精品解析：湖北省荆州市沙市区 2026年初中毕业年级适应性考试数学试题

沙市区2026年初中毕业年级适应性考试 数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较，正确掌握实数大小比较的法则是解题的关键．根据正数大于零，零大于负数，正数大于负数判断即可． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：A． 2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，从前面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从前面看得到的图形是主视图或正视图． 根据从前面看得到的图形是主视图或正视图，可得答案． 【详解】解：从前面看，有三列，从左到右第一列和第二列是一个正方形，第三列是两个正方形． 即看到的图形是． 故选：A． 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．，，故选项A计算错误； B． ，故选项B计算正确； C．与不是同类项，不能合并，故选项C计算错误； D．，，故选项D计算错误． 5. 如图，在菱形中，与相交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，先求出菱形的面积，再根据解答即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图是光线从空气射入玻璃中后发生的折射现象．已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据平行线的性质和垂线的定义求解即可． 【详解】解：， ． ， ， ． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴，证明，即可得出结果． 【详解】解：作轴，如图，则， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴，即． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 9. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图可知，垂直平分，平分，根据三角形的内角和定理，等边对等角，以及三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴. 10. 如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长交于点，若正方形的边长为，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质可求得；作于点，作于点，推出是等腰直角三角形，在中，解直角三角形求得、、的长，推出是等腰直角三角形，求得的长，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 作于点，作于点， ∵正方形的边长为，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，可得， 解得． 12. 计算：的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算同分母分式的减法，再将分子因式分解后约分即可． 【详解】解：． 13. 中国古代益智玩具凭借精巧构思与多元益智价值，历经千年至今依旧深受大众喜爱．七巧板、九连环、鲁班锁就是其中的典型代表．小明从七巧板、九连环、鲁班锁这三种玩具中随机选择两种，则小明恰好选择七巧板和鲁班锁的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出从三种玩具中随机选两种的所有等可能结果，再找出恰好选择七巧板和鲁班锁的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：记七巧板为A，九连环为B，鲁班锁为C． 画树状图如下： 可知共6种情况，其中恰好选择七巧板和鲁班锁的结果有2种， ∴小明恰好选择七巧板和鲁班锁的概率是． 14. 如图，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．若点A的横坐标为4，则当时，x的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点A与B关于原点对称，得出B点横坐标，正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图象即可得出答案． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称，点A的横坐标为4， ∴B点的横坐标为， 由交点横坐标，根据图象可得当时，x的取值范围为：或． 15. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设长为x（单位：）（），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图像与y轴交于点C，最低点D，且经过和两点，请回答下列问题： （1）_______． （2）当时，长度为__________km． 【答案】 ①. 25 ②. 【解析】 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值，最后利用对称性求n的值即可； （2）先运用待定系数法求出抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， ∴， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∵、， ∴和关于对称， ∴． （2）由（1）得：，，即，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】先利用绝对值、零次幂、算术平方根、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，点、、、在一条直线上，，．若___________，则．请从①；②；③这三个选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】 ①或②， 理由：， ，即， 选择①， ， ， 在和中， ， ， ； 选择②， 在和中， ， ， ； 选择③，根据不能证明，则③不能使得结论成立． 故答案为：①或②． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．选择①，利用证明，根据全等三角形的性质得到；选择②，利用证明，根据全等三角形的性质得到；选择③，根据不能证明，则③不能使得结论成立． 【详解】略 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动目的 测量零件的内孔直径 使用工具 交叉卡钳（）， 活动方案 “测角仪”方案 “测距仪”方案 方案 示意图 实施过程 ①如图放置交叉卡钳； ②用测角仪测量角． ①如图放置交叉卡钳； ②测量，两点间的距离． 测量数据 ． ． 备注 参考数据：，，． ，均与底面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，计算零件的内孔直径． 【答案】零件的内孔直径的长约为 【解析】 【分析】方案一：如图：过O作，垂足为E，利用等腰三角形三线合一的性质可得、，且，再解直角三角形即可解答； 方案二：先说明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可。 【详解】解：方案一：选择“测角仪”方案 如图：过O作，垂足为E， ∵， ∴，为的平分线， ∵， ∴，且， 在中，， ∴，零件的内孔直径的长约为． 方案二：选择“测距仪”方案 ∵， ∴， ∴， ∴， 即零件的内孔直径的长约为． 19. 为提高中学生的思维创新能力，某市举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78．其部分信息如下： 甲校学生成绩的扇形统计图甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分） 学校 平均数 中位数 甲 75.6 乙 76.1 77.5 （1）在抽取的同学中，求出甲校同学A组的人数； （2）______，______； （3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由． 【答案】（1）6 （2）20，74 （3）乙校学生的“思维创新能力”更强，因为抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大（合理即可）． 【解析】 【分析】（1）用A组占比乘以总数即可 （2）根据C组人数可知C组人数所占百分比，即可求出的值；根据中位数的定义可知的值； （3）利用平均数、中位数指标，分析两组数据的整体水平与能力差异． 【小问1详解】 解：已知甲校抽取了40名学生， A组占比，人数：人； 【小问2详解】 解：∵C组人数为8人， ∴甲校C组人数所占百分比：， ∴； 已知甲校抽取了40名学生， B组占比，人数：人， E组占比，人数：人， C组人数为8人， D组人数：人． 中位数是40个数据从小到大排列后，第20、21个数的平均数． A组（6人）、B组（11人），共人． C组（8人），A、B、C三组人数和为25人． ∴第20、21个数在C组里，按顺序排列后第20、21个数是73和75． ∴中位数； 【小问3详解】 略． 20. 如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） （2）在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】（1），； （2）证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； （3）7． 【解析】 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据日历表可知，，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 21. 如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，得到，根据角平分线的定义得到，求得，则，，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）连接，，证明是等边三角形，则，，，进而得，，根据三角形和扇形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 22. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：购进45个肉粽和50个蛋黄粽，总费用为240元；购进50个肉粽和45个蛋黄粽，总费用为235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的进价； （2）超市将肉粽的售价定为4元/个，蛋黄粽的售价定为5.5元/个．若超市计划购进这两种粽子共500个． ①设购进肉粽个，全部售完后的总利润为元，求关于的函数表达式； ②根据市场需求，超市计划在不超过1050元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 （2）① ②购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【解析】 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y，然后根据题意列出函数关系式即可；②先根据题意列不等式求得x的取值范围，再根据一次函数的性质求最大利润即可． 【小问1详解】 解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，，解得． 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元． 【小问2详解】 解：①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y， 得，即； ②根据题意得，，解得：， 由题意得：， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为. 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 23. 李老师在教学八年级下册第页数学活动时，引导同学们对几何图形的折叠问题进行了如下数学探究． （1）如图1，在矩形中，将沿直线翻折，点落在点处，连接交于点．求证：． （2）如图2，在矩形中，，，点为边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，当时，求的长度． （3）如图3，在矩形中，点和点分别在边和上，将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处，连接交于点，当，，时，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴，， 由翻折可得：，， ∴，， 在与中， ， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，由翻折的性质可得：，，从而可得，，即可由得出结论； （2）设交于P，由矩形与摠折的性质证明，得到，，从而求得，，在中，由勾股定理，求得，设，则，在中，由勾股定理，得 解得：，即，再证明，得，即，求解即可． （3）先由勾股定理，再证明，得到，，从而求得，设，则，在中，由勾股定理，得，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于P，如图2， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由翻折可得：，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 由翻折可得：，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， ∴的长度为． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点， 与轴交于点，点是轴下方抛物线上不与点重合的一动点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图， 若， 求的值； （3）过点分别作轴，轴的平行线交于点 ，，的周长记为． 求关于的函数解析式； 在点运动的过程中，当取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为 满足，请求出此时的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解； （）过作轴于点，由点的横坐标为，且在抛物线图象上，则点的横坐标为，，由，得，列出即可求解； （）设直线的解析式为， 求出直线的解析式为，设，则，，分当点在下方时，即时和当点在上方时，即时，求出即可；分情况讨论：由题意得，，转化为一元二次方程即可求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于点， ∴， ∵点的横坐标为，且在抛物线图象上， ∴点的横坐标为，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：如图，当点在下方时，即时， 由（）得：， 设直线的解析式为：， ∴，解：， ∴直线的解析式为：， 设， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ， ∴的周长； 如图，当点在上方时，即时， 由上可知：直线的解析式为：， 设， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ， ∴的周长， ∴； 由得， 如图，函数的大致图象如下： ∵，， ∴，， 当时， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， 此时． 当时，由图象可知，，这种情况不成立． 综上：． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象及性质，待定系数法，解直角三角形和解一元二次方程，熟练掌握知识点点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙市区2026年初中毕业年级适应性考试 数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，从前面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，与相交于点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是光线从空气射入玻璃中后发生的折射现象．已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长交于点，若正方形的边长为，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是______． 12. 计算：的结果为________． 13. 中国古代益智玩具凭借精巧构思与多元益智价值，历经千年至今依旧深受大众喜爱．七巧板、九连环、鲁班锁就是其中的典型代表．小明从七巧板、九连环、鲁班锁这三种玩具中随机选择两种，则小明恰好选择七巧板和鲁班锁的概率是_____． 14. 如图，反比例函数（）的图象与一次函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．若点A的横坐标为4，则当时，x的取值范围为_______． 15. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设长为x（单位：）（），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图像与y轴交于点C，最低点D，且经过和两点，请回答下列问题： （1）_______． （2）当时，长度为__________km． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如图，点、、、在一条直线上，，．若___________，则．请从①；②；③这三个选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 18. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动目的 测量零件的内孔直径 使用工具 交叉卡钳（）， 活动方案 “测角仪”方案 “测距仪”方案 方案 示意图 实施过程 ①如图放置交叉卡钳； ②用测角仪测量角． ①如图放置交叉卡钳； ②测量，两点间的距离． 测量数据 ． ． 备注 参考数据：，，． ，均与底面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，计算零件的内孔直径． 19. 为提高中学生的思维创新能力，某市举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78．其部分信息如下： 甲校学生成绩的扇形统计图甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分） 学校 平均数 中位数 甲 75.6 乙 76.1 77.5 （1）在抽取的同学中，求出甲校同学A组的人数； （2）______，______； （3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由． 20. 如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． （1）如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） （2）在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． （3）若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 21. 如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：购进45个肉粽和50个蛋黄粽，总费用为240元；购进50个肉粽和45个蛋黄粽，总费用为235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的进价； （2）超市将肉粽的售价定为4元/个，蛋黄粽的售价定为5.5元/个．若超市计划购进这两种粽子共500个． ①设购进肉粽个，全部售完后的总利润为元，求关于的函数表达式； ②根据市场需求，超市计划在不超过1050元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 23. 李老师在教学八年级下册第页数学活动时，引导同学们对几何图形的折叠问题进行了如下数学探究． （1）如图1，在矩形中，将沿直线翻折，点落在点处，连接交于点．求证：． （2）如图2，在矩形中，，，点为边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，连接，当时，求的长度． （3）如图3，在矩形中，点和点分别在边和上，将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处，连接交于点，当，，时，求的长度． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点， 与轴交于点，点是轴下方抛物线上不与点重合的一动点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图， 若， 求的值； （3）过点分别作轴，轴的平行线交于点 ，，的周长记为． 求关于的函数解析式； 在点运动的过程中，当取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为 满足，请求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $