2025--2026学年北师大版八年级数学下学期期末测试卷

**基本信息** 立足核心素养，融合郑州植物园花展、景区帐篷购买等现实情境与“智慧数”“邻余四边形”等创新定义，全面考察八年级下册数学知识与思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解、中心对称图形、分式性质、三角形中位线|结合图形辨析与概念辨析，考察抽象能力| |填空题|6/18|二次根式、中心对称、因式分解、平行四边形作图|设置开放题与新运算，培养创新意识| |解答题|9/72|不等式组、分式化简、几何证明、新定义应用、函数与方程|“智慧数”“邻余四边形”等新定义题考察推理能力，景区帐篷购买情境体现应用意识|

2026学年八年级数学下学期期末测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是() A.(a+3)(a-3=a2-9 B.x2+x-6=x-2(x+3 c.-1剑 D.a'b+ab2=ab(a+1) 2.下列图形中，是中心对称图形的是() A B. C. D 3.下列变形中，正确的是() 小若2=3，则号 B.若-x<3,则x<-3 C.若a>b,c>d,则a+c>b+d D.若a>b,c>d,则a-c>b-d 4.2026年郑州植物园迎春花展以“骏马迎春花满商都”为主题，紧扣生肖元素，展示马蹄莲、 蝴蝶兰、石斛兰、秋海棠等特色花卉及年宵花卉60余种.如图为展会上一种三角形花架ABC, D,E分别是AB,AC的中点，若DE=7,则BC的长为() D B A.3.5 B.7 C.14 D.21 5.下列说法错误的是() A。当=2时，分式2无虑义 B.当r>5时，分式的值为正数 x-5 C.当分式m-9 0时，m=3 m+3 D。无论x取何值，的值总为正数 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB,AC于 点M和N,再分别以M,N为圆心，大于MW的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并延 长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是() ①AD平分∠BAC; ②作图依据是SAS; ③∠ADC=60°； ④点D在AB的垂直平分线上· D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF,连接CF,AD=1,EF=4, CH-手，三角形48C的阔长为12.下列结论： D ①BH∥EF;②AD=BE;③LACB=∠DFE;④四边形ACFE的周长为14；⑤阴影部分的面积为 ,其中正确的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图，一次函数y=x+b的图象与X轴交于点(2,0)，与y=x+1的图象交于点P(1,2),则下列 说法错误的是() y=x+1 21012式34x -1 y=kx+b A.方程kx+b=0的解是x=2 B.方程kx+b=x+1的解是x=1 C.关于x,y的方程组y=x+1的解是∫x=1, y=kx+b (y=2 D.不等式kx+b<x+1的解集是x<1 {a+x2x-2 9.若整数a使关于x的不等式组 2 22的解为<2，且使关于x的分式方程 3 x-1,a+5 4-xx-4 =-4的解为正整数， 则满足条件的a的值之和为() A.12 B.11 C.10 D.9 1O.如图，在ABCD中，BE平分LABC交AD于点E,连接CE,∠BEC=90°，点M,N分别是 BE,EC的中点，连接AM,MN,DN.AN交BE于点O.延长AN交DC于点G,则下列结论中：① CE平分∠BCD:②4M1BE:③8C=24B:④4M+DN=BC;⑤0E=0N,正确的有《) 个 A D A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.若二次根式√m-4有意义，则正整数m的值可以是 ·(写出一个即可) 12.已知点Aa,-3)与点B4,b)关于原点对称，则(a+b226的值是 13.若多项式x2+mr+n可因式分解为(x-3)(x+2),则nm的值为 14.如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交边AB于点E,再分别以点 D、E为园心，以大于DE长为半径画题，两孤交于点F,莲接并延长F交边CD于点G,已 知AE=10,口ABCD的周长为48，则GC的长是 D F E B 15.对于a,b,我们定义两种运算：aab=1 6a6-2,则m小-[2m*= 16.我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.如图， 在△ABC中，∠A=45°，∠ABC=120°，BC=2√3，D是△ABC所在平面内任意一点，若四边形 ABCD是“准筝形”，则四边形ABCD的面积为 B 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.） 3(x+1)>5x-1 17.解不等式组x-12x-1，并把解集在数轴上表示出来. 2 3 -5-4-3-2-1012345→ 18。先化简，禹求值：气二+小其中y满足+=0. I9.如图，已知：△ABC是等边三角形，DB⊥BC,BE⊥AB,且AE=CD. (1)求证：BE=BD (2)判断△BDE的形状？并说明理由. 20.如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如 8=32-12,因此8是“智慧数” (1)28 “智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)说明16是一个“智慧数”； (3)设两个连续奇数为2k-1和2k+1(其中k为正整数)，说明它们构造的“智慧数”能被8整除， 21.在如图所示的平面直角坐标系中，有△ABC.点A3,3),B(1,1,C(4,2). B 0 (1)将△ABC向x轴负方向平移4个单位得到△A,B,C,画出图形并写出点A的坐标； (2)以原点0为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°后得到△A,B,C2,画出图形并写出点4的坐标； (3)△4，B,C可以看作是由△A,B,C先向右平移4个单位，然后以原点0为旋转中心，顺时针旋转 90°得到的.除此之外，△A,B,C,还可以由△A,B,C经过旋转变换得到，请在图中找出旋转中心.并 写出其旋转中心的坐标. 22.把烦恼丢进风里，把自己还给自然.随着夏季的到来，为给游客提供更好的旅游体验，某 景区计划购买A,B两种型号的帐篷.已知A型号帐篷的单价比B型号帐篷的单价多300元， 用3200元购买A型号帐篷的数量与用2000元购买B型号帐篷的数量相等. (1)求A,B两种型号帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区计划购买A,B两种型号的帐篷共30项（两种型号的帐篷均需购买），且购买A 型号帐篷的数量不超过B型号帐篷数量的2倍， ①B型号帐篷至少要买多少顶？ ②景区用于此次购买的计划资金为22000元，问此计划资金是否一定够用？ 23.定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组） 的“梦想解” 例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0,方程的解为x=2,使得不等式也成立，则称“x=2” 为方程2x-3=1和不等式x+3>0的“梦想解” (1)x=-1是方程2x+3=1和下列不等式 的“梦想解”；（填序号） ①x分：②24+4，®号<. 3x-2y=3m+2 (2)若关于x,y的二元一次方程组 和不等式组 2x-y=m-5 x-少<i有“梦想解，且m为整 x>y-5 数，求m的值， 2x+3≥2n+1 (3)若关于x的方程x-4=-3n和关于x的不等式组 x-1<4 有正整数“梦想解”，且所有正 整数“梦想解”的和为10，请直接写出n的取值范围. 24.【阅读】 三角形中位线定义：在△ABC中，若点D、E分别是AB与AC的中点，则DE是△ABC的中位线.三 角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. D D E E B D 图1 图2 图3 (1)【定理证明】 证明三角形的中位线定理的方法有多种.我们可以延长DE至F,使得DE=EF,连接CF,再 利用全等三角形、平行四边形的知识进行证明，请结合图2，完成证明 已知：在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点. 求证：0EBC,且DE-Bc. (2)【定理应用】 如图3，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E,连接DE,若 AC=I0,DE=3,求AB的长. 25.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形. (1)如图，在邻余四边形ABCD中，∠A,∠D是钝角，∠C=50°，则∠B=_ (2)如图，在△ABC中，AC=8V5,BC-8,DE垂直平分AC交AB于点E,垂足为D,BE=6, DE=2√5，F为BC上一点，求证：四边形AEFC是邻余四边形. B D (3)如图1，图2，在邻余四边形ABCD中，∠ADC,∠BCD是钝角，E为AB中点，∠DEC=90°， D E B 图1 图2 ①如图1，当CE⊥BC时，判断四边形ADCE的形状并证明你的结论. ②如图2，当AD=4,BC=6时，直接写出CD的长. 参考答案 一、选择题 1.B 解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、x2-1=x(x-安)右边中x-不是整式，不符合要求： D、ab+ab=ab(a+b),原式b+ab=ab(a+1)变形错误，不符合要求. 2.B 解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合， 所以不是中心对称图形： 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称 图形 3.C 解：A。方程-2x=3两边同除以-2得x=-,与选项中结果不符，故A错误： B.不等式-x<3两边同乘-1，不等号方向改变，得x>-3,与选项中结果不符，故B错误； C.给a>b两边同时加c可得a+c>b+c又c>d,则b+c>b+d,a+c>b+c>b+d,即a+c>b+d, 故C正确； D.举反例：若a=2,b=1,c=3,d=0,满足a>b,c>d,但a-c=-1,b-d=1,-1<1,不满足a-c>b-d ,故D错误. 4.C 解：：D,E分别是AB,AC的中点， :DE是△ABC的中位线， BC=2DE=14. 5.C 对于A:当x=2时，分母x-2=0,分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当x>5时，分母x-5>0,分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:分式m-9=0,需分子为0且分母不为0，即m2-9=0且m+3+0, m+3 ∴.m=3或m=-3,但m=-3时，m+3=0,分式无意义， ∴.只有m=3成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母x2+1≥1>0，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意. 故选：C 6.C 解：①如图所示，连接PM,PN, B D 由尺规作图可知，AM=AW,PM=PN,且AP=AP, .△APM≌aAPN(SSS, ∴.∠MAP=∠NAP, 即AD平分∠BAC, 故①正确； ②由①可得作图依据是SSS, 故②错误； ③.∠C=90°，∠B=30°， .∴.∠BAC=60°， ∠MP=Z∠NMP=iBHC=30, ∴.∠ADC=90°-∠CAD=60°， 故③正确； ④由③可得∠MAP=∠B=30°， ∴DA=DB, .点D在AB的垂直平分线上， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个. 7.c 解：由平移可知BCI‖EF,BH在BC上，因此BH EF,①正确； 平移距离相等，即AD=BE=CF=1,②正确； 平移，BC=EF=4,CH专，后对应角相等，故∠ACB=∠DFE，③正确； 四边形ACFE的周长=AC+CF+FE+E.A=AC+CF+BC+AB+BE=(AC+BC+AB)+CF+BE, :△ABC周长为12，CF=BE=1, ·周长=12+1+1=14，④正确； .BH=BC-CH=4-4-8 33’ 阴影面积=c-g=Sag-Sag=梯形8FE的面积-明+P8E-得41-号国 错误， 综上，正确的个数为4. 8.D 解：，一次函数y=x+b的图象经过点(2,0)， ∴.当x=2时，y=0, 所以方程y=c+b=0的解是x=2,则A正确； .一次函数y=x+b的图象和一次函数y=x+1的图象交于点(L,2), ∴.当x=1时，两个函数值相等， 即方程x+b=x+1的解是x=1,则B正确； 方程组 y=x+1 x=1 y=+6的解 y=2’则C正确： 不等式x+b<x+1的解集是x>1,则D错误. 9.A a+x2x-20 解： 6x-2小>2@ 3 解①得，x≤a+4 解②得，x<2 ,不等式组的解集为x<2 ∴.a+4≥22， 解得a2-2; 解分式方程品4，袋0 3 .分式方程的解为正整数，x≠4，a是整数且a≥-2 0是正整数，且094， 3 ∴.a≠-2 .∴.10-a=3或10-a=6或10-a=9 ∴.a=7或4或1 .满足条件的a的值之和为1+4+7=12. 10.B 解：，四边形ABCD是平行四边形， .ADBC,AB∥CD, ∴.∠AEB=∠CBE,LDEC=LBCE, BE平分LABC, ∴.∠ABE=LCBE, .∠AEB=∠ABE, ∴.AB=AE, AB∥CD, ∴.∠ABC+LBCD=180°， .∠BEC=90°， ∴LEBC+LECB=90°， ∴.∠ABE+∠DCE=90°， ,∠AEB+∠DEC=90°，∠AEB=∠ABE, ∴.LDCE=LDEC, .'DE =DC, AD∥BC, ∴.∠BCE=LDEC, ∴.LDCE=LBCE, ∴.CE平分LBCD,故①正确： 点M,N分别是BE,EC的中点， .MN∥BC,MN=BC, 2 MN∥AD,MN=AD, 2 .AB=AE,DE=DC,AB=CD, ∴.AB=AE=DE=DC, ∴.MN∥AE,MN=AE, ∴四边形AMNE是平行四边形， ∴.AM∥CE, BE⊥CE, AM⊥BE,故②正确； '.BC=AD=2AE AE=AB, BC=2AB,故③正确； 四边形AMNE是平行四边形， ∴.AM=EN, DE=DC,EN =CN, ∴.DN⊥CE, ..EN 2+DN2=DE2, :0E=54D=58c, 4W+DN-aC,款③错误： MN∥DE,MN=DE, ∴.四边形MNDE是平行四边形， ∴ME=DN, .四边形AMNE是平行四边形， ∴.OE=ME, 2 OE=DN,故⑤正确， 综上所述：结论正确的有①②③⑤. 二、填空题 11.5(答案不唯一) 解：：√m-4有意义， m-4≥0 解得m≥4， 又：m为正整数， .m的值可以是5. 12.1 解：：点Aa,-3)与点B(4,b)关于原点对称， .a=-4,b=3, a+b=-4+3=-1, ÷(a+b12026=（-1)2026=1. 解：由题意知，x2+mx+n=(x-3)(x+2. (x-3)(x+2)=x2-x-6, :x2+mr+n=x2-x-6. m=-1,n=-6 n-6 14.4 解：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, ∴.∠DGA=∠GAB, 由作图可知：AG平分∠DAB,AD=AE=10, ∴.∠DAG=∠GAB=∠DGA, ∴.AD=DG=10, ,平行四边形ABCD的周长为48， ∴.AD+AB=24, ∴.AB=CD=14, .∴.CG=CD-DG=14-10=4. 15.m- 2n 解：根据新定义运算：man=1 m+n *=m,测2m*刻=n m2-n2, (ma川÷[2(m*nj]=1÷2n m+n m2-n2 s、1 2n m+n（m+nj(m-n) =1.(m+n(m-) m+n 2n =m-n 2n 16.9+65或9+35或33 2 2 2 解：过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H, D H :∠ABC=120°， ∠CBH=180°-120°=60°， ∠BCH=90°-60°=30°， 在Rt△CBH中，BC=2√5， .BH=IBc-,CH-VBC-BH-2))=3, 在Rt△ACH中，∠A=45°， :AH =CH=3, AB=AH-BH =3-3,AC=AH+CH2=32+3=32, .5.we.48-cm-3 2 :四边形ABCD是“准筝形”， ·分三种情况讨论： ①若AD=CD,∠ADC=60°，如图，过点D作DE⊥AC于E, D H aACD是等边三角形，AB=4C=3V2 0=c-.0E=a0-6-aa-{2-5 2 2 So=5c+5.0-9-35,9V5_9+65 222 ②若BC=CD,∠BCD=60°，如图，连接BD,作CG⊥BD于点G,AK⊥BD于K, K H “△BCD是等边三角形， .BD-BC-23,BG-7BD-ZDRC-60, CG=VBC2-BG=25-(V5=3,∠ABD=∠ABC-∠D8C=60°， ∠BAK=90°-∠ABD=30°， 2 5w800G-253-35,m-8D4k-2x35-39-5, 2 22 5a题影acw=Sen+S0-35+9-3V5_9+3V5 2 2 ③若AD=AB=3-√，LBAD=0°，如图，连接BD,过点C作CG⊥BD,交BD延长线于点G, 过点A作AK⊥BD于K, △ABD是等边三角形， BD=AB=3-5,∠A8D=60，BK=)BD=3-5 1 2 :∠ABC=120°， ∠CBG=LABC-∠ABD=60°=LCBH, 在△CBG和△CBH中， I∠CGB=∠CHB=90° ∠CBG=∠CBH BC=BC △CBG≌△CBH(AAS), :.GC=CH=3, 在Rta4BK中，AK=VAB2-BK= -- 35-3 2一， m-04K3-列353.6店-9， 2 2 5w号BD-cG-3-5jk39-5 .S四边形ABCD=SABD+S.CBD= _65-9,9-353V5 2 22 综上，四边形4BCD的面积为9+65或9+35或35 2 2 2 三、解答题 [3(x+1>5x-1① 17.解： x-1s2x-1@ 3 解不等式①，得x<2, 解不等式②，得x2-1, 所以原不等式组的解集是-1≤x<2; 在数轴上表示为： -5-4-3-2-1012345 8:厚式品， =2x2y-÷-2+2型 (x+y)(x-y)x-y =2x(2y-),-y （x+)(x-y)x(2y-x) 2 x+y 因为(x+3+Vy-1=0, 所以x+3=0,y-1=0. 所以x=-3,y=1. 2 所以，原式+1 19.(1)解：，△ABC是等边三角形， ∴.AB=CB, ,DB⊥BC,BE⊥AB, ∴.LCBD=LABE=90° 在Rt△CBD和Rt△ABE中， AE=CD AB=CB ∴.RtoCBD≌RtAABE(HL), ∴BE=BD. (2)解：△BDE是等边三角形，理由如下： △ABC是等边三角形， .∴.∠ABC=60°， ∴∠EBD=90°-∠ABD=LABC=60°， .BE =BD △BDE是等边三角形 20.(1)解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为n,则(n+2)2-n2=28, 展开整理得4n+4=28, 解得n=6, 6不是奇数， ∴.28不是“智慧数” (2)解：，52-32=25-9=16，且3和5是两个连续奇数， ∴.16符合“智慧数”的定义， ∴.16是一个“智慧数”； (3)解：(2k+1)2-(2k-1)2 =(2k+1-2k+1(2k+1+2k-) =2×4k =8k, 8k是8的倍数， ∴.两个连续奇数为2k-1和2k+1构造的“智慧数”能被8整除. 21,(1)解：△A,B,C如图所示，点A的坐标为-1,3)： B ○ (2)解：△4，B,C如图所示，点4的坐标为(3，-3)： (3)解：连接AA,B,B2,并分别作AA,B,B2的垂直平分线，相交于点P, 所以，点P(-2,-2)就是所求的旋转中心. 22.(1)解：设B型号帐篷的单价为x元，则A型号帐篷的单价为x+300)元，依题意有： 0-200. ” 解得x=500. 经检验，x=500是原方程的解. ∴.x+300=800 故：A,B两种型号帐篷的单价分别为800元、500元. (2)解：①设B型号帐篷购买m项，则A型号帐篷购买(30-m)项，依题意有： 30-m≤2m, 解得：m≥10. 故：B型号帐篷至少要买10顶. ②设总费用为w元，则有：w=800(30-m)+500m, .w=-300m+24000. :-300<0, ∴w随m的增大而减小. 又m≥10， .当m=10时，w最大=-300×10+24000=21000<22000· 故：此计划资金一定够用， 23.(1)解：解①得：x>2,故x=-1不是①的“梦想解”， 解②得：x<-1,故x=-1不是②的“梦想解”， 解③得：x<7,故x=-1是③的“梦想解”， :x=-1是方程2x+3=1和不等式③的“梦想解”； 3x-2y=3m+2 x=-m-12 (2)解方程组 2-y=m-5，得=-3m-19' x-y=2m+7, :方程组的解是不等式组 x>y-5 x-少<的“梦想解”， 2m+7>-5 2m+7<1, 解不等式组得：-6<m<-3, :m为整数， .m=-5或-4； (3)解方程：x-4=-3n,得：x=4-3n, 2x+322n+1,得： x≥n-1 解不等式组 x-1<4 x<5, “关于x的方程x-4=-3n和关于x的不等式组 [2x+322m+1有“梦想解”， x-1<4 4-3n2n-1 4-3n<5’ 解不等式组得：-<m 3 Γ41 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1,2,3,4， :n-1≤1，解得：n≤2， 综上：-青<n≤： 24.(1)证明：延长DE至F,使EF=DE,连接CF, :E是AC的中点， :AE CE 在△ADE和△CFE中， AE=CE ∠AED=∠CEF, DE=FE .△ADE≌△CFE(SAS). AD=CF,∠ADE=∠F. AB∥CF, D是AB的中点， :AD BD :BD=CF. 又：BD∥CF, :四边形DBCF是平行四边形 :DE∥BC,DF=BC. .DE-3DF-3BC (2)解：延长CE交AB于点F. B D :AE平分∠BAC, :ZFAE ZCAE :AE⊥CE, ∠AEF=∠AEC=90°. 在△AEF和△AEC中， 「∠FAE=∠CAE AE=AE ∠AEF=∠AEC ∴△AEF≌△AEC(ASA). AF=AC=10,E是CF的中点. :D是BC的中点， DE是△BCF的中位线. .DEBF BF=2DE=2×3=6. AB=AF+BF=10+6=16. 25.(1)解：在邻余四边形ABCD中，∠A,∠D是钝角， .∴.LB+LC=90°， 又∠C=50°， .∴.∠B=40°， 故答案为：40°； (2)证明：连接CE, E D DE垂直平分AC, CE=AE,DE⊥AD,AD= AC, 又AC=85, ∴.AD=4V5, 又DE=25, .∴.CE=AE=√AD2+DE2=10, 又BC=8,BE=6, ∴.BC2+BE2=100=CE2, .∠B=90o, ∴.∠A+∠ACF=90°， ∴.四边形AEFC是邻余四边形； (3)解：①四边形ADCE是平行四边形， 理由：，在邻余四边形ABCD中，∠ADC,LBCD是钝角， ∴.∠A+∠B=90°， .LDEC=90°，CE⊥BC, ∴.∠DEC=LBCE=90°， ∴.DE∥BC, ∴.∠AED=∠B, ∴.∠A+∠AED=90°， ∴.LADE=90°， .'ZADE=ZECB ,E是AB的中点， ∴AE=BE, ∴.△ADE≌△ECB, .∴.AD=EC,∠A=LCEB, ∴AD∥EC, ∴.四边形ADCE是平行四边形； ②过A作AF∥BC交CE的延长线于F,连接DF, D B ∴∠FAE=∠B, AE=BE,∠AEF=∠BEC, .△AEF≌△BEC, ∴.AF=BC,EF=EC, 由邻余四边形知：∠DAE+∠B=90°， ∴.∠DAE+LEAF=90°，即∠DAF=90°， .AD=4,AF BC=6, .∴.DF=√AD2+AF2=23, ,DE⊥CE,EF=EC, .∴.CD=DF=213.