第10章 数的开方【章末复习】（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了“数的开方”单元核心知识，涵盖平方根、算术平方根、立方根的概念性质，开方运算及实数分类、与数轴关系等内容，通过知识结构图和对比表格串联知识点，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-考点突破-思想提升”分层设计，如基础题辨析有理数与无理数，解答题结合数轴化简绝对值培养推理意识，分类讨论题强化抽象能力，助力学生夯实基础，教师可精准把握学情提升复习效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 章末复习 第10章 数的开方 华东师大版八年级上册10.2实数练习题（含解析） 本次习题紧扣10.2实数小节核心内容，涵盖实数的概念、有理数与无理数辨析、实数分类、实数与数轴的关系、实数大小比较及简单运算，题型循序渐进，包含填空、选择、解答经典题型，贴合教材考点，可高效巩固实数基础知识，理清数系扩充的核心知识点。 一、基础填空题（每题3分，共15分） 1. 实数分为________和________。 2. 无限不循环小数叫做________，整数和分数统称为________。 3. $$\sqrt{5}$$的相反数是________，绝对值是________。 4. 实数与数轴上的点是________对应的。 5. 比较大小：$$\sqrt{3}$$________2；$$-\sqrt{2}$$________$$-\sqrt{3}$$。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（） A. 0 B. $$\frac{1}{3}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. 3.14 2. 下列说法正确的是（） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 实数分为正实数和负实数 3. 数轴上表示数$$\sqrt{6}$$的点落在（） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$\sqrt{2}$$和$$-\sqrt{2}$$ B. 2和$$\frac{1}{2}$$ C. $$\sqrt{3}$$和$$|\sqrt{3}|$$ D. 3和$$\sqrt{9}$$ 5. 绝对值最小的实数是（） A. 1 B. -1 C. 0 D. 不存在 三、解答题（共65分） 1. 把下列各数填入相应的集合中（每空6分，共30分） $$0、-\frac{1}{2}、\sqrt{4}、\sqrt{11}、3.15、-\sqrt{3}、\frac{\pi}{2}$$ 有理数集合：｛________________…｝；无理数集合：｛________________…｝ 2. 计算：$$|\sqrt{2}-2|+\sqrt{2}$$（15分） 3. 已知实数$$a$$在数轴上对应点在2和3之间，化简$$|a-2|+|a-3|$$（20分） 四、参考答案与解析 填空题：1. 有理数、无理数 2. 无理数、有理数 3. $$-\sqrt{5}$$、$$\sqrt{5}$$ 4. 一一 5. <、> 选择题：1.C 2.C（无限循环小数是有理数，$$\sqrt{4}$$是带根号的有理数，实数包含0） 3.B（$$4<6<9$$，故$$2<\sqrt{6}<3$$） 4.A 5.C 解答题：1. 有理数：$$0、-\frac{1}{2}、\sqrt{4}、3.15$$；无理数：$$\sqrt{11}、-\sqrt{3}、\frac{\pi}{2}$$。 2. 因为$$\sqrt{2}<2$$，所以$$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$$，原式$$=2-\sqrt{2}+\sqrt{2}=2$$。 3. 由题意得$$a-2&gt;0，a-3&lt;0$$，原式$$=a-2+3-a=1$$。 核心考点总结：实数是有理数和无理数的统称；无理数为无限不循环小数；实数与数轴一一对应，可借助数轴比较实数大小；化简含绝对值的实数式子，需先判断式子正负，再去绝对值符号，是本章高频易错考点。 知识结构 实 数 有理数 无理数 实际问题 平方根 立方根 算术平方根 立方 平方 思考并回答下列问题： 问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？ 问题2：有理数与实数的定义是什么？ 问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？ 问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？ 问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？ 要 点 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键.在研究时，要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性. 2.在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数. 3.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点之间有着一一对应关系.这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步，使数的知识更加丰富. 一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质 概 念 表示 主要性质 平方根 算术 平方根 立方根 若 ，则 x 叫做 a 的平方根. 正数有两个平方根，互为相反数. 0 的平方根是 0.负数没有平方根. 若 ，则 x 的非负数值叫做 a 的算术平方根. 非负性：当 a≥0 时， ≥0. 若 ，则 x 叫做的立方根. 正数的立方根是一个正数； 负数的立方根是一个负数； 0 的立方根是 0. 联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 才有；(3)0 的平方根、算术平方根均为 　. 平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为 　运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ＝　　 ； (3)0 的平方根和立方根都是 0.　 非负数 0 逆 二、开平方与开立方 求一个非负数 a 的　 　的运算，叫做开平方. 其中 a 叫做　 　. 求一个数 a 的　 　的运算，叫做开立方．其中 a 叫做　 　. 开平方与　 　、开立方与　 　都分别互为逆运算. 平方根 被开方数 立方根 被开方数 平方 立方 [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号； (2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)． 用计算器求一个正数 a 的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 . 1. 用计算器求一个正数的算术平方根 三、用计算器求算术平方根、立方根 2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数 a 的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 . a EXE 3 EXE a 四、实数 1.实数的分类 无理数： 无限不循环小数 有理数：有限小数或无限循环小数 实数 分数 整数 开不尽方的数开方所得结果 有规律但不循环的无限小数 …… 化简后含有 的数 按概念分： 正实数 负实数 数实 负有理数 正有理数 按符号分类： 0 负无理数 正无理数 0 正实数 负实数 2. 实数与数轴 (1)实数和数轴上的点是一一对应的关系； (2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 数大. 3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则同样适用. 考点一 平方根、算术平方根及立方根 例1 已知一个正数的两个平方根分别是 a + 3 和 2a - 18，求这个正数. 【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于 a 的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数. 解：根据平方根的性质，有 a + 3 + 2a - 18 = 0，解得 a = 5，a + 3 = 8，8² = 64，所以这个正数是 64. 例3 在实数 ， ， 中，分数有 （ ） A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 C 考点二 无理数的识别 【解析】 是分数； 虽然含有分母 2，但它的分子是无理数 ，所以是无理数；同理 也是无理数. 故选 C. 例4 如图，数轴上的点 A，B 分别对应实数 a，b，下列结论正确的是（ ） A. a＞b B. | a |＞| b | C. -a＜b D. a + b＜0 b a 0 B A C 【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故 A 不正确；根据点 A，B 与原点的距离知 | a |＜| b |，B 不正确；-a＞0，根据 | a |＜| b |，知-a＜b，C 正确，D不正确.故选 C. 考点三 实数与数轴上的点的关系 例5 估计 的值在（ ） A. 2 到 3 之间 B. 3 到 4 之间 C. 4 到 5 之间 D. 5 到 6 之间 B 考点四 实数的运算与大小比较 【解析】∵4＜6＜9， ∴ 因此 的值在 3 到 4 之间. 故选 B. 考点五 本章数学思想和解题方法 分类讨论思想 例7 a 的算术平方根是 3，b 是 16 的平方根， 则 a + b = ． 13 或 5 【解析】a 的算术平方根是 3，可知 a = 9；16 的平方根有两个，为±4.由此可以确定 a，b 的值，然后代入计算即可.当 a = 9，b = 4 时，a + b =13；当 a = 9，b = -4 时，a + b = 5.故答案为 13 或 5. 返回 A 中考考法 20 返回 1 中考考法 21 返回 3. 已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a的值：________________________. 中考考法 22 返回 4．如图，在3×3的方格中(每个小正方形的边长为1)，四边形ABCD是正方形，利用面积的关系可得正方形ABCD的边长是________． 中考考法 23 返回 B 中考考法 24 返回 6．将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是________cm. 9 中考考法 25 返回 中考考法 26 返回 B 【点拨】只有⑤正确． 中考考法 27 中考考法 28 返回 中考考法 29 返回 A 中考考法 30 返回 A 中考考法 31 返回 中考考法 32 返回 C 中考考法 33 返回 C 中考考法 34 返回 B 中考考法 35 返回 ＜ ＜ 中考考法 36 返回 3 2 中考考法 37 返回 中考考法 38 中考考法 39 返回 中考考法 40 返回 1 －3 中考考法 41 返回 C 中考考法 42 返回 D 中考考法 43 0或2或4 中考考法 44 返回 中考考法 返回 中考考法 46 平方根 实 数 数的开方 性质 有理数 整数 无理数 立方根 性质 分数 平方根 算术平方根 立方根 课堂小结 1．下列说法正确的是(　　) A.的平方根是±3 B．()2的算术平方根是5 C．(－7)2的平方根是7 D．1的平方根和算术平方根都是1 2．已知y＝＋，当y的值最小时，ba的算术平方根为________． ±12，， 【点拨】S正方形ABCD＝3×3－×2×1－×2×1－×2×1－×2×1＝9－1－1－1－1＝5，所以正方形ABCD的边长是. 5.的立方根是(　　) A．8 B．2 C．±8 D．4 【点拨】由与互为相反数可得1－3y与4x－1互为相反数，所以4x－1＋1－3y＝0，整理得y＝x.将y＝x代入可得，＝＝. 7．已知与互为相反数(其中y≠0)，则＝________． 8．下列说法中，正确的个数为(　　) ①m是一个实数，m2的算术平方根是m； ②m是一个实数，则－m没有平方根； ③带根号的数是无理数； ④无限小数是无理数； ⑤若－a＝b成立，则b的取值范围是b≥0. A．0 B．1 C．2 D．3 0.212 112 111 2…(每相邻两个2之间的1依次多一个)，，… 9．把下列各数填入相应的集合内： 0．212 112 111 2…(每相邻两个2之间的1依次多一个)，，－，，－，－2，－，，－. 正有理数集合：{　 　　…}； 正无理数集合：{　 　　…}； －，－2，－，－，… 0.212 112 111 2…(每相邻两个2之间的1依次多一个)，，，，… －，－，－2，－，－，… 0．212 112 111 2…(每相邻两个2之间的1依次多一个)，，－，，－，－2，－，，－. 负有理数集合：{　 　　…}； 负无理数集合：{　 　　…}； 正实数集合：{　 　　…}； 负实数集合：{　 　　…}． 10．－是的(　　) A．相反数 B．平方根 C．绝对值 D．算术平方根 11. 的绝对值是(　　) A．3 B．－3 C. D．－ － 3－ 12．－的倒数是________，|－3|＝________． 【点拨】|－3|＝3，|－π|＝π，|－|＝.∵π＞3＞，∴－π＜－3＜－，即b＜a＜c.故选C. 13．已知a＝－3，b＝－π，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 14．如图，若数轴上的点A，O，B，C，D表示数－2，0，1，2，3，则表示4－的点P应在(　　) A．线段AO上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段OB上 15.大、中、小三个正方形按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是(　　) A．1 B. C. D．3 16．比较大小：______11，______2.(填“＞”或“＜”) 17.已知a，b，n均为正整数． (1)若n＜＜n＋1，则n＝________； (2)若n－1＜＜n，n＜＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的个数少________个． 【解】原式＝－4＋3－＋2＋＝1. 【解】原式＝9－3＋2－(－2)＝9－3＋2－＋2＝10－. 18．计算：(1)－＋|3－|－＋； (2)＋＋－|－2|. 19．(1)如果的整数部分为a，的整数部分为b，求a＋b－的值； 【解】∵2＜＜3，3＜＜4， ∴a＝2，b＝3.∴a＋b－＝2＋3－＝5－. 【解】∵1＜＜2，∴13＜12＋＜14. 又∵12＋＝x＋y，x是整数，0＜y＜1， ∴x＝13，y＝12＋－13＝－1. ∴8－y＝8－(－1)＝9－. ∴8－y的相反数是－9. (2)已知12＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求8－y的相反数． 【解】∵4＜5＜9，∴2＜＜3.∴的整数部分为2. ∴的小数部分为－2，∴a＝－2. ∵4＜6＜9，∴2＜＜3.∴[]＝2. ∴a＋[]－＝－2＋2－＝0. 20．我们用[a]表示不大于a的最大整数．a－[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13－[2.13]＝0.13. (1)[]＝________，[－]＝________； (2)设的小数部分为a，求a＋[]－的值． 21．已知＋(b＋＋1)2＝0，则(a＋b)2 026＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 026 【点拨】∵A，B两点对应的实数分别是1和，∴AB＝－1.又∵点C与点B关于点A对称，∴AC＝AB.设点C所表示的数为c，则AC＝1－c，∴1－c＝－1，∴c＝2－.故选D. 22．如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是1和，则点C对应的实数是(　　) A．1－ B.－2 C．－ D．2－ 23.已知|a－2 026|＋＝2，其中a，b均为整数，则|a＋b|＝______________． 【点拨】∵|a－2 026|＋＝2，其中a，b均为整数，|a－2 026|≥0，≥0，∴可分三种情况：①当|a－2 026|＝0，＝2时，a＝2 026，b＝－2 022，∴|a＋b|＝|2 026－2 022|＝4；②当|a－2 026|＝1，＝1时，a＝2 025或a＝2 027，b＝－2 025，∴|a＋b|＝|2 025－2 025|＝0或|a＋b|＝|2 027－2 025|＝2； ③当|a－2 026|＝2，＝0时，a＝2 024或a＝2 028，b＝－2 026，∴|a＋b|＝|2 024－2 026|＝2或|a＋b|＝|2 028－2 026|＝2.综上，|a＋b|＝4或2或0. 24．已知＝a，y2＝b(y＜0)，且＝8(b＞4a)，＝18，求xy的值． 【解】∵＝8(b＞4a)，＝18， ∴b－4a＝8 ①，a＋b＝18②，将①变形得a＋b－5a＝8 ③， 将②代入③，得a＝2，将a＝2代入②，得b＝16. ∵＝a，y2＝b(y＜0)，∴－x＝23＝8，即x＝－8，y＝－＝－4. ∴xy＝－8×(－4)＝32. $