2.1 认识一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程”第1、2课时，核心内容包括一元二次方程的概念、一般形式及解的估算。课堂导入通过复习已学方程（一元一次、分式方程等）及旧知回顾，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知学习。 其亮点在于以实际问题情境（如地毯宽度、梯子滑动）引导学生用数学眼光发现数量关系，通过“议一议”自主总结概念培养推理意识，解的估算采用列表“两边夹”方法发展模型意识。结构化小结梳理知识要点，助力学生提升抽象与运算能力，也为教师提供清晰教学流程和实例支持。

2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 九年级上册数学（北师版） 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 复习导入 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为(8 - 2x) m，宽为 (5 - 2x) m，根据题意，可得方程： ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .① 一元二次方程的相关概念 1 探究新知 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ② 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 6 m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙 (x + 6) m， 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ (x + 6)2 + 72 = 102. 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 10 m 8 m 1 m x m 2x2 - 13x + 11 = 0 ① x2 - 8x - 20＝0 ② x2 + 12 x - 15 = 0 ③ 1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是 2； 3.整式方程． 方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点： 议一议 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 知识要点 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 典例精析 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3 + x2 = 36 (3) x + 3y = 36 (5) x + 1 = 0  × × × ×  × × (1) x2 + x = 36 注意：未限定 a ≠ 0 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 例2 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2. 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件 当堂小结 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 课堂练习 2. 关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0， 当 k 　　时，是一元二次方程． 当 k 　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝−1 3.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 4. 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）； 解：由挖去的圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意，得 200 cm 150 cm 2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 九年级上册数学（北师版） 问1：一元二次方程有哪些特点？ ① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是 2； ③整式方程 问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数， a ≠ 0) 复习导入 问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程 (8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？ (1) x 可能小于 0 吗？说说你的理由． 不能，因为 x 代表宽度，小于 0不符合实际. 一元二次方程解的估算 1 x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？ 说说你的理由. 8 - 2x 5 - 2x 不可能，地毯宽度不能小于 0. 探究新知 （3）填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8 - 2x)(5 - 2x) （4）你知道地毯花边的宽 x (m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流． 4 10 18 28 （2）你能确定 x 的大致范围吗？ 8 - 2x＞0，5 - 2x＞0， 解得 x＜4，x＜2.5， 所以 0＜x＜2.5 x = 1 (1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？ 可能是 3 m 吗？为什么？ 问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 (x + 6)2 + 72 = 102，也就是 x2 + 12x - 15 = 0. 10 m 8 m 1 m x m 做一做 12 + 12×1 - 15 = -2 22 + 12×2 - 15 = 13 32 + 12×3 - 15 = 30 10 m 8 m 1 m x m (3) 你能猜出滑动距离 x 的大致范围吗？ (4) x 的整数部分是几？十分位是几？ 下面是小亮的求解过程： x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13 可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5. 进一步计算： 故 1.1＜x＜1.2，因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 x ≈ 1.1 你的结果怎样呢？ 例1 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必需在距水面 5 m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误. 假设运动员起跳后的运动时间 t (s) 和运动员距水面的高度 h (m) 满足关系：h＝10＋2.5t－5t2. 那么他最多有多长时间完成规定动作？ 5 ＝ 10＋2.5t－5t2. 2t2－t－2 ＝ 0. 即 解：根据题意得 典例精析 由此看出，可以使 2t2 - t - 2 的值为 0 的 t 的范围是1.2＜t＜1.3 .故可知运动员完成规定动作最多有 1.3 s. t … 1.1 1.2 1.3 1.4 … 2t2 - t - 2 … … -0.68 -0.32 0.08 0.52 t … 0 1 2 3 … 2t2 - t - 2 … … 所以 1＜t＜2.进一步列表如下： -2 -1 4 13 列表如下： 解一元二次方程 （“两边夹”方法） 确定其解的大致范围 列表、计算 进行两边“夹” …… 求得近似解 当堂小结 1. 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）. 解：（1）列表.依次取 x = 0，1，2，3… x 0 1 2 3 … x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 … 课堂练习 由上表可发现，当 2＜x＜3 时，-1＜ x2 - 2x -1 ＜2； （2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5… 由表发现，当 2.4＜x＜2.5 时，- 0.04＜x2 - 2x - 1＜0.25； x 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2 - 2x - 1 - 0.79 - 0.31 - 0.04 0.25 … （3）取 x = 2.45，则 x2 - 2x - 1 ≈ 0.1025. ∴2.4＜x＜2.45. ∴x ≈ 2.4. 2.根据题意，列出方程，并估算方程的解： 一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2) m ，根据题意得： x·(x + 2) = 120. 即 x2 + 2x - 120 = 0. 120 m2 (x + 2) m x m 根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在 0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近): x … … x2 + 2x – 120 … … 8 9 10 11 -40 -21 0 23 所以 x = 10.因此这苗圃的长是 12 米，宽是 10 米. $