精品解析：甘肃武威市凉州区多校联考2025-2026学年九年级下学期第五次课堂实效反馈数学试卷

2025－2026学年度第二学期第五次课堂实效反馈 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：其中液化温度最低的气体是（ ） 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度℃ A. 氧气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氦气 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（ ） A. B. C. D. 9. 一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填写在题中的横线上） 11. 分解因式：___________． 12. 2025年，神舟十九号载人飞船执行空间站任务期间，某新型科学实验装置的搭载总重量达52000多千克．将52000用科学记数法表示为______． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为_____． 15. 我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在处，屏幕在处，皮影人与屏幕相距，射灯与皮影人相距，若保持皮影人在处位置不变，要使屏幕上的影长增大一倍至，则射灯应向皮影人靠近至的距离为______． 16. 图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为_________． 17. 计算：． 18. 解一元一次不等式组 19. 化简：． 20. 数学家笛卡尔于1596年出生于法国，他在数学研究工作中关注那些需要作特定长度的几何问题，在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以完成四种算术运算和开平方根”简卡尔用尺规求一个数的算术平方根的方法如下： 如图：已知，线段的长为，延长至点，使，点为的中点． ①以的中点为圆心，以的长为半径作圆： ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交线段上方于点； ④连接交的上半部分于点，即得垂线段． 所得的长是的长的算术平方根． （1）请你根据以上步骤在图中完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 21. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 22. 在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度：B．实验室制取二氧化碳：C探究凸透镜成像．并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）．根据数学知识回答下列问题： （1）请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是________； （2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表法求解）． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）根据图象直接写出不等式 时，的取值范围． 25. 如图，为内接三角形，已知的半径为，为延长线上一点，连接，则有． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 26. 【思考研究】 “如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程： 先证，得到，再由，得到． （1）请根据小贤的分析过程证明． 【解决问题】 （2）求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由． 27. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期第五次课堂实效反馈 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：其中液化温度最低的气体是（ ） 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度℃ A. 氧气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氦气 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴四个数中最小的数是， ∴液化温度最低的气体是氦气， 故选：D． 2. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案． 【详解】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆， 即该几何体的俯视图是：． 故选：A． 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 5. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 6. 如图，在四边形中，，，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形内角和定理求出，，则，，即可判定四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形的周长． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 7. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 8. 甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是从图象中获取信息，理解所对应的自变量的范围是解本题的关键． 【详解】解：由题图，可知时，， 故选：B． 9. 一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据平角和直角定义，得方程x+y=90； 根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50． 可列方程组为， 故选C． 【点睛】考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角． 10. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，根据叶片每秒绕原点顺时针转动，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称，即可求得点的对应点的坐标． 【详解】解：∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴点A的坐标以每6秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称， 为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填写在题中的横线上） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 12. 2025年，神舟十九号载人飞船执行空间站任务期间，某新型科学实验装置的搭载总重量达52000多千克．将52000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将52000用科学记数法表示为， 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 14. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线． 根据四边形为菱形得，，，由勾股定理求出，根据为的中位线，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∵点O为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在处，屏幕在处，皮影人与屏幕相距，射灯与皮影人相距，若保持皮影人在处位置不变，要使屏幕上的影长增大一倍至，则射灯应向皮影人靠近至的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意得到，，，证明得到，则，再证明得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，勾股定理的逆定理，连接，，，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵点A，C，D在同一直线上， ∴是的直径， ∴ ． ∵的半径， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 故答案为：200． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解一元一次不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 先分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式以及平方差公式化简即可． 【详解】解： ． 20. 数学家笛卡尔于1596年出生于法国，他在数学研究工作中关注那些需要作特定长度的几何问题，在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以完成四种算术运算和开平方根”简卡尔用尺规求一个数的算术平方根的方法如下： 如图：已知，线段的长为，延长至点，使，点为的中点． ①以的中点为圆心，以的长为半径作圆： ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交线段上方于点； ④连接交的上半部分于点，即得垂线段． 所得的长是的长的算术平方根． （1）请你根据以上步骤在图中完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 【答案】（1） 画出图形如图所示： ； （2） 证明：连接、， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干要求作出图形即可； （2）由圆周角定理可得，证明，由相似三角形的性质即可得解结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 【答案】标志物C到桥面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解一元一次方程等．根据题意过点C作于点 D， 设，再表示出和，最后列出方程计算即可． 【详解】解： 如图，过点C作于点 D， 设， 在中， 在中，， ， ∵， ∴，解得：， 即标志物C到桥面的距离约为． 22. 在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度：B．实验室制取二氧化碳：C探究凸透镜成像．并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）．根据数学知识回答下列问题： （1）请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是________； （2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表法求解）． 【答案】（1） （2）都没有选中“C”实验的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格找到所有的等可能性的结果数，再找到都没有选中“C”实验的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有A、B、C三个项目，每个项目被选中的概率相同， ∴小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中都没有选中“C”实验的结果数有4种， ∴都没有选中“C”实验的概率为． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 【答案】（1）10，40，80.5 （2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大 （3）724 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值； （2）从中位数、众数的大小比较得出答案； （3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为， 所以“A组”所占的百分比为， 即； ； 八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 即； 故答案为：10，40，80.5； 【小问2详解】 八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大； 【小问3详解】 （人）， 答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人． 24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）根据图象直接写出不等式 时，的取值范围． 【答案】（1）一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先将点代入反比例函数并求解，即可求得反比例函数的关系式，再将点代入并求解，即可求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的关系式； （2）结合图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可解答． 本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 【小问1详解】 解：将点代入得， 解得， ∴反比例函数的关系式为 将点代入 得， ∴点的坐标为． 将点，代入， 得 ， 解得 ， ∴一次函数的关系式为 ． 【小问2详解】 解：不等式即， 由函数图象得不等式的解集为或． 25. 如图，为内接三角形，已知的半径为，为延长线上一点，连接，则有． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 解：连接并延长交于点，连接，如图所示： 为直径， ， ， ，， ， ， ，即， 又为直径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角等于得，所以，根据等弧对等角得到，再结合，得到，所以，即，即可得证； （2）由题意得直径，在中，根据解直角三角形的知识得，证明得，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为， ， 在中，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角等于，等弧对等角，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 26. 【思考研究】 “如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程： 先证，得到，再由，得到． （1）请根据小贤的分析过程证明． 【解决问题】 （2）求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． （2） （3） ． 理由：∵四边形是菱形，， ∴，，，． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明全等说明边等即可； （2）直接通过直角的等量代换得到角等； （3）先证明全等三角形，再通过角度的等量代换证明等边三角形来说明边等即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定，以及等边三角形的性质和判定，解题关键是等量代换出角等，然后证明全等． 27. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标． （3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴． 【小问3详解】 解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $