精品解析：甘肃武威市凉州区多校2025-2026学年九年级下学期阶段质量检测数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中质量检测 九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 一种细菌的半径是米，用小数表示为（ ） A. 400000米 B. 40000米 C. 0.00004米 D. 0.000004米 3. 如图所示，在下列四组条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入x的值为时，输出y的值为1．当输入x的值为3时，则输出y的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 12 6. 如图，在等腰中，，作的垂直平分线，交，于D，E两点，，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 以下是长沙某日气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（ ） A. 最低温度是9℃ B. 最高温度是22℃ C. 从0时到14时温度在持续上升 D. 这一天的最大温差是13℃ 10. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（ ） A. 10cm B. 8cm C. 14cm D. 12cm 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，当剪子口时，______________ 12. 分式方程的解是___． 13. 若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为______． 14. 甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 15. 若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 16. 一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 三、解答题（一）本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解不等式组． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 21. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）小东抽中的是唐僧的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 22. 综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往A村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，A村到公路l的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路连接A村和公路l（所在的直线为l）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，，，，，且A，B，C，D在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长和C，D之间的距离． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 （1）抽取的学生共有________人，________，________； （2）从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； （3）若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 24. 如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，． （1）求证：为切线； （2）若，求的长． 25. 如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，过A作轴于点B，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：． 26. 在正方形中，点E为边上一点（不与点C，D重合），于点F，于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若F为的中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论． 27. 如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测 九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出的值，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：， 故的相反数是． 2. 一种细菌的半径是米，用小数表示为（ ） A. 400000米 B. 40000米 C. 0.00004米 D. 0.000004米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知将的形式写成小数，其中，即为4，n为，将小数点向左移动5位可得答案． 【详解】解：米米． 3. 如图所示，在下列四组条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、∵，∴，故不符合题意； B、∵，∴，故不符合题意； C、∵，∴，故不符合题意； D、∵，∴，故符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A，，错误； 对选项B，，错误； 对选项C，，错误； 对选项D，，正确． 5. 根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入x的值为时，输出y的值为1．当输入x的值为3时，则输出y的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】解： 当输入时，， ， 解得： 当时，， ∴输出的值为． 6. 如图，在等腰中，，作的垂直平分线，交，于D，E两点，，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可得，求得，则可得，得到，根据勾股定理和含有角的直角三角形边长关系即可解答． 【详解】如图，连接， 在等腰中，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 7. 一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧； 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象与y轴交点在x轴下方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 8. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，根据得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 9. 以下是长沙某日气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（ ） A. 最低温度是9℃ B. 最高温度是22℃ C. 从0时到14时温度在持续上升 D. 这一天的最大温差是13℃ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图， 观察统计图可知最低温度，最高温度，可判断A，B，再求出温差判断D，然后根据从0时到14时的温度变化判断C． 【详解】解：观察统计图可知最低温度为，最高温度是，最大温差为， ∴A不正确，B正确，D不正确； 从0时到14时温度先下降，到2时后持续上升， ∴C不正确． 故选：B． 10. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（ ） A. 10cm B. 8cm C. 14cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】设AB=xcm，BC=ycm，由题意可得AB+BC=14，，列方程组求出AB、BC的长，再用勾股定理求出AC的长． 【详解】解：设AB=xcm，BC=ycm， 由图1结合图2可得：当点P与点C重合时，t=7，即点P经过的路程为：7×2=14（cm）， ∴AB+BC=14， 即x+y=14①， 当点P与点B重合时，△APC的面积最大，为24（cm2）， ∴， 即②， 由①②列方程组， 解得或（根据图形，舍去） 所以， ∴（cm）， 故选：A 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，当剪子口时，______________ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据“对顶角相等”即可得出答案． 【详解】解：如图，与是对顶角，且， ∴． 12. 分式方程的解是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根 方程两边同时乘以分母，可把方程化为整式方程，进而即可求解 【详解】解：两边同时乘以，得，解得． 经检验：是原方程的解． 故答案为： 13. 若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】由六边形每个内角都相等可推出每个外角都相等，根据任意多边形的外角和为，将外角和除以边数即可得到每个外角度数.． 【详解】 该六边形的每个内角都相等， 该六边形的每个外角都相等， 任意多边形的外角和为，该多边形为六边形，边数为， 每个外角度数为 ． 14. 甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，因此只需比较三人方差的大小，即可得到结果． 【详解】解：由题意得，甲、乙、丙三名同学几次测试成绩的平均数相同， 由于， 则， 因此，成绩最稳定的是丙． 15. 若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 可得根的判别式， 代入方程系数，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：方程中， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 16. 一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别观察每个式子的各部分，总结规律：第一项系数恒为3，a的次数为式子序号n的2倍；第二项系数符号为奇数项为负，偶数项为正，系数绝对值恒为2，b的次数等于式子序号． 【详解】解：由已知式子可得： 每个式子的第一项为系数乘以的次幂，即； 当为奇数时，，第二项符号为负；当为偶数时，，第二项符号为正，符合符号规律，且第二项系数绝对值为，的次数为； 因此第个式子是． 三、解答题（一）本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式除法的运算法则进行化简，再将代入计算即可求解． 【详解】， ， ， ， 当时，原式． 20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下，即为所求； 21. “一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）小东抽中的是唐僧的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）画出树状图，可知所有等可能出现的结果，再得出师徒关系的结果，然后求出各自的概率比较可得答案． 【小问1详解】 解：一共有4张卡片，抽到A的概率为； 【小问2详解】 解：公平，理由如下： 画出树状图如下： 一共有12种等可能出现的结果，师徒关系的有6种，即，， 则，， 所以这个游戏公平． 22. 综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往A村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，A村到公路l的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路连接A村和公路l（所在的直线为l）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，，，，，且A，B，C，D在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长和C，D之间的距离． 【答案】新建公路的长约为，，之间的距离约为186m 【解析】 【分析】过作于，过作于，分别解和，进行求解即可． 【详解】解：过作于，过作于， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ，． 答：新建公路的长约为，，之间的距离约为． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为全面落实“五育并举”工作，某学校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、足球、排球、合唱五个社团，每个学生必选且只能选择一项社团活动参加．为了解社团活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 参加五个社团活动人数统计表 社团 舞蹈 篮球 足球 排球 合唱 人数 40 30 根据以上信息，回答下列问题 （1）抽取的学生共有________人，________，________； （2）从参加篮球社团活动的学生中抽取了部分学生，他们的身高（单位：）如下：184，172，180，179，175，176，178，172，则抽取的这些学生身高的中位数是________cm； （3）若该校有1600名学生，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 【答案】（1）200，40，20 （2）177 （3）全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人 【解析】 【分析】（1）根据参加篮球社团的人数和占比求出总人数，然后可求出参加舞蹈人数的占比，最后即可求出参加排球人数的占比． （2）根据中位数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生共有：（人） ， 则， 故答案为：200；40，20． 【小问2详解】 解：将184，172，180，179，175，176，178，172 从小到大排列为：172，172，175，176，178，179，180，184， 则中位数为：． 【小问3详解】 解：（人） 答：全校参加舞蹈社团活动的学生大约有320人． 24. 如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，． （1）求证：为切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明得以论证为切线； （2）利用直角三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为切线； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，过A作轴于点B，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）把点A代入一次函数解析式，求出m的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，即可得出答案； （2）根据两点间距离公式求出，，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：， ∴点A的坐标为， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴点坐标为， 把代入得：， ∴D点坐标为， ∵， ， ∴． 26. 在正方形中，点E为边上一点（不与点C，D重合），于点F，于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若F为的中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和垂直的定义，易证，再利用“”证明，即可求证； （2）过点D作于点H，先利用“”证明，从而，进而，则证是线段的垂直平分线，最后根据垂直平分线的性质，即可求证． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，过点D作于点H， 点F为的中点， ， 由（1）可知：， ， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ． 27. 如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，对称轴为 （2）满足的值为最小的点P坐标为 （3）存在，点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把点、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求解方程组，即可得到解析式；然后利用抛物线对称轴公式求出对称轴； （2）根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，的值最小，所以先求出直线的解析式，再求其与对称轴的交点即为点P； （3）先根据面积求出点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，同时结合点E在第四象限的条件筛选出符合的坐标． 【小问1详解】 把点、代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． 函数的对称轴为直线． 【小问2详解】 如图1，连接交对称轴于点P，因为点A、B关于对称轴对称，∴的最小值为， 易得C点的坐标为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得， 直线BC的表达式为：， 当时，， 故点． 【小问3详解】 存在，理由： 如图2，图3，四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形， 则， 点E在第四象限，则， 将该坐标代入二次函数表达式得：． 解得：或4， 故点E的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $