精品解析：2026年甘肃陇南市西和县晒经乡九年制学校第三 次学学情自测 数学试题

2026年甘肃陇南市西和县晒经乡九年制学校第三次学情自测数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，化简各选项后由无理数定义判断即可． 【详解】解：A：，是开方开不尽的无限不循环小数，则是无理数； B：，是整数，属于有理数； C：是有限小数，属于有理数； D：是分数，属于有理数． 2. 如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题可知，其主视图是 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．， 故该选项不符合题意； C．， 故该选项不符合题意； D． 故该选项符合题意； 故选：D． 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程没有实数根时，，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 整理得，解得． 5. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k是常数，）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．首先利用待定系数法求出k的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于k的值的就在反比例函数图象上，反之则不在． 【详解】解：∵点在反比例函数， ∴， A．在x轴上，而反比例函数图象与坐标轴没有交点，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，若射线的方向是北偏东，，则射线的方向是（　　） A. 南偏东 B. 南偏东 C. 东偏南 D. 南偏西 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方向角，由题意可得，求出的度数即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：， ∴， ∴射线的方向是南偏东， 故选：A． 7. 如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据弧、弦的关系及等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知一组数据33，42，42，4●，51，68，第四个两位数的个位数字被墨水涂污，关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，出现次数最多的是42，据此解答即可． 【详解】解：A、平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故本选项不符合题意； B、方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故本选项不符合题意； C、中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，跟被涂污数字有关，故本选项不符合题意； D、数据中出现次数最多的数是42，即众数是42，与被涂污数字无关；故本选项不符合题意； 故选：D． 9. 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴桌沿（点A）处到地面的高度． 故选：A． 10. 如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（ ） A. 函数图象的横轴表示的长 B. 当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C. 两段抛物线的形状不同 D. 图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键． 第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确． 【详解】解：∵在两段函数中， ∴点P点C重合． ∵等边的边长为1，， ∴． ∴， ∴． ∵符合所给点． ∴横轴表示的长，故A错误； 如图：作于点D． 又∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵P为中点， ∴． ∴． ∴． ∴点H为的四等分点，故B错误； 当P在上时，为x，则， ∴． 当P在上时，为x，则， ∴， ∴． ∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等， ∴形状相同，故C错误； 当时，点P在上， ∴，故D正确． 故选D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数图象经过第一、三象限可得比例系数大于，列不等式求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ，解得． 13. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 ___________尺． 【答案】6.5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木头长尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得， 答：木头长6.5尺． 故答案为：6.5 14. 如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，扇形的面积公式等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，则，根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，由折叠性质可知，根据正弦求出，通过三角形外角性质得出，最后由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作于点，则， 由图可知，阴影部分的面积扇形的面积， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 15. 如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，延长到，使，连接，证明，则，，证明，则，可求，，证明，则，即，可求，由，可求． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂． 先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为：；整数解的和为 【解析】 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴整数解有：0,1,2,3,4， ∴所有整数解的和是． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分子分母能因式分解的进行因式分解，将除法改写为乘法，再根据分式混合运算顺序进行计算，最后将x的值代入即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知的两边与以为直径的圆交于，两点． （1）在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1） 的条件下， 若 ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作是平分线交于，点即为所作； （2）由（1）可知，，由，可得，可求，由勾股定理得，，证明，则，设，由，，可得，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作是平分线交于，点即为所作； ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 如图1，作于， ∴， ∴点即为所作； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正切的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 21. 在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平， 理由如下，画出树状图如下， 由树状图可知，一共有种等可能性，其中两数字和为奇数的有种，两数字之后和为偶数的有种， 甲胜的概率为，乙胜的概率为， ，即甲胜的概率大于乙胜的概率， 游戏规则对甲乙双方不公平． 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】略 22. 小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 四、解答题(本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1），，补图见解析 （2）九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图； （）根据平均数、中位数和众数判断即可； （）用乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵九年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多， ∴， 故答案为：，， 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人， ∴补全八年级的成绩条形统计图如下： 【小问2详解】 解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优秀； 【小问3详解】 解：， 答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 25. 如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线为的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）设，则，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线为的切线； 【小问2详解】 解：， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1）画图见解析，90 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 27. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点． （1）求抛物线解析式； （2）当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标 （3）是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的长最大，点的坐标为 （3）存在，点坐标为或时，使为等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，然后求出点的坐标，再列出的长度的表达式，确定取最大值时求出点的坐标即可； （3）先设出点的坐标，然后表示出的长度，再根据抛物线的对称性表示出的长度，列出关于点的横坐标的方程，求出点的横坐标，即可确定点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点，， ， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：时，， ， 直线解析式为， 点在线段上方抛物线上， 设， ， ， ， 当时，的长最大， 此时，点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在点使为等腰直角三角形， 设，则， ， 抛物线， 对称轴为直线， 轴交抛物线于点， 、关于对称轴对称， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ①当时，， ， 解得：（舍去），， ， ②当时，， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，点坐标为或时，使为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的各种性质并用含字母的式子表示出线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃陇南市西和县晒经乡九年制学校第三次学情自测数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k是常数，）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若射线方向是北偏东，，则射线的方向是（　　） A. 南偏东 B. 南偏东 C. 东偏南 D. 南偏西 7. 如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 已知一组数据33，42，42，4●，51，68，第四个两位数的个位数字被墨水涂污，关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 9. 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ） A B. C. D. 10. 如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（ ） A. 函数图象的横轴表示的长 B. 当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C. 两段抛物线的形状不同 D. 图象上点的横坐标为时，纵坐标为 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是______． 13. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 ___________尺． 14. 如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为_______． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 三、解答题（本大题共6个小题，共32分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并求出所有整数解的和． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知的两边与以为直径的圆交于，两点． （1）在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1） 的条件下， 若 ，求的长． 21. 在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 22. 小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 四、解答题(本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 25. 如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交AB的延长线于点F． （1）求证：直线为的切线； （2）当，时，求的长． 26. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）问题探究】 如图②，点M线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 27. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点． （1）求抛物线解析式； （2）当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标 （3）是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $