2.2 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 教学课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用因式分解法解一元二次方程”，课堂导入先复习配方法和公式法，通过小球运动问题引出方程15t-5t²=0，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实际问题驱动，结合错误分析（如约去t漏根）和多种解法对比（直接开平方法、配方法等），培养数学思维中的推理意识和数学眼光中的抽象能力。通过步骤归纳和达标检测，用数学语言清晰表达方法逻辑，助力学生理解本质，也为教师提供丰富教学资源。

用因式分解法解一元二次方程 2 北师版九年级上册 1 用公式法解一元二次方程应先将方程化为__________。 用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_________________的形式。 复习导入 (x+m)2 = n（n≥0） 一般形式 因式分解的方法 （1）提公因式法 am + bm + cm = m(a + b + c) （2）公式法 a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 探究新知 一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度 h (单位:m) 与运动的时间 (单位:s) 满足关系：h = 15t－5t2。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0，于是可得方程 15t－5t2 = 0。 由方程 15t－5t2 = 0， 得 5t2－15t = 0。 所以 t1 = 0，t2 = 3。 因此 15t－5t2 = 0 由方程 15t－5t2 = 0，得 5t2 = 15t。 两边都约去 5t， 得 t = 3。 15t－5t2 = 0 错误的，约去 t 的时候必须保证 t ≠ 0，他的做法漏掉了根为0的情况。 由方程 15t－5t2 = 0， 得 5t2 － 15t = 0。 即 5t(t－3) = 0。 于是 t = 0，或 t － 3 = 0。 所以 t1 = 0，t2 = 3。 15t－5t2 = 0 当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。 归纳总结 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。 15t－5t2 = 0 5t(t－3) = 0 例 解方程： （1）5x2 = 4x； （2）x(x－2) = x－2。 解：（1）原方程可变形为 5x2 - 4x = 0 ， x(5x - 4) = 0 ， x = 0 ，或 5x–4 = 0。 （2）原方程可变形为 x(x - 2) – (x－2) = 0 ， (x－2)(x－1) = 0 。 x－2 = 0 ，或 x－1 = 0。 x1 = 2 ，x2 = 1。 用因式分解法解方程 x2 + 5x + 6 = 0。 思考 （x + p）（x + q）= x2 +（p + q）x + pq 2 + 3 = 5 2 × 3 = 6 x2 + 5x + 6 = x2 + (3 + 2)x + 3×2 = (x + 2)(x + 3) x + 2 = 0，或 x + 3 = 0。 x1 = －2 ，x2 = －3。 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 方程右边化为______。 将方程左边分解成两个___________的乘积。 至少_________因式为零，得到两个一元一次方程。 两个_____________________就是原方程的解。 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 （1）解方程 x2－4 = 0，(x + 1)2－25 = 0，x2 + 2x－3 = 0，x2 + 6x－8 = 0。 （2）你用了哪些方法求解（1）中的方程？ 操作·思考 x2－4 = 0 解：原方程可变形为 x2 = 4 x = ±2 x1 = －2，x2 = 2。 解：原方程可变形为 (x + 2)(x－2) = 0 x + 2 = 0 或 x－2 = 0 x1 = －2，x2 = 2。 直接开平方法 因式分解法 解：原方程可变形为 (x + 1 + 5)(x + 1－5) = 0 (x + 6)(x－4) = 0 x + 6 = 0 或 x－4 = 0 x1 = －6，x2 = 4。 操作·思考 (x + 1)2－25 = 0 解：原方程可变形为 (x + 1)2 = 4 x +1 = ±2 x + 1 = 2 或 x + 1 = －2 x1 = －2，x2 = 2。 直接开平方法 因式分解法 x2 + 2x－3 = 0 解：原方程可变形为 (x + 3)(x－1) = 0 x + 3 = 0 或 x－1 = 0 x1 = －3，x2 = 1。 操作·思考 解：移项，得 x2 + 2x = 3， 两边都加12，得 x2 + 2x + 1 = 4。 即 (x + 1)2 = 4。 两边开平方，得 x + 1 = ±2。 x + 1 = －2 或 x + 1 = 2 x1 = －3，x2 = 1。 因式分解法 配方法 操作·思考 x2 + 6x－8 = 0 解：原方程可变形为 (x－2)(x－4) = 0 (x + 6)(x－4) = 0 x + 6 = 0 或 x－4 = 0 x1 = －6，x2 = 4. 解：a = 1，b = 6，c = －8。 ∵ b2 - 4ac = 62 - 4×1×(-8) = 68 > 0， 因式分解法 公式法 回顾·反思 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(ax+m)2=n(n≥0)的方程 平方根的意义 开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分解法 一边是0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 用因式分解法解下列方程： （1）(x + 2)(x - 4) = 0； （2）4x(2x + 1) = 3(2x + 1). 达标检测 【选自教材P45 随堂练习 第1题】 解：（1） x + 2 = 0 或 x - 4 = 0 x1 = -2，x2 = 4. （2）原方程可变形为 4x(2x + 1) - 3(2x + 1) = 0 (2x + 1)(4x - 3) = 0 2x + 1 = 0 或 4x - 3 = 0 一个数平方的 2 倍等于这个数 的 7 倍，求这个数. 解：设这个数为 x. 2x2 = 7x. 2x2 - 7x = 0. x(2x – 7) = 0. x = 0 或 2x–7 = 0. 【选自教材P45 随堂练习 第2题】 3. 下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务； 课堂小结 当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 方程右边化为______。 将方程左边分解成两个____________的乘积。 至少________因式为零，得到两个一元一次方程。 两个______________________就是原方程的解。 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 课堂小结 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $