精品解析：2026年甘肃武威第十六中学中考考前预测数学试卷

2026年甘肃省武威第十六中学数学中考考前第三次模拟试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 小宇在美术课上设计了4张卡片，正面分别写有“拼”“搏”“奋”“进”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“拼”“搏”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知三角形纸片，第一次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第二次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G．若，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题 11. 因式分解：_______________________． 12. 若实数，同时满足，，则的值为______． 13. 如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 14. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 15. 如图，⊙是的外接圆，过点A作的切线与的延长线交于点D，E在上且，连接，，已知，，则__________；若点F在的延长线上，与交于点G且，则__________． 16. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 17. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 18. 如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 为了解曲江二中九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机抽样调查的男生人数为___________，图①中的值为___________，中位数为___________； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数； （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计我校九年级560名男生中该项目良好的人数． 22. “植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 23. 为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； （2）如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中为36米，为1米． ①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围． 24. 如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留）． 25. 在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． （1）如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； （2）如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 26. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 27. 国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，） （1）求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号） （2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数） 28. 综合与探究 问题情境： 矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合． 深入探究： （1）如图，当点在边上时，求证：； （2）如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积； （3）当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 29. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求该抛物线的表达式： （2）过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省武威第十六中学数学中考考前第三次模拟试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除、合并同类项、积的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与次数不同，不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法计算即可． 本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 3. 如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行 ， ∴ 拐弯前后的两段管道所在的直线平行，  ∴，  ∵  ∴ ． 4. 如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，A、B是双曲线 上的两点，过点 A 作轴，交于点D，垂足为C，若的面积为 ，D为的中点，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再通过面积关系，推导出，设，求出，最后用含有k的代数式表示，最后求出k值． 【详解】解：连接，过点B作轴于点E． ∵轴，轴， ∴， ∵的面积为 ，D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵A是双曲线 上的点， ∴设， ∵轴，交于点D，垂足为C， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴，即C为的中点， ∴， ∵B是双曲线 上的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形的性质可得，列方程求解，当为直角三角形时，的值；证得，根据全等三角形的性质得到、，再列式计算；根据，结合面积关系列出方程求解即可． 【详解】解：是等边三角形 ，为直角三角形 ， 故①正确； 过点Q作于点H，如图： 、、 ， 、、 、 即， 故②③正确； 解得或（舍去） 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：D． 7. 小宇在美术课上设计了4张卡片，正面分别写有“拼”“搏”“奋”“进”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗牌，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是“拼”“搏”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出树状图表示出所有结果，再计算两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”的概率即可． 【详解】根据题意，可画树状图如下： 由图可知，总共有12种结果，其中两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”有2种，所以两张卡片正面图案恰好是“拼”“搏”的概率是． 8. 如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据题意先求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ． 9. 已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，不等式的性质，熟练根据题意正确列出代数式是解题的关键．先利用，，确定，再分别讨论，，，时，结合和，，，均为绝对值小于的整数，且，一一枚举出来所有情况，再进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， 即或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或或或或或， ∴或或或或或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， ∴或， 共种，其中单项式有个； 综上， 满足条件的整式中，有个单项式， 故①错误； 当时，满足条件的整式有且只有个， 故②错误； 满足条件的整式一共有个， 故③错误； 故正确的个数是个， 故选：A． 10. 如图，已知三角形纸片，第一次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第二次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G．若，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】通过折叠可判断，根据平行线分线段成比例可得出，，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D， ∴，， ∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴． 二、填空题 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 13. 如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，然后通过角度和差，平角定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，， ， ， ， 靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离， 点到点的距离为， 点到点的距离为， ， ， 故函数的图象在第一、三象限． 15. 如图，⊙是的外接圆，过点A作的切线与的延长线交于点D，E在上且，连接，，已知，，则__________；若点F在的延长线上，与交于点G且，则__________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用切线和垂线条件得到平行线，进而推导角的等量关系，通过相似三角形对应边成比例求解线段长度。 由是切线和得，推出角相等；结合圆周角定理和圆内接四边形性质证，利用相似比和已知比例求出；设长度，结合与的关系表示通过延长构造直径，利用切线性质和圆周角定理推导角相等，证，根据相似比列方程求出。 【详解】解： ∵是的切线， ∴ ∵ ∴ ∴,即, 根据圆周角定理得： ∴, ∵四边形是内接四边形， ∴ ∴ ， ，， , ∴ 连接如图所示： 设 ∵ ∴ ∴ ∵, ∴ 如图延长与相交于点连接. ∵是的切线，则,即, 由是直径得：,即, ∴,又, ∴又由知, ∴, 又∵, ∴ ， (不合题意,舍去) . 故答案为：4；. 16. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 【答案】①② 【解析】 【分析】由函数图象可知当点运动到点时，，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而判断①；当时，计算的长，证明为等边三角形，从而判断②；当时，点在上运动，求出的最小值和最大值，从而判断③． 【详解】解：由图2可知，当动点沿匀速运动到点时，，即， 如图，过点 作于点，连接， 是等边三角形， 、， 在中，， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故①正确； 当时，点运动的路程为 5， ， 点在上，且， ， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故结论②正确； 当时，点在上运动， 当时，、， 当时，点到达点，，即在此过程中，的长度从 2 减小到 0， 过点作于点， 在中，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 当点与点重合时，，取得最小值， 此时， ， 点能运动到点处， 的最小值为， ∵， 的最大值为， 当时，的取值范围是， 故结论③错误； 综上所述，正确的结论是①②． 17. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据题意得到重物上升的高度为点旋转所对应的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为． 18. 如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过E作交是延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交是延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解方程组的步骤是解题的关键． 观察方程组中两个方程的y的系数互为相反数，可采用加减消元法，将两个方程相加消去y，进而求解． 【详解】解：①＋②，得， 解得． 把代入②，得， 解得， 原方程组的解为 21. 为了解曲江二中九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机抽样调查的男生人数为___________，图①中的值为___________，中位数为___________； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数； （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计我校九年级560名男生中该项目良好的人数． 【答案】（1）40，25，6 （2）本次调查获取的样本数据的平均数为次； （3）该校九年级560名男生中该项目良好的人数大约为308人． 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数的意义，掌握平均数、中位数的计算方法是解决问题的前提． （1）将各组数据求和即可得到调查的男生人数，根据频率进行计算即可求出的值，再根据中位数的定义即可解答； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）求出样本中“良好”所占的百分比，估计总体的百分比，进而求出“良好”的人数． 【小问1详解】 解：（名）， 则本次随机抽样调查的男生人数为； ，即； 将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是，因此中位数是6； 故答案为：40，25，6； 【小问2详解】 解：（次） 答：本次调查获取的样本数据的平均数为次； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校九年级560名男生中该项目良好的人数大约为308人． 22. “植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元 （2）购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，根据购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元， 由题意：， 解得：， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元； 【小问2详解】 解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得：， 解得：， 设总费用为元， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时，， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少． 23. 为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； （2）如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中为36米，为1米． ①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围． 【答案】（1） （2）①无人机能越过该平台；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）①令，求出的值，比较即可得出结果；②求出当和时的值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①由题可得，， 令，得， ， ∴无人机能越过该平台； ②如图所示： ，， ，得．，得． ， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 的取值范围为． 24. 如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 25. 在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． （1）如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； （2）如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】（1）①；②的长为； （2）． 【解析】 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【小问1详解】 ①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． 【小问2详解】 当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 26. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 27. 国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，） （1）求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号） （2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数） 【答案】（1）馆和馆之间的距离是米 （2）小红与游客中心D之间的距离是米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则，结合方向角的定义，可知，，然后在中可求得、，进而在中可求得，即可解答； （2）设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米，此时小明，小红分别在，处，连接，则，，，得到，然后在中，利用勾股定理建立方程，解得，过点作，垂足为，结合，在中可求得，在中可求得，最后由，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 则， 由题意得，， ，， ， 在中，，米， （米），（米）， 在中，， 米， 米； 【小问2详解】 解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米， 如图，此时小明，小红分别在，处，连接， 则米，米， 小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍， 米， 由（1）可知，米， 米， 在中，， ， 即， 解得，（负值舍去）， 米， 过点作，垂足为， 由（1）可知，（米）， 在中，， （米），（米）， 在中，， 米， （米）． 【点睛】本题以动物园平面图为实际背景，核心是通过作垂线将不规则图形转化为含、、的直角三角形，结合三角函数、勾股定理求解线段长度，小问2还融入了行程与方程思想，充分体现了“化斜为直”的几何转化思路与数形结合、方程建模的解题方法，是解三角形在实际场景中的典型应用。 28. 综合与探究 问题情境： 矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合． 深入探究： （1）如图，当点在边上时，求证：； （2）如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积； （3）当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：绕点旋转得到， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ； （2）①证明：如图，设交于点， 四边形是矩形，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ； ② （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证； （2）①设交于点O，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则； ②先证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得； （3）分两种情况：①若点G在对角线上时，过点作于，先证出点A，G，C，F在同一条直线上，再求出，，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点G在对角线上时，过点F作于M，过点E作于N，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质可得，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解： ， 在和中， ， ， ，即， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 四边形的面积为： ； 【小问3详解】 解：的长为或．理由如下： 点在矩形的对角线上时，分两种情况讨论： 如图，若点在对角线上时，过点作于． 平分， 点到的距离等于的长度， 由旋转的性质得：，，， ， ， ， 点，，，在同一条直线上， 在和中， ， ， ， ， 在矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 由勾股定理得：， ， 由勾股定理得：； 如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于， 在矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 由（1）②得：， 等腰三角形的三线合一， 在中，， 在中，， ，，， 由旋转的性质得：，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， 综上所述，的长为或． 29. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求该抛物线的表达式： （2）过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】（1）； （2）当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为； （3）点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将点，点代入，解方程组，可得和的值，从而可得抛物线的表达式； （2）用点的横坐标表示四边形的面积，由二次函数的性质，可得当面积最大时点的横坐标，从而可得点的坐标，作平行四边形，作点关于轴的对称点，连接，，由两点之间线段最短，结合勾股定理，即可得的最小值； （3）将原抛物线向右平移一个单位，向下平移一个单位，可得新抛物线，由点和点的坐标可得直线的解析式，作轴，点在直线上，作，结合已知可得与新抛物线的交点为点，作关于对称的直线，作，交于点，可得，从而可得点的坐标，进而求得的解析式，与新抛物线联立，解方程组，得到满足题意的另一个点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴将两点坐标代入得： 解方程组得：， ∴抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为，则 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设与轴交于点，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 设所在直线解析式为，则， 解得，， ∴所在直线解析式为， 设， ∵， ∴， 当四边形的面积： 作轴于点，连接， , ∴, ∴， 当时，四边形的面积最大，． 此时，， 作平行四边形，则，， ∵， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，，则， ∴，， ∴， 答：当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴新函数， 即， 对称轴为， 作轴，交新函数图象于点， ∵， ∴， ∵点，点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ∴直线与的交点坐标为， ∵， ∴为直线与新抛物线的交点， ∵轴， ∴，， 作，则， ∴， ∵， ∴， ∴与新抛物线的交点为， 过点作轴，交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， ∵，，，， ∴，， 连接，，则四边形为平行四边形， 与交点记为，则为的中点， ∵，， ∴， 作与关于对称，作，交于点，则， ∴， 连接并延长，交于， ∴， ∴与关于点对称， 设，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 答：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，求一次函数的解析式，直线与抛物线的交点，勾股定理，二次函数图象的平移，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $