精品解析：2025年甘肃省平凉市崆峒区二模数学试题

初中毕业考试与高中招生考试模拟二 数学 注意事项： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用代数式表示“的倍与的差的平方”，正确的是( ) A. B. C. D. 4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图，这是一块雕刻印章的材料，则这块材料的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，街道与平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列四点中，在函数的图象上的点是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C均在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉销售额最高是19.55万元 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰中，，于点D．动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．在此过程中四边形的面积y与运动时间x的函数关系图象如图2所示，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： ________． 12. 象棋在中国有着悠久历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞·招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对弈图（部分），若棋子“帅”表示点，棋子“仕”表示点，则棋子“马”所在点的坐标是_______． 13. 现定义某种运算，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为_______． 15. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 16. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解不等式组： 20. 有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍． 应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①在中作直径，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线； ②延长直径，在延长线上截取，同样在射线上截取，连接； ③以点O为圆心，的长为半径画圆，大为所求作的花坛． 21. 月日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用，，表示三张形状相同的卡片，其中“．甘肃佛教艺术展”“ ．甘肃古生物化石展”“ ．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张． （1）小英抽到“．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为________； （2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的概率． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/g 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________． （2）乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”） （3）辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 25. 如图，以△ABCBC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若CF=4，DF=，求⊙O的半径r及sinB． 26. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 27. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C． （1）求直线的函数表达式及点C的坐标； （2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中毕业考试与高中招生考试模拟二 数学 注意事项： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4的算术平方根是2． 故选B． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴===， 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段：熟练掌握比例性质是解决此题的关键． 3. 用代数式表示“的倍与的差的平方”，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，先表示出的倍为，再表示与的差，，最后表示其平方，即． 【详解】解：“的倍与的差的平方”表示为， 故选：B． 4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图，这是一块雕刻印章的材料，则这块材料的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：这块材料的俯视图是： ． 故选：D． 5. 如图，街道与平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得答案． 【详解】解：街道与平行，， ∴， 故选：B． 6. 下列四点中，在函数的图象上的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据点的坐标判断是否在函数的图象上是解此题的关键． 只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】解：A、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，点A，B，C均在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：C． 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、折线统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 从1月到4月，食品销售总额为：（万元）， 故选项A不符合题意； 甘肃奶油杏肉4月份的销售额为：（万元）， 3月份的销售额为：（万元）， 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升，故选项B不符合题意； 这4个月中，甘肃奶油杏肉：1月份是（万元）， 2月份是（万元）， 3月份是万元， 4月份是万元， 故这4个月中，甘肃奶油杏肉售额最低的是3月，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元，故选项C符合题意；故选项D不符合题意； 故选：C． 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据“元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱”列方程即可． 【详解】解：由题意可得： 故选： A． 10. 如图1，在等腰中，，于点D．动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．在此过程中四边形的面积y与运动时间x的函数关系图象如图2所示，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图中拐点的纵坐标4，得到四边形的面积，此时点运动到点，可证明四边形是正方形，面积为4，那么正方形的边长为2，得为等腰直角三角形，即得到，进而求出长度为，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义及动点此时所在的位置． 【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动， ∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点， ∵图中拐点的纵坐标4， ∴四边形的面积为4， ∵，， ∴， ∵， ∴ 四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式；原式变形为两数的平方差的形式，再用平方差公式即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞·招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对弈图（部分），若棋子“帅”表示点，棋子“仕”表示点，则棋子“马”所在点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，先根据已知点的坐标，确定原点的位置，建立直角坐标系，进而得到棋子“马”所在点的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： ∴棋子“马”所在点的坐标是． 故答案为：． 13. 现定义某种运算，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：2． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形性质是解决本题的关键． 由菱形性质得，，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∴． 故答案为：10． 15. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 16. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算二次根式，再化简，最后合并即可得到答案． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，9 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算-化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为． 20. 有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍． 应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①在中作直径，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线； ②延长直径，在延长线上截取，同样在射线上截取，连接； ③以点O为圆心，的长为半径画圆，大为所求作的花坛． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了尺规作垂线，尺规作圆，根据题目中的作图方法求解即可． 【详解】如图所示，大为所求作的花坛． 21. 月日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用，，表示三张形状相同的卡片，其中“．甘肃佛教艺术展”“ ．甘肃古生物化石展”“ ．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张． （1）小英抽到“．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为________； （2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）先列表得到所有结果，找出符合条件的结果利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵共有“．甘肃佛教艺术展”“ ．甘肃古生物化石展”“ ．甘肃彩陶展”三种等可能的情况， 小英从中随机抽取一张，小英抽到“．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： ∴所有的等可能的结果数有个，两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的结果数有个， ∴两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的概率为． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 【答案】两幢楼楼顶，之间的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，过作，交于点，交于点，过作于点，根据题意得四边形是矩形，由测量步骤可得：四边形是矩形，则米，米，米，在中，，，则米，从而求出米，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形， 由测量步骤可得：四边形是矩形， ∵米，米， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 答：两幢楼楼顶，之间的距离约为米． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/g 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________． （2）乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”） （3）辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 【答案】（1） （2）C （3）乙山楂园，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键． （1）根据直方图可知甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的频数，再除以200即可求解； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）根据直方图的数据分析即可． 【小问1详解】 解：， 甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由样本数据频数直方图可知，乙山楂园样本数据的中位数落在C组． 故答案为：C． 【小问3详解】 解：乙山楂园的山楂品质更优，理由如下： 由样本数据频数直方图，可知乙山楂园优质品山楂所占比例大于甲山楂园，因此乙山楂园的山楂品质更优（答案不唯一，合理即可）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A的坐标代入，求出n的值，再将所得点A坐标代入，求出的值即可解决问题； （2）首先求出，，得到，再根据的面积求解即可． 【小问1详解】 解：点在直线上， ， ∴ 点A的坐标为， 又点A在反比例函数上， ， 解得：， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：将代入得， 解得 ∴ ∵一次函数 ∴当时， 解得 ∴，即 ∴的面积． 25. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若CF=4，DF=，求⊙O的半径r及sinB． 【答案】（1）详见解析；（2）r=3，. 【解析】 【分析】（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线； （2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理建立方程，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．然后在Rt△AOB中利用勾股定理，得到AB的值，再根据三角函数定义求出sinB． 【详解】解：（1）证明：连接OA、OD，如图， ∵点D为CE的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BC， ∴∠EOD=90°， ∵AB=BF，OA=OD， ∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，而∠BFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°， ∴OA⊥AB， ∴AB是⊙O切线； （2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF=， 在Rt△DOF中，， 即， 解得：r=3或r=1（舍去）； ∴半径r=3， ∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 在Rt△AOB中，， ∴， ∴AB=4，OB=5， ∴sinB==． 【点睛】考点：切线的判定． 26. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 27. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C． （1）求直线的函数表达式及点C的坐标； （2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 【答案】（1），点的坐标为 （2）①2或3或；②，S的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由得，当时，． 解得． ∵点A在轴正半轴上． ∴点A的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将代入，得． ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 ①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为． ∴点的坐标分别为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． 如图，当点在直线上方时，． ∵， ∴． 解得． 如图2，当点在直线下方时，． ∵， ∴． 解得， ∵， ∴． 综上所述，的值为2或3或； ②解：如图3，由（1）得，． ∵轴于点，交于点，点B的坐标为， ∴． ∵点在直线上方， ∴． ∵轴于点， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵轴， ∴四边形为矩形． ∴． 即． ∵， ∴当时，S的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $