3.3.1 抛物线及其标准方程（第2课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线定义的应用，围绕最值、轨迹及实际问题展开。通过例题解析（如求抛物线上动点到定点与焦点距离和的最小值）、探究总结（如距离转化方法）及思考题搭建学习支架，衔接抛物线定义与应用的知识脉络。 其亮点在于以定义为核心，通过“探究”环节提炼解题方法（如轨迹问题转化为抛物线定义），结合拱桥、探照灯等实际情境培养数学建模与数学思维。例题解析详细且方法明确，学生能提升运算与应用能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

3.3.1　抛物线及其标准方程 (第2课时) 素养目标 利用抛物线的定义解决最值、轨迹及实际应用问题．(数学运算、数学建模) 课时学案 3 例 1　已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标． 题型一　 利用抛物线的定义求最值问题 【解析】　易知点A在抛物线内．如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当P为AB与抛物线的交点时，取等号． 所以(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5. 此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，所以P(1，2)． 第页 4 探究1 涉及抛物线上的点与焦点有关的距离最值问题的解法 在抛物线中求解与焦点有关的距离和的最小值时，常用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，即化折线为直线解决最值问题． 第页 思考题1　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 2 第页 例 2 动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x　　　　　　 B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y √ 题型二　 利用抛物线定义求轨迹问题 第页 7 第页 探究2 解决轨迹为抛物线问题的方法 轨迹为抛物线的问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件． 第页 第页 例 3　已知某条河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面的部分高为0.75米． (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； 题型三　 抛物线的实际应用问题 第页 11 (2)当水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？ 第页 √ 第页 返 回 课后巩固 15 1．点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程为(　　) A．y2＝－16x　　　　　　 B．y2＝16x C．y2＝24x D．y2＝－24x √ 解析　将直线l：x＋5＝0右移1个单位长度，得到直线x＋4＝0，即x＝－4，因为点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，所以点M到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离，根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以点(4，0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，所以点M的轨迹方程为y2＝16x. 第页 2．已知探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是(　　) A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm √ 第页 3.如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽________米． 第页 4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离 与点P到该抛物线的焦点的距离之和的最小值为________． 第页 y2＝－x 返 回 请做：课时作业（三十八） 【解析】　易知x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，焦点为F(1，0)，∴点P到直线x＝－1的距离与点P到点F的距离相等，故所求距离之和的最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，为d＝eq \f(|4×1－0＋6|,\r(32＋42))＝2. 【解析】　方法一：设动圆圆心P(x，y)到直线x＝1的距离等于r，连接PA，则由题意可得|PA|＝1＋r，r＝1－x，即eq \r(（x＋2）2＋y2)＝1＋1－x，化简可得y2＝－8x. 方法二：如图所示，设动圆圆心为P，半径为r，作PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，设PQ与直线x＝1交于点K，则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1.连接AP，则|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|.故点P到圆心A(－2，0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2，0)为焦点，直线x＝2为准线．所以eq \f(p,2)＝2，所以p＝4.所以点P的轨迹方程为y2＝－8x. 【解析】　由于在y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)， 所以动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq \f(1,2)的距离相等． 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)， 设其方程为y2＝2px(p＞0，x≠0)，且eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1，2p＝2， 故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)． 思考题2　若在y轴右侧的动点M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq \f(1,2)，求点M的轨迹方程． 【解析】　(1)以拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系，如图所示，设BB′为水面． 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则由点B(4，－5)在抛物线上，代入方程得2p＝eq \f(16,5)， 所以抛物线的方程为x2＝－eq \f(16,5)y. 【解析】　(2)易知当船两侧和抛物线接触时，船刚好不能通航，如图，设此时水面上涨到CC′，船宽为|AA′|，A(2，yA)，由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4). 又知船露出水面的部分高为0.75米，所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距|yA|＋0.75＝2米时，木船开始不能通航． 思考题3　如图1，上海黄浦江上的卢浦大桥整体呈优美的弧形对称结构．如图2，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P到江面的距离为100 m，且AB＝eq \r(2)CD＝550 m，则顶端P到桥面的距离为(　　) A．50 m B．50eq \r(2) m C．55 m D．55eq \r(2) m 【解析】　以P为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可知B(275，－100)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(275,\r(2))，－h))，其中h为点P到桥面的距离，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2752＝2×100p，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(275,\r(2))))\s\up18(2)＝2hp，))解得h＝50. 解析　如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．易知A(40，30)在抛物线上， ∴302＝2p×40，∴p＝eq \f(45,4)， ∴光源到反光镜顶点的距离为eq \f(p,2)＝eq \f(\f(45,4),2)＝eq \f(45,8)＝5.625(cm)． 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以抛物线的方程为x2＝－2y，水位下降1米后，y＝－3，代入得x2＝6，所以此时水面宽为2eq \r(6)米． 2eq \r(6) 解析　∵y2＝2x，∴抛物线的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，满足条件的点P是点F和点(0，2)所连线段与抛物线的交点，所求距离之和的最小值为点F和点(0，2)之间的距离，即eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up18(2)＋（－2）2)＝eq \f(\r(17),2). eq \f(\r(17),2) 解析　若过B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，因此M到点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))的距离与到直线l：x＝eq \f(1,4)的距离相等，即M在抛物线上，其轨迹方程是y2＝－x. 5．已知点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))，直线l：x＝eq \f(1,4)，点B是直线l上的动点，若过B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是____________． $