精品解析：2025年河北省中考真题数学试题

2025年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中 ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 5. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为 ， ，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有， ， 中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 9. 如图，在五边形中，，延长， ，分别交直线于点 ， ．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 10. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将矩形 沿对角线 折叠，点 落在处，交 于点 ．将沿折叠，点 落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形 与正方形的顶点均为整点．若只将正方形 平移，使其内部（不含边界）有且只有 ，， 三个整点，则平移后点 的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 平行四边形的一组邻边长分别为 ， ，一条对角线长为 ．若 为整数，则 的值可以为______．（写出一个即可） 15. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ， ．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，） 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 18. （1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 19. 如图．四边形 的对角线 ， 相交于点 ，，，点 在上，． （1）求证：； （2）若，求证： ． 20. 某工厂生产 ，， ， 四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题： 产品 数据 类别 调整前单价成本（元/件） 调整后单价成本（元/件） 方案甲 方案乙 （1）求调整前 产品的年产量； （2）直接写出 ， 的值； （3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 21. 如图1，图2，正方形 的边长为5．扇形所在圆的圆心 在对角线 上，且不与点 重合，半径，点 ， 分别在边 ，上，，扇形的弧交线段于点 ，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 22. 一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中 为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． （1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． （3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 23. 综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形 （数据如图 所示）．作一条直线，使与 所夹的锐角为，且将矩形 分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接 ， 交于点 ； ②过点 作，分别交 ， 于点 ， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边 上截取，连接 ； ②作线段的垂直平分线 ，交 于点 ； ③在边 上截取，作直线． （1）图 中，矩形 的周长为______； （2）在图 的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图 中的直线符合要求． （4）如图 ，若直线 将矩形 分成周长相等的两部分，分别交边 ， 于点 ，，过点作于点，连接 ． 当时，求的值； 当最大时，直接写出 的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为 ．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求 ， 的值及点 的坐标． （2）点 在上，到 轴的距离为．判断能否经过点 ，若能，求 的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点 ，点 在线段上，且点 的横坐标是点 横坐标的一半． ①若点 与点 重合，点 恰好落在上，求 的值； ②若点 为直线与的唯一公共点，请直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 计算：（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 5. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为 ， ，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有 ， ， 中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字 有 个，数字 有2个，则数字 只有 个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字 有 个，数字 有2个，则数字 只有 个 选项A中数字 有2个，符合题意 故选：A． 8. 若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 9. 如图，在五边形中，，延长， ，分别交直线于点 ， ．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 10. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于 的范围求解． 【详解】解：∵，，当时， 随 的增大而减小， 当 时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 11. 如图，将矩形 沿对角线 折叠，点 落在处，交 于点 ．将沿折叠，点 落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得 ，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形 与正方形的顶点均为整点．若只将正方形 平移，使其内部（不含边界）有且只有 ， ， 三个整点，则平移后点 的对应点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当 为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当 为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当 为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当 为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 平行四边形的一组邻边长分别为 ， ，一条对角线长为 ．若 为整数，则 的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∵ 为整数， ∴ 可以是 ， ， ， ， 故答案为： （答案不唯一）． 15. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ， ．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 【答案】99 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段 的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D 由图可得，线段 的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴ ∴相邻两个数字与圆心 组成的圆心角为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． ∴这条线段的长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1） ， 数轴表示如下所示： （2）， 数轴表示如下所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得 ； （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， （3） 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 18. （1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 19. 如图．四边形 的对角线 ， 相交于点 ，，，点 在上，． （1）求证：； （2）若，求证： ． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即 . 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某工厂生产 ， ， ， 四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题： 产品 数据 类别 调整前单价成本（元/件） 调整后单价成本（元/件） 方案甲 方案乙 （1）求调整前 产品的年产量； （2）直接写出 ， 的值； （3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 【答案】（1） 万件 （2）， （3）甲种方案总成本较低 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键； （1）先求得总产量，然后求得 的年产量，最后求得 产品的年产量； （2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解； （3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 万件， 产品的年产量为：万件， ∴调整前 产品的年产量为：万件 【小问2详解】 ∵方案甲的平均数与调整前的相同， ∴ 解得：， ∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为 调整后为， ∴ 【小问3详解】 解：方案甲的总成本为：（万元） 方案乙的总成本为：（万元） ∴甲种方案总成本较低 21. 如图1，图2，正方形 的边长为5．扇形所在圆的圆心 在对角线 上，且不与点 重合，半径，点 ， 分别在边 ，上，，扇形的弧交线段于点 ，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交 于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 ∵正方形 的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心 在对角线 上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交 于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 【小问3详解】 如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中 为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． （1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． （3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 答：该铜棒的伸长量． 【小问2详解】 解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加量为． 【小问3详解】 解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 23. 综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图 ），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形 （数据如图 所示）．作一条直线，使与 所夹的锐角为，且将矩形 分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接 ， 交于点 ； ②过点 作，分别交 ， 于点 ， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边 上截取，连接 ； ②作线段的垂直平分线 ，交 于点 ； ③在边 上截取，作直线． （1）图 中，矩形 的周长为______； （2）在图 的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图 中的直线符合要求． （4）如图 ，若直线 将矩形 分成周长相等的两部分，分别交边 ， 于点 ，，过点 作于点，连接 ． 当时，求的值； 当最大时，直接写出 的长． 【答案】（1）； （2） （3）证明： 四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； （4）；． 【解析】 【分析】根据矩形的周长公式计算即可； 以点 为圆心为半径画弧，交于点 ，延长交于点 ，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求； 根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求； 过点作，连接交 于点 ，过点 作于点 ，过点 作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切； 连接交 于点 ， 把矩形分成了周长相等的两部分，点 为和 的中点，利用勾股定理可以求出，，过点 作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形 的周长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：以点 为圆心为半径画弧，交于点 ，延长交于点 ，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点 ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如下图所示，过点作，连接交 于点 ，过点 作于点 ，过点 作， 四边形是矩形，且直线 将矩形 分成周长相等的两部分， 则点 是矩形的对角线与的交点， 点 是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交 于点 ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点 为和 的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点 作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为 ．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． （1）求 ， 的值及点 的坐标． （2）点 在上，到 轴的距离为．判断能否经过点 ，若能，求 的值；若不能，请说明理由． （3）直线交于点 ，点 在线段上，且点 的横坐标是点 横坐标的一半． ①若点 与点 重合，点 恰好落在上，求 的值； ②若点 为直线与的唯一公共点，请直接写出 的值． 【答案】（1）， （2）不能，理由： ∵点 在（第一象限）上，到 轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点 , （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将 代入，得出①，根据点 为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得 的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①∵， 当重合时，则 ∵ 是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点 ，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去 得， ∴，则 ∵点 的横坐标是点 横坐标的一半． ∴即， 将 代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点 为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $