圆形纸板的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展】 （3）将矩形绕圆心O旋转，点C，D、E始终在优弧上，连接，已知，． ①如图2，当时，求点D到的距离； ②当顶点D到距离最大时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习卷（三） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在有理数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用有理数大小比较法则，先比较两个负数的大小，再将所有数整体排序，即可得到最小的数. 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵负数小于，小于正数， ∴， ∴四个数中最小的数是. 2. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 3. 如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可知对应线段相等，对应点之间的距离即为平移距离，结合图形利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴平移距离为线段的长，且， 由图可知，点在线段上 ∵，， ∴， ∴平移距离为3． 4. 某航模社团开展某小型无人机飞行时长测试，随机抽取5架该型无人机，充满电后首次飞行时长记录如下（单位：分钟）：18，20，22，23，24．这组数据的中位数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的概念及计算，解题的关键是熟练掌握中位数的定义——将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数；若为偶数，则中间两个数的平均数为中位数． 先确认所给数据是否已按从小到大顺序排列，本题数据18，20，22，23，24已有序；再根据数据个数为5（奇数），计算中间位置为，即第3个数据就是这组数据的中位数． 【详解】解：根据中位数的定义，将数据按从小到大排列：18，20，22，23，24； 数据个数为5（奇数），中间位置为第个，第3个数据为22，故这组数据的中位数是22． 故选：C． 5. 某战区举行军事演习，位于点O处的军演指挥部观测到军舰A位于点O的东北方向（如图），同时观测到军舰B位于点O的北偏西方向，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方向角，角的和差．根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵由题意可得，， ∴． 故选：C 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A．无法变形，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 7. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故选；B． 8. 关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0，即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论． 【详解】解：∵a＝1，b＝−2，c＝a， ∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0， 解得：a＞1， ∴点（a，a＋1）在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 9. 如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边与半圆相切于点，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、重合，则三角板直角边的长为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握切线的性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，，，如图，连接，则，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 如图，连接， ∵三角板的斜边与半圆相切于点， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 故选：D． 10. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系．小明原来佩戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4米，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了150度 B. 下降了250度 C. 下降了350度 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】先求出近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式，再根据矫正治疗后所配镜片焦距调整为米，可求出现在小宇佩戴的眼镜度数，两次比较即可求解． 【详解】解：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式为， 则由函数图像可得：，即：， ∴， 当时，，即矫正治疗后的视力为250度， ∴400-250=150，即下降了150度． 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.4m代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键． 11. 在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形边角关系、圆的基本性质等知识点，掌握三角形中大角对大边、小角对小边成为解题的关键． 根据三角形边角关系以及圆的性质进行判断即可． 【详解】解析：若点C在外，则， ； 若点C在上，则， ∴； 若点C在内，则， ∴； 故方案Ⅰ可行； 若与边交于点A，则， ∴； 若与边交于不是A的点，则， ； 若与边的延长线有交点，则， ∴； 故方案Ⅱ可行． 综上，Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选C． 12. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上运动（不与端点重合），且保持，连接，，．设，，．在点的运动过程中，给出下面三个结论： ①；②；③最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，①由得，根据点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合），则，由此可对结论①进行判断；②根据，由勾股定理得：，由此可对结论②进行判断；③连接，设，根据等腰直角三角形的性质得，由勾股定理得，即，再由得，当且仅当时，，此时，则有，当时，，此时，则有，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵点E，F分别在直角边上运动（不与端点重合）， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴，故结论②正确； ③连接，设，如图所示：   在，点D为斜边上的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 当且仅当时，即点E，F分别为的中点时，， 此时，则有， 当时，即点E，F不是的中点时，，此时，则有， ∴，且等号可以取到，即最小值为．故结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查根式的加减运算，及根式相等的条件，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式及根式相等即被开方数相同． 14. 如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为________． 【答案】##10米 【解析】 【分析】根据余弦的定义得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：在中，， 则， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， 则 15. 如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可求出，，进而求出阴影部分扇形的半径和圆心角的度数，利用弧长公式求出的长，再根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径． 【详解】解： 如图，过点作于点， 正六边形的边长为2， ∴，， ， ， ，， 的长为， 设圆锥的底面半径为， 则，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与正多边形，求弧长，求圆锥的底面半径，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是解题的关键． 16. 如图，在正六边形中除点为原点，点外，其他各点均在轴上方，将正三角形在正六边形外连续作如下运动：起始位置，与重合；第一次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；第二次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；……如此运动，共完成六次运动，在这个运动的过程中，点P，O之间距离的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，点的轨迹以及线段的最值，作出图形得出的长度为点P，O之间距离的最大值，求出，可得的最大值为． 【详解】解：点的运动轨迹如图所示的虚线部分， 延长交轨迹于点（位置不只是一种）， 此时的长度为点P，O之间距离的最大值， ∵点为原点，点外，其他各点均在轴上方， ∴， 又， ∴， 过点E作于点，则， ∴， ∴， 的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，代数式求值，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）根据运算程序列出方程，得出的值，进而代入乙的运算程序进行计算即可求解； （2）根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 解得： 乙的计算结果为： 【小问2详解】 解：依题意， ∴ ∴ 解得：． 18. 甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数），甲、乙面积分别记为，． （1）求； （2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，请说明该正方形的面积不小于． 【答案】（1） （2）证明：甲、乙两个长方形的周长之和 ， ∵一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和， ∴这个正方形的周长为， ∴这个正方形的边长为， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴这个正方形的面积为， ∴该正方形的面积不小于． 【解析】 【分析】（1）先列出算式，再根据多项式的乘法展开计算即可； （2）先列式求出两个正方形的周长之和，即可得到大正方形的周长，进而可得边长，结合为正整数即可判断． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 证明：略． 19. 端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A包粽子，B划旱船，C诵诗词，D创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题： （1）________，“创美文”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为________°； （2）补全条形统计图； （3）若学校有2000名学生，请估计选择类活动人数； （4）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）25，36 （2） （3）200人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出的值，再计算出创美文所对应圆心角的度数； （2）先求出诵诗词的人数，再补全条形统计图； （3）用2000乘以D类活动所占的百分比即可； （4）先画树状图，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， ∴（人）， “创美文”在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为：， 【小问2详解】 解：诵诗词的人数：（人）， 补全统计图略； 【小问3详解】 解：， （人）， 答：选择D类活动的人数大约有200人； 【小问4详解】 解：依题意，树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种， 所以同时选中甲和乙的概率为． 20. 如图，已知正方形的边长为，，分别是，延长线上的点，连接，，于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数； （3）若，求的面积． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）的度数为； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，可得，，结合同角的余角相等，可得，证明，可得，即可证得结论； （2）由正方形的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数； （3）由已知可得，由勾股定理可得，证明，可得，即可得的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为． 21. 情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 （1）请求出长（结果保留一位小数）； （2）在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 【答案】（1）cm （2）淇淇看法正确，见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）作于，利用矩形的性质，通过求得，然后根据锐角三角函数解直角三角形； （2）延长，交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明． 小问1详解】 解：如图，作于， 由题意可得四边形是矩形， ． 又∵， ，． 在Rt中，． 【小问2详解】 解：淇淇看法正确．理由如下： 延长，交底部于C，D． 由题意得，， 四边形是平行四边形， ． 同理，． ． 22. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为  %； （2）求段的函数解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】（1）30 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）利用3小时的所充电池电量除以3即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先利用该汽车电池电量从充至所充电量除以普通充电器对该汽车每小时的充电量求得普通充电器所用时间，再把代入求得快充电器所用时间，即可求解． 【小问1详解】 解：普通充电器对该汽车每小时的充电量为， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：设直线表达式为， 把、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 解：由（1）可得，普通充电器对该汽车每小时的充电量为， ∴该汽车电池电量从充至，普通充电器所用时间为， 把代入得，， 解得， ∴该汽车电池电量从充至，快充电器所用时间为， ∴快速充电器比普通充电器少用． 23. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． （1）求船轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； （2）在点处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； （3）若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 【答案】（1）船轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为； （2）能砸中，计算说明过程见解析； （3）若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，并且会求二次函数的解析式． （1）设出二次函数的顶点式，代入原点坐标，可得二次项系数，从而可得船轮廓线所在抛物线的解析式，代入点的纵坐标，可得点的横坐标； （2）把点的坐标代入小球所走路线的抛物线解析式，解得的值，从而可得小球所走路线的抛物线的解析式，代入点的横坐标，通过计算判断抛物线与标志杆是否有交点即可； （3）根据二次函数图象的平移，可得在题设条件下小球所走路线抛物线的解析式，代入点的坐标，求出小球经过标志杆顶端对应的的值，即可确定满足题意的的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意，设船轮廓线所在抛物线的解析式为， 将的坐标代入，得 ．解得． ∴， 把代入抛物线解析式，得． 解得，，（舍去）， 点B的坐标为， 答：船轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为． 【小问2详解】 能砸中． 将点坐标代入，得 ， 解得，， ， 当时， 小球能砸到标志杆． 【小问3详解】 解： 水面上涨2米，小船再向右移动米，小球所走路线抛物线的解析式为 若抛物线经过点，则， 解得，，． ． 答：若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是． 24. 综合与实践 【情境】圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，B都在圆上）裁剪后，得到如图12-1所示的图形，为了复原该圆形纸板，需要确定圆心的位置． 【探究】嘉嘉说：“若连接，则只需要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． （1）结合嘉嘉的说法，应作线段_______（写出一条）的垂直平分线； 【操作】 （2）在【探究】的基础上，在图1中用尺规作图作出圆形纸板的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展】 （3）将矩形绕圆心O旋转，点C，D、E始终在优弧上，连接，已知，． ①如图2，当时，求点D到的距离； ②当顶点D到距离最大时，直接写出此时的长． 【答案】（1）（答案不唯一，，，，均可） （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）依据圆心是圆内任意两条弦垂直平分线的交点，任选圆内一条弦，作它的垂直平分线，两线交点即为圆心． （2）以点C、点D为圆心，大于线段长度的一半为半径画弧，两弧会在线段两侧各交于一点，连接两个交点即可得到线段的垂直平分线，该线与的交点即为圆心． （3）①利用矩形性质与勾股定理求出直径，得到圆半径；由垂径定理，结合勾股定理算出圆心到弦的距离；用面积法求出点D到的距离；根据，将两段距离相加，得到点D到的距离．②先确定圆半径，算出圆心到的距离； 分析得出到距离最大时，且过圆心； 证明三角形全等，结合等腰三角形性质推出； 多次利用勾股定理，分步计算线段长，最终求出． 【小问1详解】 解： 在矩形中，，且C、D、E、F在圆上 是圆的直径，圆心在的中点 圆心是圆内任意两条弦的垂直平分线的交点 作图中任意一条弦的垂直平分线，其与的交点即为圆心 ∴在图中可选择的线段有、、、． 【小问2详解】 解：如图所示，点O即为所求； 【小问3详解】 ① 在矩形中，， C、D、E、F在圆上，且 是圆的直径，半径为5 如图，记中点为圆心O，记中点为M，连接、， 由垂径定理可得， 在中，设到的距离为 解得 ， 点到的距离为 ② 四边形是矩形 ，，． ，点、在上 是的直径． 在中，由勾股定理得： 为中点，半径 ． 过点作，垂足为，连接． 由垂径定理得：． ， ． 在中，由勾股定理得： 当点D到直线的距离最大时，矩形对角线经过圆心，且，即D、O、F、G四点共线，． ， 平分（等腰三角形三线合一），即． ． ， ． 连接，在和中： ． ． ∴， 即． ∴ 即平分． ， ∴是等腰三角形 （等腰三角形三线合一）． 设交于点，由等腰三角形三线合一得： ， ． 在中，，，由勾股定理得： ， ． 在中，，由勾股定理得： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $