江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末小题练习4

**基本信息** 聚焦高一数学期末高频考点，以选择填空形式系统覆盖向量、立体几何、三角函数等核心模块，注重概念辨析与综合应用，培养数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与复数|3题|单位向量夹角、共线判定、复数模计算|从向量数量积定义到共线条件推导，复数模与三角函数结合| |立体几何|3题|线面关系判断、旋转体体积、折叠问题|空间观念构建，从直观图还原到空间角与体积计算| |三角函数与解三角形|3题|图像性质、面积公式、角平分线定理|三角函数周期与平移性质，正弦定理与面积公式综合应用| |函数与最值|2题|辅助角公式求最值、函数图像交点|函数性质与方程思想结合，通过图像对称性分析几何关系|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习4 1．已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ） A． B． C． D． 4.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 5.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 6.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 7.（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．不同向的向量不能比较大小，同向共线的也不可以 D．若点为的重心，则 8.（多选）如图所示，在四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．与平面所成的角为 D．四面体的体积为 9.已知向量，，若，，三点共线，则 ． 10.若，则的最小值为______． 11.如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 12.在中，在边上且平分，若，，则线段的长为__________. 13.已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习4解析版 1．已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为均为单位向量，所以. 由. 即.所以.故选：A 2.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；故选：C. 3.若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以，当时，．故选：C. 4.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象 D．与的图象关于轴对称 【答案】D 【详解】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为，故最小正周期为， 故A错误； 对于B，由A可得，故， 而，故的图象不关于点对称， 故B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的解析式为， 故的图象向左平移个单位长度得不到的图象，故C错误； 对于D，， 而， 所以与的图象关于轴对称，故D正确；故选：D ． 5.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 所以 ， 如图，原四边形 中，， 则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 故其体积为. 6.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得，所以. 7.（多选）下列命题正确的是（   ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．不同向的向量不能比较大小，同向共线的也不可以 D．若点为的重心，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项：若,则不成立； 对于B选项：，若方向不同，则不成立，反之，若，则他们大小和方向均相同，所以，正确； 对于C选项：向量的两个要素：方向和大小，其中方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，正确； 对于D选项：如图，点为的重心，则延长分别与相交于三点,所以分别为中点,且,所以,成立.故选:BCD. 8.（多选）如图所示，在四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．与平面所成的角为 D．四面体的体积为 【答案】ACD 【详解】平面平面，平面平面，，平面， 平面， 在四边形中，，，， 对于A，平面，平面，， 若，，平面，平面， 则平面，又平面，则，显然不成立，故A错误； 对于B，平面，平面，， ，，平面，平面， 平面，平面， ，，故B正确； 对于C，平面，为与平面所成的角， ，，故C错误； 对于D，平面，故为三棱锥的高， ，故D错误.故选：ACD. 9.已知向量，，若，，三点共线，则 ． 【答案】 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得.故答案为：. 10.若，则的最小值为______． 【答案】 【详解】由辅助角公式可得， 所以最小值为.故答案为：. 11.如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【详解】①在正四棱柱中，平行于底面的对角线， 因此异面直线与所成角就等价于直线与所成角， 由于，，所以， 在中，由勾股定理得，，， 因此由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为. ②在正四棱柱中，有平面，因此， 又因为，平面，平面， 因此二面角的平面角为， 由于是直角三角形，，，，斜边，则， 故二面角的正弦值为. 12.在中，在边上且平分，若，，则线段的长为__________. 【答案】【详解】∵，， 又， ∴ ∴，∴，故答案为：． 13.已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 【答案】 【详解】由，得，整理得， 解得，则， 不妨取函数图象相邻的三个交点为， 依题意，是等腰直角三角形，由对称性得，则， 所以.故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $