江苏扬州市2025-2026学年高一下学期数学期末复习全真模拟练习卷

**基本信息** 高一下学期期末数学模拟卷，覆盖必修二（除复数）统计、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过实际情境（如测量榕树高度）、统计应用（频率分布直方图）及新定义问题（视角运算），考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|百分位数、向量垂直、面面平行条件、解三角形应用|单选第5题结合方位角与仰角测量，体现数学眼光；多选第9题以抛硬币考独立事件，强化数学思维| |填空题|3题/15分|数据变换的均值方差、球表面积计算、锐角三角形边角范围|第13题通过球体仰角测量，考查空间观念与数学语言表达| |解答题|5题/77分|向量运算、统计决策、三角函数综合、立体几何探究、新定义视角运算|第16题设计竞赛选拔方案选择，培养数据意识；第19题新定义“视角运算”，发展创新意识与逻辑推理|

高一下学期期末全真模拟测试卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（    ） A．79 B．54 C．50 D．41 【答案】A 【分析】由百分位数的计算公式直接求解即可. 【详解】第一步，将数据从小到大排列为：35，36，46，54，60，73，85，89 第二步，， 第三步，由于为整数，故第75百分位数为排序后第6个数与第7个数的平均数，即， 即第75百分位数为79. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D. 3．已知向量，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，解得. 故选：A. 4．已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线线和面面的位置关系，结合充分，必要条件，判断选项. 【详解】若，，，则与平行或异面，所以不是的充分条件， 反过来，若，，，则或相交，所以也不是的必要条件. 所以 “”是“”的既不充分也不必要条件. 5．如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米 6．设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式、二倍角正弦公式和半角公式，先把，，分别化成同一类三角函数值，再利用余弦函数在上的单调性比较大小． 【详解】因为，，所以. 由两角和的余弦公式，得. 因为.所以. 又因为，所以. 由半角公式，得. 即. 因为为锐角，所以，从而. 又因为，所以. 由于. 且余弦函数在上单调递减，所以. 即. 7．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定轨迹，进而求出其长度. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接， 连接，由，得四边形是平行四边形， 则，又，平面，平面， 因此平面，平面，又平面，， 则平面平面，而侧面，平面，于是平面， 则点在侧面上的轨迹为线段，又， 所以点在侧面上的轨迹长度为.    8．已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以单位向量为基底建立坐标系，将用夹角表示，通过向量模长公式将转化为含的三角函数，再结合，确定的范围，利用三角函数的值域求解模长的取值范围． 【详解】因为是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设与的夹角为，与的夹角为， 又因为，， 所以且，即与和的夹角均为锐角， 又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间， 如图所示，其中，，，则有， 则， 因为即，所以， 则，则， 即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】AD 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 10．在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若有两解，，，则 【答案】ACD 【分析】利用正弦边角关系及二倍角正弦公式，结合三角形内角的性质判断A；根据余弦定理即可判断B；由已知得，结合正弦函数的性质判断C；根据三角形解的个数有判断D． 【详解】A：由正弦边角关系得，又， 所以或， 则为等腰三角形或直角三角形，正确， B：若，则，即， 所以为钝角，则为钝角三角形，错误； C：由三角形为锐角三角形，则，则， 所以，正确， D：由有两解，则，正确． 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（   ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．周长的最小值为 C．棱上总存在点，使得直线平面 D．为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 【答案】ACD 【分析】对A，先求出正三棱柱底面正三角形的外接圆半径，根据外接球球心在上下底面中心连线的中点求出外接球半径，代入球表面积公式计算验证结论；对B，将正三棱柱两个相邻侧面展开为平面，利用两点之间线段最短得到的最小值，结合固定边长计算的最小周长验证结论；对C，在侧面中作，交于，在侧面过作的平行线交于，则点满足平面；对D，先计算正三棱柱总体积，再用割补法求出平面截得的较大部分体积，最终计算验证结论. 【详解】对于A：正三棱柱外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点， 底面正三角形边长为4，其外接圆半径； 正三棱柱高，球心到底面距离，因此外接球半径满足：， 外接球表面积，A正确； 对于B： 中，为定值，周长最小时最小， 将侧面与侧面翻折到同一平面内，连接，则的最小值为， ，因此周长最小值为 ，B错误； 对于C：在侧面内，过作，交于， 在侧面内，过作交于，， 所以平面平面，平面，所以平面 ，C正确； 对于D：正三棱柱总体积 ，是中点，取中点， 连接，则是边长为的等边三角形，取中点，则， 又由平面可知，，所以平面， 较小体积 ， 因此：， D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 【答案】10，12 【分析】利用平均数、方差的性质可得答案. 【详解】若一组数据的平均数为4，方差为3， 则数据的平均数和方差分别是. 故答案为：. 13．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 【答案】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即球体建筑物的表面积为. 故答案为： 14．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由已知条件得，进一步结合三角形是锐角三角形求得，然后将目标式子转换为，由对勾函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，由余弦定理有， 所以，所以， 所以 ， 因为三角形是锐角三角形， 所以， 而，所以， 所以，即， 因为三角形是锐角三角形， 所以，解得， 设， 则 ， 因为的取值范围是，所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知在上单调递减， 所以的取值范围是， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）. （2）向量与的夹角为锐角需满足， 且向量与不共线，即，由（1）有，所以 ，由得，所以的取值范围为. 16．为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生又参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. (1)估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； (3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1) 分 (2)分 (3)选择方案二，理由见解析 【分析】（1）计算成绩大于或等于分的学生频率，再求频数即得结果； （2）根据组中值计算平均数； （3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案. 【详解】（1）平均成绩为： 因此该 名学生平均成绩为 分. （2）依题意 ，即求第 90 分位数 频率分布直方图中,分数在 的频率为 分数在 的频率为 可知第 分位数在 内, 不妨设其为 ，所以 解得 , 取整可知至少 分才有参赛资格. （3）5道备选题中,甲会的3道题分别记为 ,不会的记为 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有 共5种,抽中会的 ,有3种，那么参加复赛的概率为 方案二： 学生甲从 5 道题中任抽 3 道,结果如下： 共10种, 至少会 2 道题的, 有 7 种情况 那么参加复赛概率为 ，因为. 所以选择方案二,可让学生甲进入复赛概率更大. 17．已知向量， ，其中，设函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）整理函数的解析式代入已知点求解即可. （2）结合（1）代入可得，进而根据三角恒等变换求解，再由两角差的正切展开公式求解. （3）将所给不等式等价转化，将其化成恒成立问题，进而设，将函数化成，再利用函数单调性求得参数范围. 【详解】（1）依题意，， ． 由得， 即． 又，所以．所以． （2）由已知得，，则， 解得，， （3）因为在恒成立， 则， 而， ， ， 所以， 即在恒成立， 记， 又； 设，则在上单调递增， ， ，即． 故的取值范围为． 18．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 19．A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． (1)若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； (2)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案； （2）由题目条件可得，然后利用，可得，最后利用基本不等式可得答案； （3）由题目条件可得，结合向量知识可得， 又，可得，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案. 【详解】（1）由题目所给信息，又D在线段BC外，则， 如图，因三角形ABC为等边三角形，， 则， 从而，， 则； （2）因，则D在线段BC内， 则， 因，则. 则， 则， 从而， 当且仅当时取等号； （3）因，则D在线段BC内. 则 又，则均为锐角，如图过B，C做AD所在射线的垂线， 垂足分别为E，F，则， 则，又注意到，则， 从而，则， 从而， 则， 又，则. 则， 由正弦定理得， 由和差化积公式：， 则. 由积化和差公式：. 注意到，则，则当时， ，即， 则. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 2 3 5 6 7 A 0 A D C D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.10,12 13.1600π 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)a-万=a6cos=4x3x,=6. (2)向量a+m6与a-b的夹角为锐角需满足(a+mb)a-)>0, 且向量a+mb与a-i不共线，即m≠-1，由(1)有a.b=6,所以 (ā+mba-b)=a2+(m-la.b-m62=16+6(m-1-9m =10-,南10-源>0得m<号。所以m的取做花国为-u(-号 (13分 16.(15分) 【详解】(1)平均成绩为： (40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0045+140×0.0030×20=78.4 因此该2000名学生平均成绩为78.4分. (2)依题意200=0.1，即求第90分位数 2000 频率分布直方图中，分数在[130,150)的频率为0.0030×20=0.06 分数在[110,130)的频率为0.0045×20=0.09 可知第90分位数在[110,130)内， 1/6 不妨设其为x,所以(130-x×0.0045+0.06=0.1 解得x≈121.11， 取整可知至少121分才有参赛资格. (3)5道备选题中，甲会的3道题分别记为a,b,c,不会的记为E,F 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有a,6c,E,F共5种，抽中会的α6c,有3种，那么参加复赛的概率为 3 方案二： 学生甲从5道题中任抽3道，结果如下： (a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(a,E,F),(b,c,E),(b,c,F),(b,E,F),(c,E,F) 共10种，至少会2道题的，有7种情况 那么参加复赛概率为石因为0 3.7 10 所以选择方案二，可让学生甲进入复赛概率更大.(15分) 17.(15分) 【详解】(1)依题意，=a-石-5=sin0rcos0+V5cos'0r-5 2 2x+3.+coszox_v3=sin 203 2 2 由/81g++2ez 632 即o=12k+1,k∈Z. 又0<o<2,所以o=1.所以刘=如2x+写》 （2)由已知得，1+sin2a-2,则l+2 2sinacosa_(sina+cosa_S sina +cosa tana +1 =2, cos2a cos2a-sin2a cos2a-sin2a cosa-sina 1-tana -1 解得amatma-)+ana 元_tana-l_3 1 3)因为-引a+引s-在x引恒成立， 则m引m+-w(r-引 2/6 =√2 sinrcos不+cosxsin2-√2 cosxcos+sinxsin 4 4 4/ msinx+mcosx-(sinx cosx)=(m-1)(sinx+cosx), 所以sin2x>(m-1)(sinx+cosx, 即m-1< sin2x 2sinxcosx sinx+cosx sinx +cosx 在x0 恒成立， sinr+cosin [眼 2sinxcosx =(sinx +cosx)2-1=12-1: 设g=,-=1-},则g)在1e[山，2]上单调递增， .g(t)mn=g(0)=0, m-1<0,即m<1. 故m的取值范围为-0,1).(15分) 18.(17分) 【详解】(1)证明：取棱PC的中点N,连接DN, D B 因为△PCD为等边三角形，所以DN⊥PC, 因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,DNc平面PCD,所以DN⊥平面PAC, 又PAC平面PAC,所以DN⊥PA, 又PA⊥PD,PDODN=D,PD,DNc平面PCD,所以PA⊥平面PCD.(4分) (2)连接AN, 由(1)中DN1平面PAC,所以∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角. 因为△PCD为等边三角形，CD=2,且N为PC的中点，所以DN=√3， 又DN L AN,在RtAAND中，sin∠DAN=DN=5, AD 4 3/6 所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为V3 (3)取AB中点Q,连接M,C2, 在Rt△PAD中，PA=√AD2-PD2=2V5, 因为PA⊥平面PCD,又PCc平面PAC,所以PA⊥PC, 在Rt△PAC中，AC=VPC2+PA2=4,所以△PBC=△PAC,所以MB=MA, 又点Q为AB中点，所以MQ⊥AB, 同理CQ⊥AB, 所以∠MQC为二面角M-AB-C的平面角， 设%=0≤元≤. PC 在Rta BMP中，BM=VBP2+PM2=V12+422, 在Rt△BMQ中，MQ=VBM2-BQ2=V11+422, 在△MQC中，MC=21-2),QC=V15,MQ=V11+412, 由余孩定理可得Q±DCC一85，即T+41+540)85 2MQ·QC 2W11+422.√15 15 化简得到162：-401+9=0，解得元=言或入-？〔舍去)。 甲线段PC上有车一aM,复得=面角W--C平面角的会滋位为源比时兴子山分) 19.(17分) 【详解】(1)由题目所给信息，又D在线段BC外，则(B,C:D)=- |AB sin∠BAD ACsin∠DAC' 如图，因三角形ABC为等边三角形，BC=CD, 则∠4cD-4C=CD∠CD=∠c1-g 61 从面∠BAD-=子h84C, 4B sin 则(B,C;D)= 2=-2； 4CIsin 6 4/6 (2)因(B,C;D)=>0,则D在线段BC内， h B sin∠BAD-csin∠BAD_c→sin∠BAD 则(B.C:D)-ACsin DACbsin∠DACb sin∠D1C 1, 因∠B1D+∠D4C-,周∠BAD=∠DAC=号 则Sc=5+5w→44Cs-4048子+404Cm号 从62x-66+24-2答33g-325 c b 当且仅当-2C→b=V2c时取等号， D (3)因(B,C;D)=2>0,则D在线段BC内. 则(B,C;D)= |AB sin∠BAD csin∠BAD ACsin∠DAC bsin∠DAC 又A=60°，则∠BAD,∠DAC均为锐角，如图过B,C做AD所在射线的垂线， 垂足分别为E,F,则csin∠BAD=BE,bsin ZCAD=CF, 5-2,又注意到∠BED=CFD--子∠BDE=∠CDF,则：BDE-6CDF, 则 CF -2.则而=孤+0=B+C-亚+引aC-网丽+号C 从而DC 从而3AD=AB+2AC三9AD=AB2+4AC2+4AB.AC, 则9AD=c2+4b2+2bc, 又BC=AC-AB÷BC2=AC2+AB-2AC.AB,则12=b2+c2-bC 则9AD-12=3b2+3bc→3AD2-4=b2+bc, 5/6 由正弦定理得b2+bc= BC sin B(sin B+sin C)=16sin B sin 4 血8+m-小 由和差化积公式：sinB+sin (2-B=2snos8-}-5co8-》 则16sinB s8+m--1658-到引 由积化和差公式：16V3 sin Bcos 9-}-8wm2-引n-w5sm28引12 注意到80）则2-晋（小则当28-号-受→8-晋时， 12 85sn2B-12≤85+12，即340-458v5+12→40≤16+85 3 65-255+小-22 则AD≤3一 (17分) F D E 6/6 高一下学期期末全真模拟测试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：必修第二册全册（复数除外） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（    ） A．79 B．54 C．50 D．41 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．设，则有（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 8．已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 10．在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若有两解，，，则 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（   ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．周长的最小值为 C．棱上总存在点，使得直线平面 D．为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是___________． 13．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 14．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生又参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. (1)估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； (3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 17．已知向量， ，其中，设函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． (1)若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； (2)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $