2026年甘肃凉州区洪祥镇九年制学校中考模拟预测二数学试卷

**基本信息** 以科技前沿（如第1题科技公司logo轴对称）、社会热点（如第8题云南光伏产业增长）、文化传承（如第17题刘徽割圆术）为情境，通过新定义“融值区间”（第5题）、动点路径探究（第25题）等设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配中考二模综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|轴对称、三角形、函数图像、圆、位似|第1题结合科技情境考查几何直观| |填空题|8/24|二次函数性质、概率、圆与矩形面积|第13题多结论判断强化推理能力| |解答题|8/66|相似综合、抛物线与几何、统计分析|第25题动点路径探究体现创新意识，第27题抛物线综合考查模型观念|

2026年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校数学中考模拟预测二试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．丙午马年春节，中国科技再次震惊全球，下列科技公司logo是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．已知小明和小红进行千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程（米）与跑步时间（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 4．如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（    ）    A． B． C． D． 5．规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 6．如图，为的直径，为上的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设年该企业光伏产品全年销量为万台，年该企业光伏产品全年销量为万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（ ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 二、填空题 11．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 12．若，是一元二次方程的两根，则________． 13．已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 14．如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________． 15．如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为________． 16．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为______． 17．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______． 18．如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是_______． 三、解答题 19．（1）计算： （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示． 20．如图，∆ABC是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若∆ABC的周长为30，且，求四边形的面积． 21．如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． (1)如图1，∆ABC是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； (2)如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得∆ABC是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 22．如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q．    【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 23．教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度； (2)请补全条形统计图； (3)若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 24．小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 25．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． 　　 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 26．如图，∆ABC是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 27．已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $《2026年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校数学中考模拟预测二试卷》参考答案 题号 3 6 7 P 10 答案 A C D 9 0 D 11.m≤6且 2.月 13.①③⑤ 14.9+17 15.32 16昌 17.π3 32 18.9.6cm 19.解：(1)(2025-元)°-V5-5+V2-3tan60 =1-(5-V5+2V5-3×5 =1-5+V5+2V5-35 =-4; (2) 2x-7<x-10 3 10-(x+4)≥2x② 由①，得：x>-4; 由②，得：x≤2； 在数轴上表示这个解集如图所示： 54321012345 所以原不等式组的解集为-4<x≤2. 20.(1)证明：：点0是BC的中点， 0B=0C. :E0=D0, .四边形DBEC是平行四边形 答案第1页，共2页 :△ABC是直角三角形，点D是AC的中点， :BD CD. :四边形DBEC是菱形 (2)解：设AB=x,BC=y. :△ABC的周长为30，AB+BC=17. .x+y=17,AC=13 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB+BC2=AC2. r2+2=169 :1x+y=17 xy=60. 点D、O分别是AC、BC的中点， .AB=20D, DE =20D, .AB DE x. :S边形DBEC=2 8c0E-60=30 答：四边形DBEC的面积为30. 21.(1)解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, D 图1 依题意AD=，BC 设BC=2x,则AD=x tan B=AD5 BD 12 :BD=12AD-12 5 5 ·CD=BD-BC=12 -2=2, 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD (居+-22列 答案第1页，共2页 解得：x=10(负值舍去) .BC=20 (2)解：如图所示，作AB的垂直平分线交AB于点E,在AB的垂直平分线上截取 DE=AE,过点D作DC∥AB交OO于点C,则点C,ABC即为所求 F D 图2 22.解：(1)：BE1CP, BQC=90°， :∠QBC+∠QCB=90°， :矩形ABCD, .∠BCD=90°， .∠QCB+∠DCP=90°， ∠QBC=∠DCP, 又：∠BCE=∠D=90°， △BCE∽△CDP. (2)如图，作PH⊥CD于点H, 同理可证明△BCE∽△CHP, PH-CE-2x8 1 CH-BC-12-3 .CH =3PH 答案第1页，共2页 设PH=x,CH=3x, .HE=3x-4, 由折叠的性质可得EP=EC=4, 在Rt△EHP中，由勾股定理得PH+EH=PE x2+(3x-4)2=42, 12 x=0（舍)，x2= 5 w号 :点P到CD的距离为 (3)如图，作PH⊥CD交于点H,连接CP, B CE=3DE, .CE=6,DE=2, 同理可证明△BCE∽△CDP, :P4-CE-61 CHBC-122' :CH=2PH, 设PH=x，,CH=2x, .HE=2x-6, 由折叠的性质可得EP=EC=6, 在Rt△EHP中，由勾股定理得PH+EH2=PE2 .x2+(2x-6)2=62, 24 x=0（舍)，x2= 5 EH=2x-6=18 , :PH平行FD, 答案第1页，共2页 .△EDF∽△EHP, DF 2 %器 即24=18 5 sbe 23.(1)解：随机抽取部分学生的总人数为18÷36%=50（人)， .m%= 12 50 ×100%=24%, 即m=24, “羽毛球”对应扇形的圆心角为360°×4 =28.8°， 0 故答案为：24,28.8 (2)随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：50-12-18-4=16（人）， 补全条形统计图如下： A人数 20 6 足球排球篮球羽毛球运动项目 (3)2400× 16 =768(人) 50 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有768人， 24.1)解：直角顶点C的坐标为3,3)，反比例函数y=(x>0)的图象经过点C, k=y=3×3=9, :反比例函数解析式为y=9(x>0): (2)解：点D'不在反比例函数图象上，理由如下， :C(3,3),∠A0C=45°， .∠C0D=45°， 如图所示，过点C作CE⊥OD于点E, 答案第1页，共2页 B .0E=CE=3,则0C=√2CE=-3√2， 同理，0A=√20C=√2x3√2=6=0D, :∠B0D=30°，tan30°=BD-5 0B=2BD, OD 3 BD=2V3,0B=4V5, :将三角板OBD绕点O逆时针旋转30°，则点D的对应点D, .LD'0D=30°，0D=0D'=6,0B=0B'=4V5,BD=B'D'=2V5, 过点D'作D'F⊥OD于点F, 1 S.ORD=B'D'OD'=OB'D'F, :DF-0DBD.6x25-3. OB'43 .0F=V3D'℉=3V3, D'(35,3, 35×3=95≠9， 点D'不在反比例函数图象上. 25.(1)证明：：AB=AC, .∠B=∠ACB, :∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B, .∠BAD=∠CDE, 又：∠B=∠ACB, .△BAD-△DCE; (2)解：DEAB, .△CDE△CBA, 答案第1页，共2页 .△CDE△ABD, .△ABD△CBA, AB BD 即10、BD BC AB 1610 解得，BD=25 1 DEllAB, :E、BD 25 ACBC,即E4, 1016 解得，AE=125. 32: (3)过点A作AMLBC于点M,过点F作FNLMA交MA的延长线于点N, .AB=AC, .BM=CM=16÷2=8, 又：AB=10, .AM=√AB2-BM2=6, tanB-4M 3 BM4 :∠ADE=∠B, ·tan∠ADE=F-3 AD4 :∠ANF=∠AMD=∠DAF=90°， .·∠FAN+∠AFN=∠FAN+∠MAD=90°， .∠AFN=∠MAD, .AAFN~△DAM, .NF AF 3 3 9 M404即：NF=MA是 ×6 4 4 2 :点F到AM所在直线的距离=2， 9 .点D从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径是线段， 当点D与点B重合时，F点在F1的位置，此时，∠BAF190°， :tanB=AM 3 BM 4 315 .AF1=AB×tanB=10× 42 答案第1页，共2页 15 当点D与点C重合时，F点在F1的位置，此时，AF2=AC×tan∠ACF2=AB×tanB= 连接FF2, ∠BAF1=∠CAF2, .∠F1AF2=∠BAC, :AF1=AF2,即△AF1F2是等腰三角形， .△AF1F2~△ABC, 15 :5=45，即：E-2, BC AB 1610 F1F2=12,即：点F运动的路径长为12 F B MD B(D) F C(D) 图2 26.(1)解：：四边形ABCE是圆的内接四边形， .LABC+LAEC=180°， .∠AEC=180°-∠ABC=128°； (2)证明：如图，连接0A、0B、0C, AB=AC,OB=OC, .点O、A在线段BC的垂直平分线上， 0A⊥BC, :AM∥BC, .OA⊥AM, :0A是⊙0的半径， AM是O0的切线： M B D 答案第1页，共2页 (3)解：存在；m=1,n=-1,此时DC·DB=AD2-AC2; 证明如下： 如图，延长AO交BC于点F, .:AB=AC,AO⊥BC, 在RtaACF、RteADF中，由勾股定理得：AC2-CF2=AF2=AD2-(CF+DC)2, 即4c-gcj=Ao-Gc+ocj 整理得：AC2=AD2-DC(DC+BC), 即AC2=AD2-DC.DB, DC·DB=AD2-AC2, .当m=l,n=-1,DC.DB=mAD2+n·AC2成立. M D 27.(1)解：把A-2,0)代入y=x2+mx-2得：0=4-2m-2, 解得：m=1, 该抛物线的解析式为：y=x2+x-2, 把x=0代入得：y=-2, .C(0,-2); 把y=0代入得：0=x2+x-2, 解得：x=-2,x2=1, B(1,0). (2)①如图： 答案第1页，共2页 B 设直线AC的函数解析式为：y=kx+b(k≠0)， 把A(-2,0),C(0,-2)代入得： 0=-2k+b 1-2=b，解得： k=-1 b=-21 直线AC的函数解析式为：y=-x-2, :A(-2,0),B(1,0),点N运动到AB的中点， 把=代入2:y安- M(引，则w= :A-2,0),C(0,-2, .A0=C0=2,则∠BAC=45°， :8,w引 3 :MN BN= :MN∥y轴， .∠MNB=90°， .∠BMN=45°， ∠BMN=∠BAC; ②过点G作GH⊥x轴于点H, 答案第1页，共2页 由①可得：∠BAC=45°， LGNB=∠BAC=45°， .∠NGH=45°，则GH=NH, 设点Ga,a2+a-2), A-2,0, .AH a+2,GH=a2+a-2,NH AH-AN =a+2-1, a+2-t=a2+a-2,整理得：t=4-d2, B(1,0）, .BH a-1, :∠GNB=∠GAN+AGN,∠NGH=∠NGB+BGH, .∠GAN+AGN=∠NGB+BGH, :GN平分LAGB, .∠AGN=∠NGB, .∠GAN=∠BGH, 又：∠GHB=∠AHG=90°， AH_GH G所87，即，a+2、=Q2+a-2 a2+a-2a-1 整理得：a2+a-2=a2+a-2, 令a2+a-2=A,则A2=A, 解得：A,=0,A2=1, 当A=0时，不符合题意，舍去： 答案第1页，共2页 当4=1时，解得：4=+压，4，=1，正。 2 2 此时1=4-a=4-7-面_1+，或1=4-g=4-7+_1-正（舍， 2 2 2 2 综上：存在，1=1+正，点G的坐标为 -1+3 2 2 答案第1页，共2页