专题02【勾股定理】期末考点讲义（21大核心题型精析实战练习）2025-2026学年人教版数学八年级下学期

专题02【勾股定理】期末考点讲义（21大核心题型精析+实战练习） 2026学年人教版数学八年级下学期 重点知识◆梳理 知识点一、勾股定理 1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表达：设直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则+=。 公式变形：求斜边：c =；求直角边：,b=​。 3. 适用条件 只适用于直角三角形，分清直角边、斜边（斜边最长）。 4. 常见勾股数（整数组） 3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17 知识点二、勾股定理的逆定理 1.内容：如果三角形三边长a、b、c满足+=， 那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 2.判定步骤 ① 找最长边c； ② 计算较短两边平方和+； ③ 比较：若+=，则为直角三角形。 3. 拓展判定 +→ 锐角三角形 + → 钝角三角形 知识点三、互逆命题 & 互逆定理 1.勾股定理：直角三角形→三边平方关系 2.逆定理：三边平方关系→直角三角形 二者互为逆定理。 知识点四、勾股定理的证明（常用方法） 知识点五、易错点提醒 1.未说明直角三角形，不能直接用勾股定理； 2.逆定理必须先找最长边； 3.边长为正数，开方只取正值。 ☘题型梳理归纳 题型1.直角三角形边长直接计算 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 题型3.勾股树及三边图形面积计算 题型4.网格中求线段长度 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 题型6.求梯子滑落高度 题型7求旗杆高度 题型8求河宽 题型9解决水杯中筷子问题 题型10求台阶上地毯长度 题型11求小鸟飞行距离 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 题型13勾股定理与折叠问题 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 题型15线段平方关系证明题 题型16判断是否受台风影响 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 题型18勾股定理与无理数 题型19最短路径、距离最值问题 题型20选址、距离相等类问题 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 实战演练 题型解析◆精准备考 题型1.直角三角形边长直接计算 1．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 2．已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 3．如图，在中，， (1)尺规作图：作的边上的中线； (2)若，，求的长． 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 1．在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（   ） A．4 B．5 C． D． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____． 3．综合探究： 在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求、两点之间的距离； (2)在轴上找一点，使的值最小，请求出这个最小值； (3)若直线轴，且在轴上方，到轴的距离为，在直线上依次取两点、，且（在左，在右），利用平移知识，求的最小值． 题型3.勾股树及三边图形面积计算 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，，B．5，6，7 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 2．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 3．如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 题型4.网格中求线段长度 1．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 3．探究与实践【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是____________； (2)如图2、3，在方格纸中，，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点，都在格点上． 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，，B．4，5，6 C．，， D．11，60，61 2．在中，，，，若，则的度数是__________． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离． 例如，若点，，则． (1)已知点，，求A，B两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 题型6.求梯子滑落高度 1．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 3．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 题型7.求旗杆高度 1．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 3．在“测量学校旗杆的高度”综合与实践课中，优优所在的小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米．当把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)优优把绳子底端刚好压在头顶处（按住处忽略不计），一直向东走，当绳子拉直时，优优恰好走到D处．已知优优身高1.5米．求优优从A处到D处走了多少米？（计算结果保留2位小数，） 题型8求河宽 1．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 3．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 题型9解决水杯中筷子问题 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 2．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则h的取值范围是_______． 3．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    题型10求台阶上地毯长度 1．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 2．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 3．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 题型11求小鸟飞行距离 1．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 3．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 题型12网格中利用勾股定理逆定理判定直角三角形 1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．边上的高为2 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 3．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 题型13勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 2．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 3．如图1，在长方形纸片中，，点是线段上的动点，连接是由沿翻折所得到的图形． (1)如图2，连接，当点落在上时，的长． (2)如图3，点是的中点，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图4，点是的中点，连接，，求的最小值． 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 1．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 2．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 题型15线段平方关系证明题 1．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 3．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 题型16判断是否受台风影响 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 2．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是______米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为______秒（，结果精确到秒）． 3．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 1．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 2．如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______． 3．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 题型18勾股定理与无理数 1．如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上点表示的实数是__________． 3．在数轴上画出表示和的点． 题型19最短路径、距离最值问题 1．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 2．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 3．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 题型20选址、距离相等类问题 1．如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 2．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 3．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 3．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． ✍实战演练 一、单选题 1．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（　　） A． B． C． D．2 3．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 4．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（    ） A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 10．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 12．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 14．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．    15．如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 16．甲、乙两艘客轮分别用和速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________．（只填序号） ①北偏西    ②南偏西    ③南偏东    ④南偏西 三、解答题 17．如下图，，，，点在边上，点在边上，交于点．若，，求的长． 18．如图是某校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，得到体育馆的坐标为，艺术楼的坐标为，教学楼和实验楼的位置都在格点上． (1)在图中画出符合题意的平面直角坐标系； (2)若小丽的位置对应着坐标，求小丽到教学楼的距离． 19．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 20．如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 21．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 22．如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 24．有一块四边形草地（如图），测得，，，． (1)求的度数； (2)求四边形草地的面积． 答案第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02【勾股定理】期末考点讲义（21大核心题型精析+实战练习） 2026学年人教版数学八年级下学期 重点知识◆梳理 知识点一、勾股定理 1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.公式表达：设直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则+=。 公式变形：求斜边：c =；求直角边：,b=​。 3. 适用条件 只适用于直角三角形，分清直角边、斜边（斜边最长）。 4. 常见勾股数（整数组） 3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17 知识点二、勾股定理的逆定理 1.内容：如果三角形三边长a、b、c满足+=， 那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 2.判定步骤 ① 找最长边c； ② 计算较短两边平方和+； ③ 比较：若+=，则为直角三角形。 3. 拓展判定 +→ 锐角三角形 + → 钝角三角形 知识点三、互逆命题 & 互逆定理 1.勾股定理：直角三角形→三边平方关系 2.逆定理：三边平方关系→直角三角形 二者互为逆定理。 知识点四、勾股定理的证明（常用方法） 知识点五、易错点提醒 1.未说明直角三角形，不能直接用勾股定理； 2.逆定理必须先找最长边； 3.边长为正数，开方只取正值。 ☘题型梳理归纳 题型1.直角三角形边长直接计算 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 题型3.勾股树及三边图形面积计算 题型4.网格中求线段长度 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 题型6.求梯子滑落高度 题型7求旗杆高度 题型8求河宽 题型9解决水杯中筷子问题 题型10求台阶上地毯长度 题型11求小鸟飞行距离 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 题型13勾股定理与折叠问题 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 题型15线段平方关系证明题 题型16判断是否受台风影响 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 题型18勾股定理与无理数 题型19最短路径、距离最值问题 题型20选址、距离相等类问题 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 实战演练 题型解析◆精准备考 题型1.直角三角形边长直接计算 1．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理解题． 【详解】解：由题意知，，即， ∴． 2．已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 【答案】 8或 【分析】已知直角三角形两边长求第三边，需分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：当和都是直角边，为斜边时，根据勾股定理得 . 当为斜边，为直角边，为直角边时，根据勾股定理得 . 两种结果均满足三角形三边关系，故的值为或. 3．如图，在中，， (1)尺规作图：作的边上的中线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，连接，则线段即为所求； （）由直角三角形的性质得，即得，，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 1．在平面直角坐标系中，有两点，，则A，B两点之间的距离为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____． 【答案】 【分析】由点A和点P的坐标可知点A在y轴上，点P在x轴上，可得为直角三角形，利用勾股定理即可求出点A到点P的距离． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴点在轴上，点在轴上，， ，， 在中，由勾股定理得． 3．综合探究： 在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求、两点之间的距离； (2)在轴上找一点，使的值最小，请求出这个最小值； (3)若直线轴，且在轴上方，到轴的距离为，在直线上依次取两点、，且（在左，在右），利用平移知识，求的最小值． 【答案】(1) (2)点见解析，的值最小为 (3) 【分析】（1）直接利用两点间距离公式计算即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，点即为所求，连接，根据轴对称的性质得出，，可得的最小值为，利用两点间距离公式计算即可； （3）将点向右平移个单位长度到，连接、、，得出，，可得的最小值为的长，利用两点间距离公式计算的长，再加上的长即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，点即为所求，连接， ∵点与点关于轴对称，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为． （3）解：如图将点向右平移个单位长度到，连接、、， ∵， ∴， ∵直线到轴的距离为， ∴轴， ∴，， ∴是向右平移个单位长度，， ∴， ∴点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 题型3.勾股树及三边图形面积计算 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，，B．5，6，7 C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，三个数不是整数，不是勾股数，不符合题意； B选项，，，，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意； C选项，，且均为正整数，是勾股数，符合题意； D选项，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 2．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 3．如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （2）根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）．证明如下： ，， ． （2） 由（1）可知，阴影部分的面积． 题型4.网格中求线段长度 1．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意得出半径，以及直角边，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由图可知，网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【分析】点在线段上运动，当时，线段有最小值，利用网格计算的面积，再由，计算出的最小值． 【详解】解：点在线段上运动，当时，线段有最小值， 而， ， 得． 3．探究与实践【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是____________； (2)如图2、3，在方格纸中，，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点，都在格点上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，然后求出，利用勾股定理求解； （2）根据网格的特点和对直四边形的定义画图． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是对直四边形， ∴， ∴； （2）解：如图2，图3四边形即为所求；（答案不唯一） 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，，B．4，5，6 C．，， D．11，60，61 【答案】D 【分析】先确定每组三边中的最大边，计算两条较小边的平方和，与最大边的平方比较，若相等则能构成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A．由，，，故不能构成直角三角形； B． 由，，，则不能构成直角三角形； C．由，，，则不能构成直角三角形； D．由，，即，则能构成直角三角形． 2．在中，，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到三角形三边的数量关系，再利用勾股定理的逆定理判断的形状，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离． 例如，若点，，则． (1)已知点，，求A，B两点间的距离； (2)已知点，，，判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）直接代入公式求解； （2）由两点间的距离公式分别求解，再由勾股定理逆定理求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 题型6.求梯子滑落高度 1．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， 所以梯子顶端的高度h为． 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米； (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，米，米，由勾股定理可得米，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， 米， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，米，米， 根据勾股定理可得，米， ∴米， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 题型7.求旗杆高度 1．连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（   ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】根据题意设旗杆的高为x米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：如图：设旗杆的高为x米，则绳子的长为米， 在中，米， ， ， 解得， ， 旗杆的高为12米． 2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 3．在“测量学校旗杆的高度”综合与实践课中，优优所在的小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米．当把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)优优把绳子底端刚好压在头顶处（按住处忽略不计），一直向东走，当绳子拉直时，优优恰好走到D处．已知优优身高1.5米．求优优从A处到D处走了多少米？（计算结果保留2位小数，） 【答案】(1)旗杆的高度长为12米 (2)优优从A处到D处走了1.71米 【分析】（1）设旗杆的高度长为x米，则米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）过点E作于点F，求出米，再根据勾股定理求出米，即可求出结论； 【详解】（1）解：设旗杆的高度长为x米，则米， 在中，由勾股定理可知， 即， 解得， 答：旗杆的高度长为12米； （2）解：如图，过点E作于点F， 则米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理可得 米， ∴米， 所以米， 答：优优从A处到D处走了米． 题型8求河宽 1．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 2．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 3．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）根据构造的图形结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，在b岸选择一点，使，测出的长为； （2）解：，， ， ， ， 即：河的宽度为． 题型9解决水杯中筷子问题 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够使用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知，，，则， 在中，． 2．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则h的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，据此分别求出吸管露在盒外部分的最长长度和最短的长度即可得到答案． 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 吸管露在盒外部分的长度最短为， ∴． 3．平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    【答案】4米，5米 【分析】设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米， 根据勾股定理得， 解得（米）， 故（米）． 题型10求台阶上地毯长度 1．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 2．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 3．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 题型11求小鸟飞行距离 1．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 3．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型12网格中利用勾股定理逆定理判定直角三角形 1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．边上的高为2 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；利用三角形面积公式即可判断C；设边上的高为h，根据三角形面积公式求出h，即可判断D． 【详解】解：A．，故A正确； B．∵，， ∴ ∴，故B正确； C．∵ ∴ ∴，故C错误； D．∵ ∴ 设边上的高为h ∴，即 ∴ ∴边上的高为2，故D正确． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键． 先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：依题意，连接， 则，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴． 3．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出线段长即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出结论即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可知中，，． ，且， ∴ ∴是直角三角形． 题型13勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 2．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 3．如图1，在长方形纸片中，，点是线段上的动点，连接是由沿翻折所得到的图形． (1)如图2，连接，当点落在上时，的长． (2)如图3，点是的中点，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图4，点是的中点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）由Q点在上，利用勾股定理先求出的长，再由折叠的性质得，进而即可求解； （2）如图，连接，设，利用勾股定理可得方程，解方程即可得出答案； （3）连接，根据，得到当点三点共线时，最小，进行求解即可. 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：如图，连接，设， 由折叠的性质得：，，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，由（2）可知：， 折叠可知， ∵， ∴当点三点共线时，最小， ∴的最小值为. 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 1．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：①如图1，过作于，先根据三角形面积计算的长为4，可得的长，根据是等腰直角三角形，计算的长，从而得的长． ②如图2，同理可得的长，计算的长，根据是等腰直角三角形可得的长． 【详解】解：分两种情况： 如图1，，， ，， 过作于， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 如图2，过作于，过作于， ， ， 同理得：，， 中，， 是等腰直角三角形， ， 综上，的长是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意时，、有两个位置． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 题型15线段平方关系证明题 1．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 【答案】136 【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得． 【详解】解：， ， 在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 3．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 题型16判断是否受台风影响 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 2．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是______米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为______秒（，结果精确到秒）． 【答案】 400 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，则，利用含的直角三角形的性质得到，结合题意可得到当米时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出的最小值；在上取一点，使得米，利用勾股定理求出米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间． 【详解】解：如图，作交于点，则， 在中，， ， 由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 即当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响； 如图，在上取一点，使得米， 当米时，米， 米， 居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米， 72千米/小时20米/秒， 居民楼受噪音的影响时间约为（秒）． 故答案为：400；． 3．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 1．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 2．如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______． 【答案】2 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∴该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和． ∴三角形的面积为：． 3．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【答案】线段的最小值为 【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴是直角三角形且 当时，的值最小 则 ∴ ∴线段的最小值为． 题型18勾股定理与无理数 1．如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为点，，在数轴上表示的数分别为，，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为在数轴上表示的数为， 所以在数轴上表示的数为． 2．如图，在数轴上点表示的实数是__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴在数轴上点表示的实数是． 3．在数轴上画出表示和的点． 【答案】见详解 【分析】在数轴上找到数字3所对应的点C，过点C作数轴，截取，运用勾股定理得，再以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，同理得出对应的点是点，即可作答． 【详解】解：如图所示，在数轴上找到数字3所对应的点C，过点C作数轴，截取，连接， 根据勾股定理，得， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点A， 则对应的点是数轴上的点A， 同理：的作法与上面类似， 则对应的点是数轴上的点． 题型19最短路径、距离最值问题 1．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 2．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为． 3．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 题型20选址、距离相等类问题 1．如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于于，列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：由题意知，， 设，则， 因为于于， 所以在与中， 由勾股定理得，， ， 解得， ， 故选：C． 2．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 3．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 3．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． ✍实战演练 一、单选题 1．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键． 【详解】解：，，， ； 故选：C． 2．在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，AB⊥x轴于点B， ∵A（3，2）， ∴OB=3，AB=2， ∴OA=， ∴点A（3，2）到原点的距离是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 3．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案． 【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， ∴由勾股定理得：； 故选：D． 4．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（    ） A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行 【答案】A 【分析】根据图①可以得到（a+b）2＝ab×4+c2，然后化简即可；根据图①，无法确定a、b、c的关系． 【详解】解：由图①可得， （a+b）2＝ab×4+c2， 化简，得：a2+b2＝c2， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是直角三角形， 在中，，， ∴，， 在中，，，则， ∴， ∴小巷的宽为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键． 6．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 7．如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端离地竖直高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 8．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长， ∴小正方形的面积为：； 故选C． 10．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据勾股定理求出的长度即可判断A，B，C选项，然后利用勾股定理逆定理得到，最后根据度角直角三角形的性质即可判断D选项． 【详解】根据勾股定理可得，，故A选项正确，不符合题意； 根据勾股定理可得，，故B选项正确，不符合题意； 根据勾股定理可得，，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理和网格的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故选：A． 12．如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 二、填空题 13．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________． 【答案】12 【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∴， ∵在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8， 同理可证FG2+LK2=HL2=4， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键． 14．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．    【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15．如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 【答案】275 【分析】本题考查求最短路径问题—勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， 每级台阶的宽度和高度分别是和， 台阶平面展开图为长方形，长，宽， 蚂蚁从A点沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故答案为：275． 16．甲、乙两艘客轮分别用和速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________．（只填序号） ①北偏西    ②南偏西    ③南偏东    ④南偏西 【答案】①/③ 【分析】作出图形，根据勾股定理逆定理证明和是直角三角形，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，O表示港口， 根据题意得：OA=20×40=800，OB=15×40=600，AB==1000， ∴OA2+OB2=AB2， ∴是直角三角形，且∠AOB=90°， 同理，是直角三角形，且=90°， ∵甲客轮沿着北偏东的方向航行，即， ∴或等于60°，所以乙客轮的航行方向可能是北偏西 或南偏东 ． 故答案为：①或③ 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 三、解答题 17．如下图，，，，点在边上，点在边上，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等知识，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 根据平行线的性质可得，进而可求出，从而为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：，， ． ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 18．如图是某校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，得到体育馆的坐标为，艺术楼的坐标为，教学楼和实验楼的位置都在格点上． (1)在图中画出符合题意的平面直角坐标系； (2)若小丽的位置对应着坐标，求小丽到教学楼的距离． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，两点之间的距离，正确得出原点位置是解题关键． （1）根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案； （2）结合（1）得出教学楼的位置对应的坐标，两点之间的距离公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵体育馆的坐标为，艺术楼的坐标为， 如图，建立坐标系如下： （2）解：∵小丽的位置对应的坐标，教学楼的位置对应的坐标， 故小丽到教学楼的距离． 19．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 20．如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题． 【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km）， 则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点， 如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时）， ∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【答案】(1)120米 (2)72千米小时，小汽车超速了 【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度路程时间，即可判断． 【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示： 由题意可得：米，米， 在中， （米， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时）， ， 小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． 22．如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； ∵， ∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)48米 (2)会造成噪声污染，污染的时间为10秒 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连结，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 24．有一块四边形草地（如图），测得，，，． (1)求的度数； (2)求四边形草地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用， （1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得； （2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论． 正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键． 【详解】（1）解：连接， ，． 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， ； （2）过作于， ， ， ， 四边形草地的面积， 答：四边形草地的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $