精品解析：甘肃省平凉市崆峒区2025-2026学年九年级下学期二模数学试卷

初中毕业考试与高中阶段招生考试模拟质量监测二 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 2. 根据平凉市统计局的数据，2025年平凉市地区生产总值为75488000000元，按不变价格计算，比上年增长．数据75488000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 6. 如图所示，四边形ABCD为矩形，点O为对角线的交点，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于点E，AB＝4，则BE等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是某省近五年货物进口额的统计图．下列说法正确的是（ ） A. 这五年中，2023年的进口额最少 B. 这五年中，进口额逐年下降 C. 这五年中，进口增速先下降，后提高 D. 这五年中，进口增速在前四年逐年下降 9. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则的长是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：=___． 12. 已知一次函数，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值是________． 13. 计算：=_____． 14. 如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______． 15. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．小球被发射后________时离地面的高度最大（用含的代数式表示）． 16. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第8个图形共有________枚棋子． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 21. 甘肃平凉是特色农业大市，盛产静宁苹果、平凉红牛和平凉烧鸡等优质特产．当地一家农产品加工企业新招聘了甲、乙两名工人，企业需要把甲、乙两名工人分配到生产“静宁苹果”加工线（记为班）、“平凉红牛”加工线（记为班）、“平凉烧鸡”加工线（记为班）工作，企业对甲、乙两名工人进行随机分配． （1）工人甲被分到班（“静宁苹果”加工线）的概率是 ； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名工人被分到同一个加工线（同一个特产生产线）的概率． 22. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 25. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 数学课上，王老师提出问题：如图1，在正方形中，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路．取的中点，连接，则为等腰直角三角形，这时只需证明与全等即可． （1）按照小明的解题思路把证明过程补充完整． 在此基础上，同学们进行了进一步的探究： （2）小乐提出：如图2，如果把“是边的中点”改为“是边上（不含点，）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立．你认为小乐的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． （3）小华提出：如图3，如果是边的延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，交轴于点． （1）求二次函数的解析式． （2）连接，，抛物线上是否存在点（点在的下方），使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，是线段上的一动点，过点作轴，垂足为，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中毕业考试与高中阶段招生考试模拟质量监测二 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：6的相反数是． 故选：A． 2. 根据平凉市统计局的数据，2025年平凉市地区生产总值为75488000000元，按不变价格计算，比上年增长．数据75488000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】∵ 将转变为满足的时，可得，小数点共向左移动10位， ∴ ， ∴ 用科学记数法表示为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据，，则，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答． 【详解】解：如图： ∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角， ∴，， ∴， 则， ∵光线是平行的， 即， ∴， 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 6. 如图所示，四边形ABCD为矩形，点O为对角线的交点，∠BOC＝120°，AE⊥BO交BO于点E，AB＝4，则BE等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，证出△AOB是等边三角形，得出OB＝AB＝4，再由等边三角形的三线合一性质得出BE＝OB＝2即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB＝4， ∵AE⊥BO， ∴BE＝OB＝2． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 7. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，这是某省近五年货物进口额的统计图．下列说法正确的是（ ） A. 这五年中，2023年的进口额最少 B. 这五年中，进口额逐年下降 C. 这五年中，进口增速先下降，后提高 D. 这五年中，进口增速在前四年逐年下降 【答案】C 【解析】 【分析】直接观察条形统计图和折线统计图，即可求解． 【详解】解：由图可得，这五年中： 2024年的进口额最少，故A选项说法错误，不合题意； 2021年至2024年进口额逐年下降，2025年进口额上升，故B选项说法错误，不合题意； 这五年中，进口增速先下降，后提高，故C选项说法正确，符合题意； 进口增速在前三年逐年下降，故D选项说法错误，不合题意； 9. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则的长是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当点位于点时和当点位于点时的情况，得到和之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到的值，最后利用中点定义得到的值． 【详解】解：由图可知，当点位于点时，，即， 如图1所示，连接， ∵， ∴的最大值为的长， 由图2可知y的最大值为5， ∴点位于点时，，即，则， ∵在矩形中，， ∴在中，由勾股定理得， ，即， ， ， 点为的中点， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理、解一元二次方程、中点的定义和矩形的性质等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底. 【详解】解：原式. 12. 已知一次函数，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，据此写出符合条件的值即可． 【详解】解：一次函数中随的增大而减小， ， 故可取（答案不唯一）． 13. 计算：=_____． 【答案】． 【解析】 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 15. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．小球被发射后________时离地面的高度最大（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】是关于的二次函数，二次项系数小于零，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，只需计算二次函数顶点的横坐标即可得到结果． 【详解】由题意可知，是关于的二次函数，其中，，. ∵， ∴抛物线开口向下，当等于顶点横坐标时，取得最大值， 根据二次函数顶点横坐标公式得：， ∴小球被发射后时离地面的高度最大． 16. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第8个图形共有________枚棋子． 【答案】25 【解析】 【分析】根据图形的变化规律，寻找第n个图形的一般形式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：观察图形知： 第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， … ∴第n个图形有个棋子， 当时，（个）， 即第8个图形共有25枚棋子． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①，得， 由②，得 不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图步骤可得为直径，由直径所对的圆周角为直角可得，，进而即可得解． 【详解】略 21. 甘肃平凉是特色农业大市，盛产静宁苹果、平凉红牛和平凉烧鸡等优质特产．当地一家农产品加工企业新招聘了甲、乙两名工人，企业需要把甲、乙两名工人分配到生产“静宁苹果”加工线（记为班）、“平凉红牛”加工线（记为班）、“平凉烧鸡”加工线（记为班）工作，企业对甲、乙两名工人进行随机分配． （1）工人甲被分到班（“静宁苹果”加工线）的概率是 ； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名工人被分到同一个加工线（同一个特产生产线）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）共有3种等可能的结果，其中工人甲被分到A班的结果有1种，直接根据概率公式求解； （2）列表展示出所有等可能的结果，再找出甲、乙两名工人被分到同一个加工线的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中工人甲被分到A班的结果有1种， 工人甲被分到A班的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名工人被分到同一个加工线的结果有3种， ∴甲、乙两名工人被分到同一个加工线的概率为． 22. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】广告牌CD的高约为7.4米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、， 由题意可知，，，，米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，米， （米， ， 答：广告牌CD的高约为7.4米． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）七年级成绩较好，理由见解析（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出组和组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人． 24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 25. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 26. 数学课上，王老师提出问题：如图1，在正方形中，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路．取的中点，连接，则为等腰直角三角形，这时只需证明与全等即可． （1）按照小明的解题思路把证明过程补充完整． 在此基础上，同学们进行了进一步的探究： （2）小乐提出：如图2，如果把“是边的中点”改为“是边上（不含点，）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立．你认为小乐的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． （3）小华提出：如图3，如果是边的延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）如图，取的中点H，连接， ， 四边形是正方形，E为的中点， ，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）小乐的观点正确． 证明：如图，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， 平分， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）成立． 证明：如图，在的延长线上取一点N，使，连接． ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）按照小明的解题思路，取的中点H，连接，证明即可得到结论； （2）在上截取，连接，利用“角边角”证明即可得到结论； （3）在的延长线上取一点N，使，连接，利用“角边角”证明即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象与轴交于，两点，交轴于点． （1）求二次函数的解析式． （2）连接，，抛物线上是否存在点（点在的下方），使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，是线段上的一动点，过点作轴，垂足为，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出k即可； （2）根据点P在下方，作A关于y轴对称点L，则易得，，分别求出直线、直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）在上取点D，使，则，先求出长度，进而作点B关于直线对称点E，连接交于点F，过E作轴于点G，易得，所以解即可得解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得， ； 【小问2详解】 解：存在． 由可知， ，即， 点P在直线的下方， 如图，作点A关于y轴对称的点L，连接，则，， ， ， ， 由可得直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ； 【小问3详解】 解：如图，在上取点D，使，则， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 作点B关于直线对称的点E，连接交于点F，连接，过点E作轴于点G， 则， ， 当且仅当E，M，N三点共线时，的最小值为， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 的最小值为． 【点睛】在二次函数中，一般处理二倍角问题可以构造等腰三角形利用外角性质找小角的二倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $