专题07一次函数的概念、图象和性质期末复习讲义(17大核心题型精讲+进阶练习)-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题07一次函数的概念、图象和性质期末复习讲义 期末复习◆目标 概念辨析：精准掌握正比例函数与一次函数的定义及结构特征，理清二者从属关系。 图象绘制：熟知两类函数图象基本特征，熟练掌握两点作图法，会求直线与坐标轴交点坐标。 核心性质：深度理解系数k、b的几何意义，掌握系数对图象象限、函数增减性的影响，活用数形结合思想解题。 图象平移：熟记平移口诀与双重平移规则，规避平移易错点，快速求解平移前后的函数解析式。 核心题型◆归纳 题型1.正比例函数定义辨析 题型2.一次函数识别辨析 题型3.根据一次函数定义求参数 题型4.求一次函数自变量或函数值 题型5.列一次函数解析式并求值 题型6.正比例函数的图象、性质 题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型8.已知函数经过的象限求参数范围 题型9.一次函数图象与坐标轴交点问题 题型10.判断一次函数的增减性 题型11.根据一次函数增减性求参数 题型12.根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型13.比较一次函数值的大小 题型14.一次函数图象平移问题 题型15.一次函数图象对称问题 题型16.一次函数图象旋转问题 题型17.一次函数的规律探究问题 题型18.进阶练习14道题 重点知识◆梳理 【知识点一、一次函数基础概念】 1.正比例函数：一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例.函数。 四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)解析式不含常数项，即常数项为0；(3)比例系数k≠0；(4)等式右侧为自变量的单项式。 正比例函数图象性质： 2.一次函数：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。 四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)比例系数k≠0（核心限制条件）； (3)b为常数项，取值任意，可为正数、负数、0；(4)解析式为关于x的一次二项式或单项式。 3.两类函数关系:在一次函数y=kx+b中，当常数项b=0时，解析式简化为y=kx，此时一次函数转化为正比例函数。 核心结论：正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数。 【知识点二、一次函数的图象】 1.图象基本特征:正比例函数y=kx（k≠0）：图象是一条经过原点的直线； 一次函数y=kx+b（k≠0）：图象为一条直线；b≠0时图象不经过原点。 2.两点作图法:(1)正比例函数：选取定点(0,0)、(1,k)，两点连线即可； (2)一次函数：优先选取坐标轴交点y轴交点(0,b)，x轴交点（-,0） 3.系数几何意义:系数k（斜率）：决定直线倾斜方向与函数增减性；|k|越大，直线倾斜程度越陡； 系数b（截距）：决定直线与y轴的交点位置，直线与y轴固定交于点(0,b)。 【知识点三、 一次函数核心性质】 1.函数增减性（仅由k决定） （1）k>0：图象自左向右上升，y随x的增大而增大； （2）k<0：图象自左向右下降，y随x的增大而减小。 2.一次函数图象与性质如下图所示： 【知识点四、一次函数图象平移规律】 通用口诀：上加下减，左加右减；两类平移相互独立，互不干扰。 上下平移（针对常数项）：只改变直线上下位置，不改变自变量； 直线y=kx+b向上平移m个单位：y=kx+b+m； 直线y=kx+b向下平移m个单位：y=kx+b-m。 左右平移（针对自变量）：仅对x整体变形，必须加括号； 直线y=kx+b向左平移m个单位：y=k(x+m)+b； 直线y=kx+b向右平移m个单位：y=k(x-m)+b。 重点提示：图象平移只改变直线位置，不改变倾斜角度；平移过程中k值保持不变，所有平移后的直线互相平行。 题型解析◆精准备考 题型1.正比例函数定义辨析 1．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 【答案】D 【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数），写出各选项变量的函数关系式，再根据定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：正方形面积与边长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项B：等腰三角形周长为，底边长与腰长的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项C：短跑中时间与速度的关系式为，不是正比例函数，不符合题意； 对于选项D：总价与购买数量的关系式为，是正比例函数，符合题意． 2．已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如的函数是正比例函数，据此求出的值，得到函数解析式，再代入计算得到的值. 【详解】解：∵函数是关于的正比例函数 ∴且， 解得：， 当时，． 3．已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出的值，从而得到与的函数关系式； （2）利用（1）中的关系式，求出函数值为所对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得， 解得， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得． 题型2.一次函数识别辨析 1．下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数是一次函数，正比例函数是特殊的一次函数． 【详解】解：A． 是常数函数，不符合一次函数定义，错误； B．中，，属于特殊的一次函数，符合定义，正确； C．是反比例函数，不符合一次函数定义，错误； D．中未说明，当时该函数是常数函数，不符合定义，错误． 2．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 3．一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【答案】，y是x的一次函数 【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键．剩余油量等于存油减去耗油量即可求出函数解析式，根据一次函数定义进行判断即可． 【详解】解：油箱剩余油量， 当时，， 解得：， ∴， 符合一次函数定义，因此y是x的一次函数． 题型3.根据一次函数定义求参数 1．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程和不等式，求解并排除使一次项系数为的情况，得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴常数项，且一次项系数． 由，得 ∴， 由，得 ∴． 2．当_____时，一次函数的图象经过原点． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析式，代入求解即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴将，代入函数解析式得， 解得：， ∵该函数为一次函数，一次项系数不能为， ， ∴， ． 3．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 题型4.求一次函数自变量或函数值 1．一次函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项横坐标代入解析式，计算对应值，和选项纵坐标对比即可得到答案. 【详解】解：∵对选项A，当时，， ∴A错误； ∵对选项B，当时，， ∴B错误； ∵对选项C，当时，， ∴C错误； ∵对选项D，当时，，坐标满足解析式， ∴图象一定经过点. 2．已知点，在函数的图像上，则_________． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在函数的图象上 将代入 得． 3．在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标： (1)横坐标是； (2)与轴的距离是2个单位长度． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）代入求出的值，即可求解； （2）分别代入和求出与之对应的值，进而可得出和轴的距离是2个单位的点的坐标． 【详解】（1）解：∵ 所求点在直线 上，且横坐标为 ， ∴ 将 代入解析式得： ， ∴ 满足条件的点坐标为 ． （2）解：∵ 所求点到轴的距离是2个单位长度， ∴ ，即 或 ， 当 时，代入 得： ，解得 ， 此时点坐标为 ； 当 时，代入 得： ，解得 ， 此时点坐标为 ； ∴ 满足条件的点坐标为 和 ． 题型5.列一次函数解析式并求值 1．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据全等，为中点，可得，，，，可求得直线的解析式为，直线的解析式为，从而解得，所以． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： ， ，，， 为中点， ， ，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入解析式得, ∴直线解析式为， 解方程组得， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形，一次函数以及勾股定理．建立平面直角坐标系，求出直线、解析式是解出本题的关键． 2．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出的坐标，再顺次连接三点得到． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】（1）解：，关于轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数， ． ， ． ， ． 顺次连接，得到． （2）解：作点关于轴的对称点，设直线的解析式为， 将，代入解析式： , 解得，， 直线的解析式为． 当时，， ． 题型6.正比例函数的图象、性质 1．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（     ） A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大 B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为： C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大 【答案】D 【分析】观察图象逐个判断即可． 【详解】解：由图可知甲，乙两个图象表示随着横轴电压的增大，电流强度随之增大，则A正确； 则在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比，则C正确； 由图象可知电压和电流成正比例，所以，则B正确； 当电压不变时，如电压为时，，，可知，所以，则D不正确． 2．已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 【答案】/0.2 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， 将点的坐标代入解析式得：， 解得． 3．已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式即可； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：如图，设， 则有， 解得， ∴点的坐标为或． 题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式判断其经过的象限，根据本题中，，图象经过一、三象限， ，则，图象与轴的交点大于，即可解答． 【详解】， 图象经过一、三象限， ，， ， 图象与轴的交点大于， 综上，图象经过一、二、三象限， 故选． 2．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________． 【答案】点 【分析】根据k与b的符号确定一次函数图象经过的象限，结合各点所在的象限进行判断． 【详解】解：在函数中，、， 则该一次函数图象经过第二、三、四象限， 由图可知，点M在第二象限，点N在第一象限，点P在第四象限，点Q在第三象限， 因此，其图象不可能经过点N． 3．联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 【答案】(1)当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限． (2)当时，函数的图象不经过第四象限；当时，函数的图象不经过第二象限 【分析】（1）画出和时函数的图象，根据图象解答即可； （2）画出时，时的图象，根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第一、三象限； 当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第二、四象限； （2）解：当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第四象限； 当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第二象限． 题型8.已知函数经过的象限求参数范围 1．直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先根据平移规则求出平移后直线的解析式，再根据一次函数图象经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：根据一次函数平移规则，直线向上平移个单位长度后， 解析式为 ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴直线与轴的交点需在正半轴，即， 解得， 只有D选项的5满足条件． 2．一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，已知一次函数的一次项系数为，大于，直线必过第一、三象限，图象不经过第二象限，可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数为， ∴一次函数图象一定经过第一、三象限． ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴． 3．一次函数的图象位置大致如图所示，试分别确定k、b的正负号，并说出函数的性质． (1) (2) 【答案】(1)，，其性质为y随x的增大而减小； (2)，，其性质为y随x的增大而增大． 【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．据此作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交， ∴，，其性质为y随x的增大而减小； （2）解：由图象可知y随x的增大而增大，图象与y轴的正半轴相交， ∴，，其性质为y随x的增大而增大． 题型9.一次函数图象与坐标轴交点问题 1．已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，根据交点位置得到横坐标的范围，推导得到k的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：∵ 一次函数与x轴交点的纵坐标为， ∴令，代入得， ∵， 解得， ∵ 交点在x轴负半轴上， ∴ ，即， ∴ ， 选项中只有A选项的满足， 故选：A． 2．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，解题思路是先根据平移规则求出平移后直线的解析式，再代入交点坐标计算得到的值． 【详解】根据一次函数图象平移规则，直线上下平移时，一次项系数不变，只改变常数项，向下平移个单位长度，常数项减，原直线解析式为，向下平移个单位长度后，平移后直线的解析式为：， 已知平移后的直线与轴交于点，将代入平移后的解析式得：， 因此， 故答案为：． 3．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【分析】先将已知点的坐标代入直线解析式求出的值，再分别令、，求出直线与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 题型10.判断一次函数的增减性 1．已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 2．点和都在直线上，则__________（填＞或＜）． 【答案】＞ 【分析】利用一次函数的图像性质，“当时，随的增大而减小”进行求解． 【详解】解：∵直线的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 3．如图，已知一次函数的图象经过点和点． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）直接由函数图象求解取值范围即可； （3）先根据已知点求出函数解析式，再结合函数的增减性求解取值范围即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，当时，； （2）解：根据函数图象可知，当时，； （3）解：设一次函数的解析式为， 将点和点代入解析式， 得：，解得：， 函数的解析式为， 当时，， 因为随的增大而增大，且， 所以，即的取值范围是． 题型11.根据一次函数增减性求参数 1．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性，分一次项系数大于零、小于零、等于零三种情况讨论，计算出m，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，符合条件； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，舍去； 当，即时，，不符合最小值为，舍去； 综上，． 2．某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中，随的增大而增大， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中，随的增大而减小， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式是或． 3．在函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象，根据图象研究函数的性质，运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们探究函数（为常数）图象及部分性质． (1)【特例研究】当时，即函数的图像在图①的平面直角坐标系中已画出，图像为轴对称图形，对称轴是轴． 当时，即函数，通过列表、描点、连线，探究函数的图像和性质． … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 0 1 … ①通过上表中的数据请你在图②的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是________； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； (2)【深入探究】 ①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是_________； ②探究函数的图象与性质，当时，函数的最小值为4，求的值________． 【答案】(1)①见解析； ②；③右；2 (2)①；②或8 【分析】（1）①先描点、再连线即可画出函数图象；②观察函数图象即可得出结果；③观察函数图象，并结合一次函数图象平移的法则即可得出结果； （2）①观察函数图象即可得出结果；②分三种情况：当时，函数在上，随着的增大而减小；当时，函数在上，随着的增大而增大；当时，函数的最小值为，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①画出函数的图象如图所示： ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位长度得到； （2）解：①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是； ②当时，函数在上，随着的增大而减小，故当时，取得最小值，即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，函数在上，随着的增大而增大，故当时，取得最小值，即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，函数的最小值为，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或8． 题型12.根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 1．已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】先判断一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴该一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 2．若点，在一次函数的图象上，则_____．(填“”，“”或“”) 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数的性质，一次函数y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】∵一次函数中，， ∴函数值y随自变量x的增大而减小． ∵点的纵坐标小于点的纵坐标1， ∴． 故答案为>． 3．已知与成正比例函数关系，且当时，， (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式． （2）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：设， 将时，代入， 解得：， ∴， ∴； （2）解：由， 当时，， 当时，， ∵函数中，， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴y的取值范围为． 题型13.比较一次函数值的大小 1．如图，在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象分别记为直线和直线，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确的是（     ） A．， B．，C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象经过的象限，确定k、b的正负，根据直线和直线的交点，以及观察图象可得，当时，，从而判断出当时，． 【详解】∵一次函数的图象过第一、二、四象限，，，∵一次函数的图象过第一、三、四象限，，，，，故A，B选项均不正确；由题图可知，当时，，当时，，∴当时，，故C选项正确，D选项不正确． 2．已知，是一次函数的图象上的两个点，则a与b的大小关系是________． 【答案】 【分析】一次函数，当时，随的增大而增大，反之，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：， 随的增大而减小， ，是一次函数的图象上的两个点，， ． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两个已知点的坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）根据题意列出时恒成立的两个不等式，分情况讨论不等式恒成立的条件，结合的范围推导得到m的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 根据题意得，当时，且恒成立， ∴且， 对于，若，则， 当时，x可取任意小于2的数，无法满足常数， ∴无解，舍去； 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∵对所有恒成立， ∴ 解得； ∴第一个不等式要求； 对于，若，则当时，满足， 又∵在中，不可能都满足， ∴舍去； 若，可得，不等式恒成立； 若，则， ∵对所有恒成立， ∴ 解得； ∴第二个不等式成立的条件是 ． 又∵， ∴m的取值范围为． 题型14.一次函数图象平移问题 1．将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 【答案】A 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：∵将直线平移后，得到直线， 设向上平移了a个单位， ∴， 解得：， 所以沿y轴向上平移了个单位，即向上平移8个单位. 2．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为______． 【答案】1 【分析】先根据一次函数图象平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移规律，将的图象向左平移个单位后，得到的新函数解析式为 整理得 平移后的图象经过点 将，代入解析式得 解得 3．按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数平移规律以及用待定系数法求函数解析式． （1）根据函数平移规律“上加下减，左加右减”，可以求得平移后的解析式； （2）设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B．先求出点A，点B的坐标，再按照坐标平移规律求出平移后的对应点坐标，最后运用待定系数法，求出平移后的函数解析式． 【详解】（1）解：； （2）解：设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B． 令，解得：， 即点； 令，解得：， 即点； ∵一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度， ∴，． 设直线对应的函数表达式为：， 将点，点代入中， 得：， 解得，， ∴直线对应的函数表达式为． 题型15.一次函数图象对称问题 1．在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 2．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别令求解即可； （2）先求出点关于y轴的对称点坐标为，再根据待定系数法求解即可 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：点关于y轴的对称点坐标为， 设直线关于轴对称的直线解析式为， 把和代入上式得，解得：， ∴． 题型16.一次函数图象旋转问题 1．将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数图象，然后得到原点到直线的距离最小，进而根据两点距离公式计算两点之间距离，最后问题可求解． 【详解】解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图象绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 2．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 3．已知一次函数的图象经过点和，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转，求旋转后的函数解析式． 【答案】 【分析】首先求出原一次函数的表达式，然后求出与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：设一次函数解析式为， 则， 解得， 所以一次函数解析式为． 设与轴和轴分别交于点和点，则，， 所以，绕原点顺时针旋转的点为， 设 代入得， 解得， 所以一次函数解析式为． 题型17.一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意及一次函数的表达式及点，求出x轴上线段对应的规律为，及对应正方形的边长对应的规律，总结规律便可求出点的坐标，即可得出当时，点的坐标． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点， ∴，点， ∵以为边向右作正方形， ∴， ∴，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点． ∵，，，， ∴； ∵，，，， ∴． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． 2．正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的性质，一次函数图象的性质等，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． （1）利用待定系数法和平移的性质即可求得结果； （2）根据一次函数图象的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得； ∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， ， 将代入得， 解得； （2）解：由（1）得的解析式为，的解析式为， 如图所示，当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值， 则． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象与y轴交于点 B．图象与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项分析求解即可． 【详解】解：A．令，得，∴一次函数的图象与y轴交于点，A选项正确； B．令，得，∴一次函数的图象与x轴交于点，B选项错误； C．∵，∴y随x的增大而减小，C选项错误； D．一次函数中，，，∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，D选项错误． 2．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设正比例函数为，根据条件可得，再结合均为5代入计算即可． 【详解】解：设正比例函数为， 当输入为0时，， ，解得， ，解得， 当均为5时， ，解得， ． 4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，根据等腰三角形三线合一的性质得出点的纵坐标，再结合平移规律和一次函数解析式求出点的横坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， 点的纵坐标为， 将点向左平移个单位得到点， 点的纵坐标为， 点在直线上， 当时，，解得， 点的坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 5．对于一次函数，下列说法：①当时，随的增大而减小；②当时，函数图象一定交于轴的负半轴；③当时，函数图象经过原点；④函数图象一定经过点，其中正确的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性、图象与坐标轴交点的特点，逐个判断四个说法的正误，统计正确个数即可得到答案。 【详解】①当时，根据一次函数性质，随的增大而减小，故①正确，符合题意； ②一次函数与轴的交点为，当时，，即函数图象与轴交于正半轴，故②错误，不符合题意； ③当时，即，函数图象经过原点，故③正确，符合题意； ④，当时，即，，函数图象一定经过点，不是，故④错误，不符合题意； 综上，符合题意的是①和③，一共个． 二、填空题 6．若一次函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】3 【分析】将点代入一次函数解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 将，代入解析式得， 整理得 ． 7．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 【答案】 【分析】先设出正比例函数的一般形式，代入已知点的坐标求出比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后根据比较与的大小． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 将 代入解析式得， 解得 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小 ∴． 8．若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a的不等式，求出此时a的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式有解，则解为：， ∵不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3，2， ∴， 解得； ∵一次函数不过第四象限， ∴则有， 解得； 综上： ∴a的整数值有：，，， 则其和为：． 9．如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】先得出，，再根据以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），分三种情况讨论即可． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点， 当时，即，解得，； 当时，， ，， ，． 若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则分情况如下： ①当，且点在点右侧时，如图所示： 则， ． ， ； ②当时，如图所示： 则， ， ； ③当，且点在点左侧时，如图所示： 则， ． ， ． 综上，点的坐标为或或． 三、解答题 10．将直线进行平移，得到直线．若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值． 【答案】 【详解】解：设平移后的直线的解析式为， ∵ 直线经过点， ∴， 整理得：． 11．已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点； (4)当m为何值时，图象经过第二、三、四象限． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) 【详解】（1）解：随x的增大而增大， ，解得； （2）解：函数图象与y轴的交点在x轴的下方， 且，解得且； （3）解：函数图象经过原点， ，解得； 检验：当时，，符合题意； （4）解：函数图象经过第二、三、四象限， ， 解得． 12．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图象见解析，4； (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先画出函数图象，再根据一次函数与坐标轴的交点求面积即可； （3）分别求出和时自变量的值，再结合图象即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：由题意可知，函数图象过点和， 画函数图象如下： 令，则， 图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 结合图象可知，当时，自变量的取值范围是． 13．某农业研究所研究两种植物生长调节剂（制剂和制剂）对某种蔬菜产量的影响．制剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于抑制生长等原因，产量反而下降．制剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其产量与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：，其中为单位面积产量（单位：），为浓度（单位：）．在固定栽培条件下，改变制剂的施用浓度，测得单位面积产量数据如下： 浓度 产量 (1)通过分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①若要求单位面积产量至少为，且希望使用制剂的浓度尽可能低，则选择制剂比选择制剂可以节省________的制剂； ②若使用制剂的单位面积产量至少比使用制剂的单位面积产量多，则浓度的取值范围是_____（注：取值保留整数） (3)研究人员发现，每增加制剂，制剂和制剂的成本分别增加元和元．该蔬菜的目标产量为，若实际产量低于目标，则每短缺会造成元的损失（不足的部分按比例计算）．当制剂和制剂的浓度均为时，总成本（制剂成本与损失之和）较低的是制剂_____（填写或），其最低总成本为_____元． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)， 【分析】（1）根据表格中制剂的浓度与产量对应数据，在坐标系中描点，再依次连接各点即可； （2）先根据产量条件，分别找到制剂、对应的最低浓度，再用制剂的浓度减去制剂的浓度，得到节省的浓度差； 先根据分段数据，求出制剂在各区间的产量函数解析式，再根据题意列不等式，分别求解两个区间的不等式，最后取公共解并按要求取整，得到浓度范围； （3）先计算浓度为时两种制剂的实际产量，再分别计算它们的制剂成本和产量损失成本，求和得到总成本，最后比较两者总成本，确定更低的制剂和成本． 【详解】（1）解：如图为函数的图象． （2）解：若要制剂的浓度尽可能低，则单位面积产量为， 此时需要制剂，制剂， 故选择制剂比选择制剂可以节省制剂． 设当时，函数图象解析式为， 其过点，， 可得， 解得， 则， 设当时，函数图象解析式为， 其过点，， 可得， 解得， 则， 根据题意可得， 保留整数后解得． （3）解：当，，， 则制剂的成本为（元）， 则制剂的成本为（元）， 故总成本较低的是制剂，最低总成本为元． 14．对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． (1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； (2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； (3)已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①的取值范围是;②的取值范围是 【分析】（1）先写出的1阶明珠函数，根据点的横坐标判断所属分段，代入解析式求； （2）写出的阶明珠函数，分情况讨论的取值； （3）①写出的2阶明珠函数，分别求两段在对应区间内的取值范围，再合并；②根据函数单调性，结合给定的的取值范围反推的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的1阶明珠函数为 ． 点中， 将代入，得 ． 故． （2）解：正比例函数的-1阶明珠函数为 ． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或． （3）解：一次函数的2阶明珠函数为 ． ①当时，随增大而减小， 时，；时，， ； 当时，随增大而增大， 趋近2时，趋近；时，， ； 综上，当时，的取值范围是． ②当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 此时， ∵当时，的取值范围是， ∴， 当时，随增大而增大， 趋近2时，接近；时，． 则时，， ∵当时，的取值范围是， 且时，；， ∴， 解得， 故的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一次函数的概念、图象和性质期末复习讲义 期末复习◆目标 概念辨析：精准掌握正比例函数与一次函数的定义及结构特征，理清二者从属关系。 图象绘制：熟知两类函数图象基本特征，熟练掌握两点作图法，会求直线与坐标轴交点坐标。 核心性质：深度理解系数k、b的几何意义，掌握系数对图象象限、函数增减性的影响，活用数形结合思想解题。 图象平移：熟记平移口诀与双重平移规则，规避平移易错点，快速求解平移前后的函数解析式。 核心题型◆归纳 题型1.正比例函数定义辨析 题型2.一次函数识别辨析 题型3.根据一次函数定义求参数 题型4.求一次函数自变量或函数值 题型5.列一次函数解析式并求值 题型6.正比例函数的图象、性质 题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型8.已知函数经过的象限求参数范围 题型9.一次函数图象与坐标轴交点问题 题型10.判断一次函数的增减性 题型11.根据一次函数增减性求参数 题型12.根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型13.比较一次函数值的大小 题型14.一次函数图象平移问题 题型15.一次函数图象对称问题 题型16.一次函数图象旋转问题 题型17.一次函数的规律探究问题 题型18.进阶练习14道题 重点知识◆梳理 【知识点一、一次函数基础概念】 1.正比例函数：一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例.函数。 四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)解析式不含常数项，即常数项为0；(3)比例系数k≠0；(4)等式右侧为自变量的单项式。 正比例函数图象性质： 2.一次函数：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。 四大判定条件：(1)自变量x的最高次数为1；(2)比例系数k≠0（核心限制条件）； (3)b为常数项，取值任意，可为正数、负数、0；(4)解析式为关于x的一次二项式或单项式。 3.两类函数关系:在一次函数y=kx+b中，当常数项b=0时，解析式简化为y=kx，此时一次函数转化为正比例函数。 核心结论：正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数。 【知识点二、一次函数的图象】 1.图象基本特征:正比例函数y=kx（k≠0）：图象是一条经过原点的直线； 一次函数y=kx+b（k≠0）：图象为一条直线；b≠0时图象不经过原点。 2.两点作图法:(1)正比例函数：选取定点(0,0)、(1,k)，两点连线即可； (2)一次函数：优先选取坐标轴交点y轴交点(0,b)，x轴交点（-,0） 3.系数几何意义:系数k（斜率）：决定直线倾斜方向与函数增减性；|k|越大，直线倾斜程度越陡； 系数b（截距）：决定直线与y轴的交点位置，直线与y轴固定交于点(0,b)。 【知识点三、 一次函数核心性质】 1.函数增减性（仅由k决定） （1）k>0：图象自左向右上升，y随x的增大而增大； （2）k<0：图象自左向右下降，y随x的增大而减小。 2.一次函数图象与性质如下图所示： 【知识点四、一次函数图象平移规律】 通用口诀：上加下减，左加右减；两类平移相互独立，互不干扰。 上下平移（针对常数项）：只改变直线上下位置，不改变自变量； 直线y=kx+b向上平移m个单位：y=kx+b+m； 直线y=kx+b向下平移m个单位：y=kx+b-m。 左右平移（针对自变量）：仅对x整体变形，必须加括号； 直线y=kx+b向左平移m个单位：y=k(x+m)+b； 直线y=kx+b向右平移m个单位：y=k(x-m)+b。 重点提示：图象平移只改变直线位置，不改变倾斜角度；平移过程中k值保持不变，所有平移后的直线互相平行。 题型解析◆精准备考 题型1.正比例函数定义辨析 1．下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．小明进行短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 D．铅笔每支元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 2．已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 3．已知与成正比例，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)当时，求的值． 题型2.一次函数识别辨析 1．下列四个函数中，一次函数是（     ） A． B． C． D． 2．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 3．一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 题型3.根据一次函数定义求参数 1．若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．当_____时，一次函数的图象经过原点． 3．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 题型4.求一次函数自变量或函数值 1．一次函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，在函数的图像上，则_________． 3．在直线上分别找出满足下列条件的点，并写出它们的坐标： (1)横坐标是； (2)与轴的距离是2个单位长度． 题型5.列一次函数解析式并求值 1．如图，在中，与相交于点．若是的中点，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 题型6.正比例函数的图象、性质 1．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（     ） A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大 B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为： C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大 2．已知点在正比例函数的图像上，则的值为_______． 3．已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 题型7.根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 2．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________． 3．联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 题型8.已知函数经过的象限求参数范围 1．直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____． 3．一次函数的图象位置大致如图所示，试分别确定k、b的正负号，并说出函数的性质． (1) (2) 题型9.一次函数图象与坐标轴交点问题 1．已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 2．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 3．已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 题型10.判断一次函数的增减性 1．已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．点和都在直线上，则__________（填＞或＜）． 3．如图，已知一次函数的图象经过点和点． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 题型11.根据一次函数增减性求参数 1．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 2．某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 3．在函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象，根据图象研究函数的性质，运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们探究函数（为常数）图象及部分性质． (1)【特例研究】当时，即函数的图像在图①的平面直角坐标系中已画出，图像为轴对称图形，对称轴是轴． 当时，即函数，通过列表、描点、连线，探究函数的图像和性质． … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 0 1 … ①通过上表中的数据请你在图②的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是________； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； (2)【深入探究】 ①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是_________； ②探究函数的图象与性质，当时，函数的最小值为4，求的值________． 题型12.根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 1．已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 2．若点，在一次函数的图象上，则_____．(填“”，“”或“”) 3．已知与成正比例函数关系，且当时，， (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 题型13.比较一次函数值的大小 1．如图，在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象分别记为直线和直线，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确的是（     ） A．， B．，C． D． 2．已知，是一次函数的图象上的两个点，则a与b的大小关系是________． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 题型14.一次函数图象平移问题 1．将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 2．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为______． 3．按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 题型15.一次函数图象对称问题 1．在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 2．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 题型16.一次函数图象旋转问题 1．将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是__________． 3．已知一次函数的图象经过点和，若将这个函数图象绕原点顺时针旋转，求旋转后的函数解析式． 题型17.一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象与y轴交于点 B．图象与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 2．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 3．如图是一种运算装置，输入两个实数，运算结果为实数．已知：当输入为0时，；当为确定值时，记为，结果为的正比例函数．则当均为5时，（   ） A．12 B．16 C．20 D．25 4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，以为底边在轴右侧作等腰，将点向左平移9个单位，若其对应点在直线上，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．对于一次函数，下列说法：①当时，随的增大而减小；②当时，函数图象一定交于轴的负半轴；③当时，函数图象经过原点；④函数图象一定经过点，其中正确的个数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．若一次函数的图象经过点，则的值为______． 7．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 8．若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不经过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为______． 9．如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____． 三、解答题 10．将直线进行平移，得到直线．若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值． 11．已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点； (4)当m为何值时，图象经过第二、三、四象限． 12．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 13．某农业研究所研究两种植物生长调节剂（制剂和制剂）对某种蔬菜产量的影响．制剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于抑制生长等原因，产量反而下降．制剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其产量与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：，其中为单位面积产量（单位：），为浓度（单位：）．在固定栽培条件下，改变制剂的施用浓度，测得单位面积产量数据如下： 浓度 产量 (1)通过分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①若要求单位面积产量至少为，且希望使用制剂的浓度尽可能低，则选择制剂比选择制剂可以节省________的制剂； ②若使用制剂的单位面积产量至少比使用制剂的单位面积产量多，则浓度的取值范围是_____（注：取值保留整数） (3)研究人员发现，每增加制剂，制剂和制剂的成本分别增加元和元．该蔬菜的目标产量为，若实际产量低于目标，则每短缺会造成元的损失（不足的部分按比例计算）．当制剂和制剂的浓度均为时，总成本（制剂成本与损失之和）较低的是制剂_____（填写或），其最低总成本为_____元． 14．对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． (1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； (2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； (3)已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $