2.2第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用配方法解简单的一元二次方程”，通过复习平方根意义及性质，结合梯子滑动的实际问题引出方程x²+12x-15=0，搭建从直接开平方法到配方法的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实际情境驱动（数学眼光），通过“思考·交流”引导学生从解特殊方程到探究需配方方程，培养推理意识（数学思维），步骤总结用表格清晰呈现配方法流程（数学语言）。助力学生发展抽象能力与理性思维，教师可借助结构化内容提升教学效率。

用配方法解简单的一元二次方程 2 北师版九年级上册 1 复习导入 如果一个数的平方等于 4，则这个数是____， 若一个数的平方等于 7，则这个数是_____。 一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 3. 平方根的意义。 ±2 两个平方根，互为相反数。 如果 x2 = a ( a ≥ 0 )，那么 x = 。 探究新知 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m。 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 = 102 即 x2 ＋12 x －15 = 0 勾股定理 相等关系： 列表可以估算 1 < x < 1.5。 你能求出精确值吗？ 思考·交流 （1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ x2 = 4 x2 = 0 x2 + 1 = 0 解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = －2 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0 解：移项，得 x2 = －1 ∵负数没有平方根 ∴原方程无解。 对于方程：x2 = p， （1）当 p＞0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 ； （2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； （3）当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0，所以方程无实数根。 （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？你总结出怎样的经验？ x2 = 5 2x2 + 3 = 5 x2 + 2x + 1 = 5 解：开平方，得 解：2x2 + 3 = 5 移项，得 2x2 = 2 x2 = 1 x1 = 1 x2 = －1 解： x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1)2 = 5 （3）你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？ 能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗？与同伴进行交流。 x2 + 12x -15 = 0 移项，得 x2 + 12x = 15 两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62 即 ( x + 6 )2 = 51 两边开平方，得 因此方程有两个根 x2 + 12x -15 = 0 x1、x2 都符合原问题的要求吗？ 用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义。 （舍） 一般地，对于形如 （x + m）2 = n（n ≥ 0）的方程，利用平方根的意义直接开平方，这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。 用直接开平方法解一元二次方程 归纳 （x + m）2 = n（n ≥ 0） 变形 开方后，等式的右边取“正、负”两种情况 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 填上适当的数，使下列等式成立： 1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2 2. x2 － 4x +_____= (x－___)2 3. x2 + 8x +_____= (x +___)2 操作·思考 观察上面三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢？ 常数项 = 一次项系数一半的平方 1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2 2. x2 － 4x +_____= (x－___)2 3. x2 + 8x +_____= (x +___)2 62 22 2 42 4 x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2 x2 ± 2ax + ____ = (x ± ____ )2 2a a 一半 a2 一半的平方 对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 例1 解方程：x2 + 8x–9 = 0。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9。 两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， (x+4)2 = 25。 两边开平方，得 x + 4 = ±5， 即 x+4 = 5，或 x+4 = －5。 所以 x1 = 1，x2 = －9。 我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 x2 + 12x -15 = 0 ( x + 6 )2 = 51 (x+4)2 = 25 x2 + 8x–9 = 0 思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： —般步骤 方法 示例：x2+2x-3 = 0 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 x2 + 2x = 3 二配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 x2-2x+(-1)2=3+(-1)2，即(x-1)2=4 三开 开平方 利用平方根的意义两边开平方 x-1=±2 四解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 x1 = 3，x2 = -1 注意方程右边必须是非负数 用配方法解方程 x2－2x = 2 时，配方后正确的是 （ ） A. (x + 1)2 = 3 B. (x + 1)2 = 6 C. (x－1)2 = 3 D. (x－1)2 = 6 达标检测 C 用配方法解一元二次方程 x2 + 6x－1 = 0 时，将它化为 (x + a)2 = b 的形式，则 a + b 的值为______。 x2 + 6x－1 = 0 x2 + 6x + 32 = 1 + 32 (x + 3)2 = 10 a = 3 b = 10 13 【选自教材P38 随堂练习】 （1）x2－10x + 25 = 7 ； （2）x2－14x = 8； 3. 解下列方程： （1）解: 移项，得 x2－10x = －18。 两边都加52，得 x2－10x + 52 = －18 + 52。 即 (x－5)2 = 7。 两边开平方，得 。 （2）解：两边都加72，得 x2-14x + 72 = 8+72。 即 (x-7)2 = 57。 两边开平方，得 【选自教材P38 随堂练习】 （1）x2－10x + 25 = 7 ； （2）x2－14x = 8； 3. 解下列方程： （3）x2 + 3x = 1； （4）x2 + 2x + 2 = 8x + 4。 （3）解：两边都加( )2，得 x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 。 即 (x + )2 = 。 两边开平方，得 【选自教材P38 随堂练习】 3. 解下列方程： （4）解：移项，得 x2 -6x = 2。 两边都加32，得 x2-6x+32 = 2+32。 即 (x-3)2 = 11。 两边开平方，得 。 （3）x2 + 3x = 1； （4）x2 + 2x + 2 = 8x + 4。 【选自教材P38 随堂练习】 3. 解下列方程： 课堂小结 解一元二次方程的基本思路是什么？ x2 + 12x -15 = 0 ( x + 6 )2 = 51 解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n 的形式。 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $