专题02 勾股定理（6常考2易错6压轴67题）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 以“6常考+2易错+6压轴”构建勾股定理全维度训练体系，通过分层题型实现从概念理解到综合应用的逻辑进阶，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础必考点|26题|直接计算/逆定理判定/勾股数识别/网格与坐标系距离公式|从定理直接应用到勾股数规律探究，构建“概念-计算-应用”基础链| |易错突破点|12题|折叠问题对应关系分析/逆定理多解讨论|针对折叠中线段转化、逆定理应用误区，强化空间观念与严谨思维| |压轴综合点|22题|展开法解最短路径/赵爽弦图面积转化/动态几何参数建模/新定义迁移应用|融合几何变换、代数建模与创新情境，发展推理能力与问题解决能力|

专题02 勾股定理（6常考2易错6压轴） 题型1 勾股定理直接计算（必考题） 题型8 勾股定理折叠问题（易错） 题型2 勾股定理逆定理（判定直角三角形） 题型9 勾股定理与折叠综合（必考压轴） 题型3 基础勾股数（必考） 题型10 最短路径问题（展开+勾股）（压轴） 题型4 网格中的勾股定理（常考） 题型11 “赵爽弦图” 与面积综合（压轴） 题型5平面直角坐标系中两点距离（常考） 题型12 几何证明（证线段平方关系）（压轴） 题型6 勾股定理简单实际应用（生活情境） 题型13 动态几何+勾股（动点/旋转）（压轴） 题型7 勾股定理逆定理求解（易错） 题型14 新定义问题（新考法压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 勾股定理直接计算（必考题）（共6小题） 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·广西贵港·期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．（25-26八年级上·江西·期末）如图，在中，，则正方形的面积是________； 5．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长． 题型2 勾股定理逆定理（判定直角三角形）（共4小题） 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（     ）． A．，， B．3，4，5 C．6，7，8 D．2，3，4 8．（25-26八年级下·全国·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．1，2，3 C．3，4，6 D．5，6，7 9．（24-25八年级下·青海玉树·期末）若的三边长分别为，则是___________三角形．（填“直角”或“锐角”或“钝角”） 10．（24-25八年级上·全国·期末）三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是_________三角形． 题型3 基础勾股数（必考）（共5小题） 11．（25-26八年级上·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．3，4，6 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 13．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 14．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 15．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 题型4 网格中的勾股定理（常考）（共6小题） 16．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 18．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是______． 19．（24-25八年级下·广东广州·期末）我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； (2)请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）． 21．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 题型5平面直角坐标系中两点距离（常考）（共5小题） 22．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 23．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为圆心，分别以为半径画弧交轴于点，则为（    ）    A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为_______． 26．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动，当为等腰三角形时，点的坐标为_______． 题型6 勾股定理简单实际应用（生活情境）（共4小题） 27．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 28．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 29．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 30．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 题型7 勾股定理逆定理求解（易错）（共6小题） 31．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 32．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为______平方米． 35．（25-26八年级下·全国·期末）如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 36．（23-24八年级上·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 题型8 勾股定理折叠问题（易错）（共6小题） 37．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 38．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 40．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 41．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 42．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 题型9 勾股定理与折叠综合（必考压轴）（共4小题） 43．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 44．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 45．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 46．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 题型10 最短路径问题（展开+勾股）（压轴）（共5小题） 47．（24-25八年级上·福建泉州·期末）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 48．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 49．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 50．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 51．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 题型11 “赵爽弦图” 与面积综合（压轴）（共4小题） 52．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 53．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 54．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 55．（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 题型12 几何证明（证线段平方关系）（压轴）（共3小题） 56．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 57．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结． (1)求证：． (2)求的度数． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 58．（23-24八年级上·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，． (1)若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； (2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 题型13 动态几何+勾股（动点）（压轴）（共4小题） 59．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 60．（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 61．（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知是等边三角形，点为射线上一点，连接，将绕点沿顺时针旋转至，连接交直线于点． (1)如图1，点为的中点，，当时，求的长； (2)如图2，点在线段的延长线上，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点在射线上，，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 62．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，，点D在射线上，点E在射线上，，设． (1)当时，求的度数； (2)如图1，当D在线段上时，求证：； (3)若，将点A绕着点E顺时针旋转得到，直线与直线相交于点F，当为直角三角形时，请求出CD的长． 题型14 新定义问题（新考法压轴）（共3小题） 63．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________． 问题探究 （2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 64．（24-25八年级下·江西宜春·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 65．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则．下面是部分证明过程： ∵平分，，， ∴．（依据1） 同理可得，． ∵，∴（依据2）∴ …… 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______； (2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图，在中，，点是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则=_______． 66．（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 67．（24-25八年级下·河南·期末）我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． (1)观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； (4)拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． $专题02 勾股定理（6常考2易错6压轴） 题型1 勾股定理直接计算（必考题） 题型8 勾股定理折叠问题（易错） 题型2 勾股定理逆定理（判定直角三角形） 题型9 勾股定理与折叠综合（必考压轴） 题型3 基础勾股数（必考） 题型10 最短路径问题（展开+勾股）（压轴） 题型4 网格中的勾股定理（常考） 题型11 “赵爽弦图” 与面积综合（压轴） 题型5平面直角坐标系中两点距离（常考） 题型12 几何证明（证线段平方关系）（压轴） 题型6 勾股定理简单实际应用（生活情境） 题型13 动态几何+勾股（动点/旋转）（压轴） 题型7 勾股定理逆定理求解（易错） 题型14 新定义问题（新考法压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 勾股定理直接计算（必考题）（共6小题） 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，，则点C到的距离为（   ） A． B．5 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：在中，，，， 那么 ， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西贵港·期末）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：B ． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为， ∴， 又∵三边的平方和为338， ∴， ∴，即， 解得或（舍去） ∴斜边长为13， 故选：C． 4．（25-26八年级上·江西·期末）如图，在中，，则正方形的面积是________； 【答案】20 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积， 故答案为：20． 5．（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长． 【答案】支渠的长是 【详解】解：， ． ，， ． ． ． 答：支渠的长是． 题型2 勾股定理逆定理（判定直角三角形）（共4小题） 7．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（     ）． A．，， B．3，4，5 C．6，7，8 D．2，3，4 【答案】B 【详解】解：A．，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B．，，即，能构成直角三角形，符合题意； C．，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D．，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 8．（25-26八年级下·全国·期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．1，2，3 C．3，4，6 D．5，6，7 【答案】A 【详解】解：选项A：最长边为， ，， ，可以构成直角三角形． 选项B：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 选项C：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 选项D：最长边为， ，，， 不能构成直角三角形． 9．（24-25八年级下·青海玉树·期末）若的三边长分别为，则是___________三角形．（填“直角”或“锐角”或“钝角”） 【答案】直角 【详解】解：，， ， 为直角三角形． 故答案为：直角． 10．（24-25八年级上·全国·期末）三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是_________三角形． 【答案】直角 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 题型3 基础勾股数（必考）（共5小题） 11．（25-26八年级上·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 【答案】D 【详解】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； B、∵0.6，0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； C、∵，，，∴不满足勾股数条件，故选项不符合题意； D、∵，且三个数均为正整数，∴是勾股数，故选项符合题意． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．3，4，6 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【答案】D 【详解】解：A、∵，∴13，14，15不是勾股数，该选项不符合题意； B、∵，∴3，4，6不是勾股数，该选项不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5都不是整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，该选项不符合题意； D、∵，∴6，8，10是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 13．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 14．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 【答案】13 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 15．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数． (1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________； (2)请再举一例证明猜想成立． 【详解】（1）解：当a为10，则，， 故答案为：24，26； （2）解：若最小数， 则，， ∵ ∴猜想成立． 题型4 网格中的勾股定理（常考）（共6小题） 16．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1， ∴任意两个格点间的距离可能是，，，，，，，，， ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：B． 17．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：每个小正方形的边长均为1，其中点与点之间的距离为． 故选：D． 18．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是______． 【答案】 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 19．（24-25八年级下·广东广州·期末）我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； (2)请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点M即为所求： 21．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【答案】(1)3，4，5 (2)9，16，25 (3) 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察三个数的数量关系即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：3，4，5； （2）解：由图可知， ，，， 故答案为：9，16，25； （3）解：∵， ∴的关系是， 故答案为：． 题型5平面直角坐标系中两点距离（常考）（共5小题） 22．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 23．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为圆心，分别以为半径画弧交轴于点，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 24．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 25．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为_______． 【答案】17 【详解】解：点到x轴的距离是15，到y轴的距离是， ∴点到原点的距离是． 故答案为：17． 26．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动，当为等腰三角形时，点的坐标为_______． 【答案】，， 【详解】解：解：∵点的坐标为，点的坐标为，点从原点出发，沿轴正方向运动， ∴设， ∴，，， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴点的坐标为，，， 故答案为：，， 题型6 勾股定理简单实际应用（生活情境）（共4小题） 27．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 28．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【详解】（1）解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； （2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 29．（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 30．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 题型7 勾股定理逆定理求解（易错）（共6小题） 31．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 【答案】A 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里． ， ． 这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边． 沙田的面积为（平方里）． 故选：A． 32．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 33．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 34．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为______平方米． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 35．（25-26八年级下·全国·期末）如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得，（米）， 在中，由勾股定理得，， 在中，， 是直角三角形，且， （平方米）． 36．（23-24八年级上·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：； （2）解：如图，过点A作于D， 设，则， 在中， 在中，， ∴，即， 解得：， 由勾股定理得：（m）， ∴， ∴该实验基地的面积为． 题型8 勾股定理折叠问题（易错）（共6小题） 37．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 38．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 39．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 40．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 41．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 42．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 题型9 勾股定理与折叠综合（必考压轴）（共4小题） 43．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 44．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：过点作于点， 在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， 同理可证明， ∴， ∵，，， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：，理由如下： 由翻折可得，， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理） ∴ 由（2）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 45．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： 由折叠的性质得到， ，， ， ， 故直线与直线的位置关系是垂直； （2）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， 设点的坐标为， ∴， 即， ∴， 解得：或． 即点P的坐标为或； （3）解：在第一象限内存在点Q，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点Q的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 46．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 题型10 最短路径问题（展开+勾股）（压轴）（共5小题） 47．（24-25八年级上·福建泉州·期末）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【详解】（1）解：图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线Ⅱ； 故答案为：，Ⅱ； （2）解：， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 48．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线1路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线2路程最短； （2）由题意得：，，， 当时，， 解得：， 当时，； （3）由题意得：当时，； 此时选择路线1路程最短； 当时，； 此时选择路线2路程最短． 49．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16， ∴， ∵每个直角三角形较小锐角为， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：． （2）∵小正方形的边长为c， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， ∵四个全等的直角三角形的面积为：； ∴小正方形的面积可以表示为： ， ∴； （3）不正确；理由如下： 将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图所示： 连接，在中， ， ∵ ， ∵， ∴， ∴， 即l的最小值为． 50．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 51．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5； （2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 题型11 “赵爽弦图” 与面积综合（压轴）（共4小题） 52．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【详解】[操作] 大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积又可以表示为， ， ． [应用] 是边上的高， ， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得； [拓展] 飞镖状图案的面积为24． 飞镖模型的周长为24，观察可知， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 飞镖状图案的面积． 53．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 54．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； （2）证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 55．（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【答案】（1）；（2）19；（3）；（4） 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 故答案为：19； （3）如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）． 理由：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 题型12 几何证明（证线段平方关系）（压轴）（共3小题） 56．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 57．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结． (1)求证：． (2)求的度数． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：平分，， ， ，， ， ； （2）解：连接． 点与点关于直线对称， ， ， ，， ； （3）解：，理由如下： 作，垂足为． ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 58．（23-24八年级上·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，． (1)若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； (2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 【详解】（1）ⅰ）证明：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G， ，，， ，都是等边三角形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即线段的长为． （2）解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接， 作于P， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 中，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线，， 是线段的垂直平分线， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得，， 所以线段的长为． 题型13 动态几何+勾股（动点）（压轴）（共4小题） 59．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 60．（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ． ，且， ， 是直角三角形． （2）解：平分， ． 设，则， 在中，， ， ， 即． （3）解：①． 理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ． ②如图，连接． 设，则． ， ． 由勾股定理，得， 即， ， 的长为． 61．（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知是等边三角形，点为射线上一点，连接，将绕点沿顺时针旋转至，连接交直线于点． (1)如图1，点为的中点，，当时，求的长； (2)如图2，点在线段的延长线上，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点在射线上，，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵点为的中点， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为等腰三角形时， ∴如图，当点在线段上时，过点作的平行线，延长交的平行线于，此时为等腰三角形，且， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 作于，则， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时，此时为等腰三角形，且，即此时点和点重合， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 62．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，，点D在射线上，点E在射线上，，设． (1)当时，求的度数； (2)如图1，当D在线段上时，求证：； (3)若，将点A绕着点E顺时针旋转得到，直线与直线相交于点F，当为直角三角形时，请求出CD的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，过E作于点H，交于点H，连接并延长交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点D在上时， ∵点A绕着点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 过E作于点H，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； ②当在延长线上时， 同理可得， ∴， 当时，， 设，则， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或． 题型14 新定义问题（新考法压轴）（共3小题） 63．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 问题发现 （1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”，若，，，则四边形的面积是____________． 问题探究 （2）如图②，四边形是“对称四边形”，是“对称线”，，，，，分别为线段，上的动点，求的最小值． 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，过作射线轴，交轴于点，为射线上的动点（不与点重合），，分别为线段和正半轴上的动点，连接，，点是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】(1)解：四边形是“对称四边形”，对角线，交于点，是“对称线”， ，， 在和中，， ， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形的面积是； 故答案为：； (2)解：如下图所示，过点作，交于点， 四边形是“对称四边形”，是“对称线”， ， ， 当点、、三点共线且时，最小， 即最小， ， ， 由对称可知， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为； (3)解：存在， 理由如下： 是“对称线”， ，， 点的坐标为， ， ， 四边形为“对称四边形”， ， 垂线段最短， ， ， 则点的坐标是， 是“对称线”， 点是的中点， 点的坐标是， 当点的坐标是时，的面积最小，最小值是． 64．（24-25八年级下·江西宜春·期末）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【详解】（1）解：①∵四边形等补四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：平分， 理由：如图，作于点，交的延长线于点， ∵四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：过点作于点，则， ∵，， ∴，， ∴四边形是等补四边形， 由（2）得，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 故， ∴， 故答案为：． 65．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则．下面是部分证明过程： ∵平分，，， ∴．（依据1） 同理可得，． ∵，∴（依据2）∴ …… 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______； (2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图，在中，，点是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则=_______． 【详解】（1）解：上述证明过程中的“依据1”是角平分线上的点到这个角两边的距离相等；依据2是：， 故答案为：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；； （2）解：同理可得， ∴ ； （3）①解：如图：旁心I即为所求； ②解：如图所示，作交延长线于F， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 66．（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 67．（24-25八年级下·河南·期末）我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． (1)观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； (4)拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 【详解】（1）解：根据，， 故垂直平分， 故答案为：，且平分． （2）证明：如图，连接，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，且平分． （3）解：筝形中，，，， ∴，， ∴， ∵筝形， ∴，且平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （4）解：如图，连接，过点O作于点K， ∵筝形中，，，对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设， 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． $