精品解析：2026年辽宁铁岭市九年级下学期中学生能力训练数学模拟练习（六）

2026年中学生能力训练 数学模拟练习（六） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的定义求出四个数的绝对值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， ∴ 绝对值最小的数是． 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 3. 随着“一带一路”走深走实，中国已成为多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到元，是全球经济发展的最大动力源．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．需将数字表示为 的形式，其中 ， 为整数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知该几何体的俯视图为． 5. 教育部开展了“读经典我思考”主题读书活动，小丽与小明都想从《三国演义》、《国家记忆》、《红岩》和《朝花夕拾》这本书中随机挑选一本阅读．他们两人恰好选中同一本书的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图，求出所有等可能的选书结果数，再找出两人选中同一本书的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：《三国演义》、《国家记忆》、《红岩》和《朝花夕拾》分别用、、、表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一本书的结果共有种， ∴两人恰好选中同一本书的概率为． 6. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，故不符合要求； 选项B：，故符合要求； 选项C：，故不符合要求； 选项D：，故不符合要求． 7. 下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“一元二次方程有两个相等实数根的条件是根的判别式”，计算各选项方程的判别式，即可选出正确选项． 【详解】解：选项A：，，该方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 选项B：，，该方程有两个相等的实数根，故符合题意； 选项C：，，该方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 选项D：，，该方程有两个不相等的实数根，故不符合题意． 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解； 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D； 9. 如图，是等边三角形，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，则有，过点作，设，则有，进而根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作，如图所示： 设，则有， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 10. 一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚分钟到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：千米）与轿车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象下列结论正确的有：（ ） ①轿车的速度是； ②，； ③货车的速度是； ④轿车从地到地三次与货车相距． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，从函数图象获取有效信息，通过计算逐一判断每个结论的正确性，分情况讨论得到相距的次数即可． 【详解】解：判断①：由图象可知，轿车行驶，因此轿车速度为，故①正确． 判断②：由题意可得，、B距离为 ，、C距离为，因此A、C总距离，轿车全程行驶时间为，轿车总用时含停留为，因此停留时间为，轿车到达B，因此离开B的时间，故，②正确． 判断③：轿车比货车晚分钟即到达，因此货车到达终点的时间为，货车总路程为，因此货车速度为，故③正确． 判断④：分情况讨论两车相距： 依题意，当时， 当时， 1）当，即货车从C到B阶段，可得， 解得符合范围； 2）当时，货车和轿车同向运动，相距距离越来越小，且小于 3）当时，， 解得：符合范围； 4）当时， 解得：符合范围； 综上所述，轿车从地到地三次与货车相距，故④正确 故正确的有①②③④，共4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题的关键． 直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查解分式方程．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为正实数， ∴且， ∴且， 解得：且． 故答案为：且 14. 如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的度数是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】过点作，然后根据平行线的性质及方位角可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴． 15. 如图，四边形为矩形，点为边上一点，将沿翻折得到，直线经过点，连接，若，是以为腰的等腰三角形，则的长是________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质可得，，由点、、在同一直线上可得；分两种情况讨论：当时，在中利用勾股定理求解；当时，过点作于点，利用线段垂直平分线的性质及解直角三角形求出的长，， 再利用求解． 【详解】解：四边形是矩形，  ，，，， 由翻折的性质得：，，，  直线经过点，即点、、在同一直线上，  ，  是以为腰的等腰三角形，  分两种情况讨论： ①当时，  ，  ， 在中，由勾股定理得： ； ②当时，  点在线段的垂直平分线上，  四边形是矩形，，  点到的距离为， 过点作于点，则， 在中，，  ，  ，  ∴在中，． 综上所述，的长是或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买一台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元． （1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？ （2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？ 【答案】（1）元，元 （2）台 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式与二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程组与不等式． （1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，根据“1台A型电脑的钱数+2台B型打印机的钱数，2台A型电脑的钱数台B型打印机的钱数”列出二元一次方程组，解之可得； （2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为台，根据“台A型电脑的钱数台B型打印机的钱数”列出不等式，解之可得． 【小问1详解】 设每台A型电脑的价格为元，每台B型打印机的价格为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：每台A型电脑的价格为元，每台B型打印机的价格为元； 【小问2详解】 设学校购买台B型打印机，则购买A型电脑为台， 根据题意，得：， 解得：， 答：该学校至多能购买台B型打印机． 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求的值和一次函数的解析式； （2）点为轴正半轴上一点，且，点为双曲线上直线右侧一点，当与的面积相等时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数，点，代入一次函数，待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据，结合勾股定理求得点的坐标，根据与的面积相等，可得点在过点且与平行的直线上，求得的解析式，进而联立反比例函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得，，解得： ∴反比例函数的解析式为：； 将点，代入一次函数，得 解得： ∴一次函数的解析式为 【小问2详解】 解：设，， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∵与的面积相等，可得 ∴点在过点且与平行的直线上， ∴设的解析式为 代入得， 解得： ∴的解析式为， 令 解得：或 即点的横坐标为或 19. 某校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求此次抽查的学生总人数． （2）在扇形统计图中，求“非常了解”所对应的圆心角度数． （3）若该校学生总人数为1300，求该校安全知识“了解很少”的学生人数． 【答案】（1）200 （2） （3）390 【解析】 【分析】（1）由基本了解的有人，占，可求得此次抽查的学生总人数； （2）用乘非常了解的人数所占的百分比即可求出所对应的圆心角度数； （3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案． 【小问1详解】 解：此次抽查的学生总人数为（人）． 答：此次抽查的学生总人数为人． 【小问2详解】 解：“不了解”的人数为， 则“非常了解”的人数为， 则在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是． 答：“非常了解”所对应的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：该校安全知识“了解很少”的学生人数约是（人）． 答：该校安全知识“了解很少”的学生人数为人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． 20. 小明站在斜坡的坡底处测得距离他米远的旗杆的顶端的仰角为，小明眼睛到地面的距离米，小明沿斜坡走到点处测得旗杆的顶端的仰角为，此时小明的眼睛位置到地面的距离米．图中各点都在一个平面内，图中，，共线，，，共线，，，都与地面垂直． （1）求旗杆的高度； （2）求斜坡的坡度（的值）（参考数据：）． 【答案】（1）13.6米 （2） 【解析】 【分析】（1）作，垂足分别为M、N，延长交于点H，如图，易得m，利用可求出答案； （2）在直角三角形中，利用三角函数求出m，再分别求出即可． 【小问1详解】 解：作，垂足分别为M、N，延长交于点H，如图， 由题意可得，， 在中， ∵， ∴（米）， ∴（米）； 答：旗杆的高度是13.6米； 【小问2详解】 解：∵， ∴（米）， 在直角三角形中， ∵，， ∴， ∴米， 由题意可得，米， ∴（米）， （米）， ∴． 即斜坡的坡度是． 21. 如图，以上一点为圆心作，且经过的顶点，交于点，过点作，交于点，． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，根据平行线的性质、等边对等角结合已知证明，由是的直径，可得，进而得到即可； （2）先证明，利用相似三角形的性质求出，进而得到，设交于点F，易得，，利用相似三角形的性质求出即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在直角三角形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设交于点F， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 22. 【探究发现】 （1）如图1，中，，将绕点逆时针旋转得到，连接．求证： 【逆向思维】 （2）如图1，与中，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图2，中，，，，是的高，点为上一点，连接，将沿翻折得到，分别交，于点，，若．求的长度． 【答案】（1）证明：设， ∵中，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即； （2）证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意得出，，，进而可得 （2）设，根据题意得出，即可得出； （3）由（2）可得，，进而根据折叠的性质得出，证明，得出，根据已知得出，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， 在中， ∴． 23. 二次函数的图象（记为）交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点；将抛物线向右移动个单位长度，再向下移动个单位长度得到抛物线，抛物线与交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，直线经过点交抛物线于另一点，交抛物线于，（点在点左侧），当时，求的值； （3）如图，点在抛物线上，点在抛物线上，且，在的右侧以点为直角顶点作，且，当的边（不包含顶点）与抛物线有两个公共点时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移规则：左加右减，上加下减，即可得出结果； （2）求出点坐标，进而求出直线的解析式为，分别联立直线和两条抛物线的解析式，求出点的横坐标为，根与系数的关系得到，作轴，轴，，垂足分别为，证明，得到，利用完全平方公式变形，列出方程进行求解即可； （3）设，则，求出的长，根据旋转的性质，求出点坐标，进而求出直线的解析式，根据当的边（不包含顶点）与抛物线有两个公共点，推出抛物线与边各有一个交点，进而得到抛物线与直线只有一个交点，联立解析式，根据，求出的值，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵， ∴平移后抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， 把代入，得， ∴， 令，解得， ∴点的横坐标为， 令，整理得， ∵直线交抛物线于，（点在点左侧）， ∴， 作轴，轴，，垂足分别为， 则， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵； 设， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴轴， ∴，即， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴， ∵的对称轴为直线； ∴点关于对称轴的对称点为， ∴当，即时，边与抛物线有一个交点，当时，边与抛物线没有交点（点除外）； 又∵边与抛物线只有一个交点， ∴当的边（不包含顶点）与抛物线有两个公共点时，则抛物线与边各有一个交点， ∴抛物线与直线只有一个交点， 令，整理，得， ∴， ∴或（不合题意舍去）； ∴​， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中学生能力训练 数学模拟练习（六） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着“一带一路”走深走实，中国已成为多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到元，是全球经济发展的最大动力源．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 教育部开展了“读经典我思考”主题读书活动，小丽与小明都想从《三国演义》、《国家记忆》、《红岩》和《朝花夕拾》这本书中随机挑选一本阅读．他们两人恰好选中同一本书的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等边三角形，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚分钟到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：千米）与轿车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象下列结论正确的有：（ ） ①轿车的速度是； ②，； ③货车的速度是； ④轿车从地到地三次与货车相距． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 12. 分解因式：______． 13. 若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______． 14. 如图，是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的度数是________． 15. 如图，四边形为矩形，点为边上一点，将沿翻折得到，直线经过点，连接，若，是以为腰的等腰三角形，则的长是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买一台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元． （1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？ （2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？ 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求的值和一次函数的解析式； （2）点为轴正半轴上一点，且，点为双曲线上直线右侧一点，当与的面积相等时，求点的横坐标． 19. 某校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求此次抽查的学生总人数． （2）在扇形统计图中，求“非常了解”所对应的圆心角度数． （3）若该校学生总人数为1300，求该校安全知识“了解很少”的学生人数． 20. 小明站在斜坡的坡底处测得距离他米远的旗杆的顶端的仰角为，小明眼睛到地面的距离米，小明沿斜坡走到点处测得旗杆的顶端的仰角为，此时小明的眼睛位置到地面的距离米．图中各点都在一个平面内，图中，，共线，，，共线，，，都与地面垂直． （1）求旗杆的高度； （2）求斜坡的坡度（的值）（参考数据：）． 21. 如图，以上一点为圆心作，且经过的顶点，交于点，过点作，交于点，． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 22. 【探究发现】 （1）如图1，中，，将绕点逆时针旋转得到，连接．求证： 【逆向思维】 （2）如图1，与中，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图2，中，，，，是的高，点为上一点，连接，将沿翻折得到，分别交，于点，，若．求的长度． 23. 二次函数的图象（记为）交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点；将抛物线向右移动个单位长度，再向下移动个单位长度得到抛物线，抛物线与交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，直线经过点交抛物线于另一点，交抛物线于，（点在点左侧），当时，求的值； （3）如图，点在抛物线上，点在抛物线上，且，在的右侧以点为直角顶点作，且，当的边（不包含顶点）与抛物线有两个公共点时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $