精品解析：江苏南通市海门区中南中学2025-2026学年第二学期五月份独立作业 八年级数学

海门区中南中学2025-2026学年第二学期五月份独立作业 八年级数学 考试时间： 120分钟 试卷分值：150分 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 在落实“小组合作学习，当堂达标检测及评价”要求中，某班四个小组设计的组徽图案如图，这四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也可以满足一组对边平行，另一组对边相等，故此选项符合题意； D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 3. 已知是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 4. 在一次田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 1 1 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数是（ ） A. 1.65 B. 1.70 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：在这15个数中，已经将数据从小到大进行排序，处于中间位置的第8个数是1.70，所以中位数是1.70． 所以这些运动员跳高成绩的中位数是1.70． 故选择：B． 【点睛】本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含的关系式，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得， ∴． 6. 已知直角三角形的两边长分别为，则这两边的中点之间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论，即均为直角边或为斜边为直角边，结合三角形中位线定理和勾股定理计算即可，三角形中位线长度等于对应第三边长度的一半． 【详解】解：∵ 题目未说明边长为和的两边是否均为直角边， ∴ 分两种情况计算： 根据三角形中位线定理，已知两边的中点连线长度等于第三边长的， 情况一：和均为直角边，由勾股定理得，第三边，即斜边，长为， ∴中点距离为； 情况二：边长为的边是斜边，边长为的边是直角边，由勾股定理得，第三边，即另一条直角边，长为， ∴中点距离为； 综上，两边中点距离为或. 7. 如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象法解不等式组即可． 【详解】解：由图象可知，过原点， ∴不等式的解集为． 8. 小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组将小伟这12场比赛的得分做了如下统计图．下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是50分 B. 比赛得分的中位数是50分 C. 比赛得分数据集中在44.25分～50分 D. 比赛得分的第三四分位数是44.25分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，理解四分位数的定义是解题的关键． 根据箱线图信息解答即可． 【详解】解：由箱线图可知， A、比赛最高得分是分，故选项A说法错误，不符合题意； B、比赛得分的中位数是分，故选项B说法错误，不符合题意； C、比赛得分数据集中在分之间，说法正确，故选项C符合题意； D、比赛得分的下四分位数是分，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，点O是中和的角平分线交点，过点O作分别交于点，已知的周长为8，，的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的角平分线和平行线的性质可得，求出的周长为与的关系式，再根据三角形的三边关系可得的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， 点O是中和的角平分线交点， ， ， ， ， ， 的周长， 的周长为8，， ， ， ， ， ， 与的函数关系式为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、三角形的角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的三边关系等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的三边关系，是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，由坐标及等腰直角三角形的判定与性质求出点，再由一次函数图象与性质得到图象过点时，有最小值，此时取到最小值，将代入函数表达式求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， 则， ，即点， ， ， 由于一次函数中可知，图象过点时，有最小值，此时取到最小值， 将代入一次函数得，， 解得． 二、填空题：（11-12题每题3分，13-16题每题4分，共22分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 点绕点顺时针旋转的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设旋转中心为点，所求旋转后的点为，通过构造直角三角形，利用旋转的性质证明三角形全等，再结合坐标关系计算得到点的坐标． 【详解】解：设旋转中心，旋转后点的对应点为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为． 由旋转的性质可知，，，因此，，可得． 在和中， 所以． 由坐标可得，，， 因此，， 可得点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 13. 已知菱形两条对角线的长分别是8和6，则它的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题主要考查对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质及勾股定理解三角形是解题的关键． 根据菱形对角线平分且垂直的性质及勾股定理求得其边长，则可求其周长． 【详解】解：如图，菱形对角线交于点，且， ， 由勾股定理得，， ∴菱形的周长， 故答案为：20． 14. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 【答案】x（x﹣12）＝864． 【解析】 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入直线解析式，消去参数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：直线经过点和． 将两点坐标代入直线解析式，得 整理第一个等式，移项得 整理第二个等式，移项得 联立得 移项，合并同类项得． 16. 如图，正方形中，为边上一点，， ①若，则_________°， ②若，则_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】①由题意，设，由邻补角求出，利用正方形性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理求出、，然后由列方程求解出即可得到答案； ②过点作直线，交于点，连接，先由正方形性质得到边及角，证明、、，进而得到，设，在中，，由勾股定理列方程求出，在中，先由勾股定理求出，再由等面积法求出即可得到答案． 【详解】解：①由，设， ， 在正方形中，，， ， ， 在等腰中，， 在等腰中，， ，解得， 则； ②过点作的垂线，交于点，连接，如图所示： 正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分，即， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， 在和中， ， ， 则，， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得， 中，，则， ， ，解得， 则． 三、解答题（共98分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由配方法解一元二次方程即可； （2）由因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则， 直接开平方得， ； 【小问2详解】 解：， ， 则， ， 即， ． 18. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“安全知识大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下： 八（1）班：93，98，89，93，95，96，93，96，98，99； 八（2）班：93，94，88，91，92，93，100，98，98，93． 整理后得到数据分析表如下： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 99 95.5 93 84 八（2）班 100 94 93 （1）填空：______，______； （2）求出表中的值； （3）你认为哪个班级成绩好？请写出两条你认为该班成绩好的理由． 【答案】（1）95，93 （2）12 （3）八（1）班成绩好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解可得； （2）利用方差的定义列式计算可得； （3）答案不唯一，可从平均数、中位数或方差的角度解答． 【小问1详解】 解：八（1）班成绩的平均数a= ×（93+98+89+93+95+96+93+96+98+99）=95（分）， 将八（2）班成绩重新排列为：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100， ∴八（2）班成绩的中位数为（分）， 故答案为：95，93； 【小问2详解】 八（2）班成绩的方差 ； 【小问3详解】 八（1）班成绩好，理由如下： ①从平均数看，八（1）班成绩的平均数高于八（2）班，所以八（1）班成绩好； ②从中位数看，八（1）班成绩的中位数为95.5分，大于八（2）班成绩的中位数， ∴八（1）班高分人数多于八（2）班， 故八（1）班成绩好． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差，一般地设n个数据，x1，x2，.…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；中位数是将一组数据按由小到大（或由大到小）排列，位于中间的一个数或中间两个数的平均数． 19. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段； （3）求点B运动到点所经过的路经的长（直接写出结果即可）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到点A关于点O的对称点； （2）依据线段绕点顺时针旋转得点B对应点，即可得出旋转后的线段； （2）依据弧长计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：将点A绕点O顺时针旋转得点， 如图所示，点即所求； 【小问2详解】 解：连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段， 由图知：， ， ， 线段即为所求； 【小问3详解】 解：在中， ， ， 点B运动到点所经过的路经的长． 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换作图，掌握旋转的性质是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入法列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 21. 在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 平分， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线性质和角平分线定义得到，再由等角对等边及已知条件判定，进而由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，最后由菱形的判定定理即可得证； （2）由菱形性质求出相关边及角度，在中，由勾股定理求出，再由平行四边形的判定与性质得出，最后在中，由勾股定理求出长度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ，且是等边三角形， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得． 22. 随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产型无人机架，4月份生产型无人机达到架． （1）求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率； （2）该公司还生产型无人机，已知生产1架型无人机的成本是元，生产1架型无人机的成本是元．现要生产两种型号的无人机共架，其中型无人机数量不超过型无人机数量的倍．公司生产两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？ 【答案】（1）该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为 （2）公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程以及不等式解答即可． （1 ）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，列出方程，求解即可； （ 2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机架，需要成本为w元，先求出a的取值范围，表示出，再利用一次函数增减性得出答案． 【小问1详解】 解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为， ， （不合题意，舍去） 答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机架，需要成本为w元，依据题意可得： ， 解得：， 那么， ∵， ∴当a的值增大时，w的值减小， ∵a为整数， ∴当时，w取最小值， 此时，， ∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小． 答：公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为． （1）的面积为，若，求的值； （2）若当时，直线上的点的纵坐标的值大于，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在平面直角坐标系中由，解方程即可； （2）由点坐标，分两种情况：和，分别求出直线的解析式，由一次函数图象与性质，列不等式讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵点坐标分别为， ， 点坐标分别为， 点到x 轴的距离为，则， ，  ， 则 或， 解得或； 【小问2详解】 解：当 时，，由得直线为，直线上的点的纵坐标的值为任意实数，不能保证大于，不合题意，舍去； 当时，直线的解析式为， ①当，即或时，在上，随的增大而增大， ∴当时，，即， 若，则、， ，解得， 从而得到不等式无解； 若，则、， ，解得， 从而得到； ②当，即时，在上，随增大而减小， ∴当时，，即， 此时，、， ，解得， 从而得到； ③当，即时，； 综上所述，①；②；③； 的取值范围为． 24. 如图，在正方形中，，点为边上一动点（不含，两点），线段绕点顺时针旋转至，连接． （1）如图1，连接，求∠的大小； （2）如图2，与关于轴对称， ①若点在对角线上时，求的长； ②连接，点在运动过程中，线段的长能否为，如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ②能， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等腰直角三角形的性质可以求出； （2）①点在对角线上时，可证为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出； ②以为原点建立坐标系，过点作轴，设，分别求出点、的坐标，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式得到关于的方程，解方程求出的值即为的长度，又因为点在线段上，根据的长度判断是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，在上取点，使， 正方形中，，， ， ， ， 由旋转可得：，， ，且 ，，共线，， ， 在和 中：， ， ， 在 中，，， ， ， ； 【小问2详解】 ①解：如下图所示， 在正方形中，，，， 在中，， 由折叠可知，，， ， 又，， 为等腰直角三角形， ， 即； ②解：能 ， 如下图所示，以为原点建立坐标系，过点作轴， 设 可得：，，，，， 由旋转可知， 四边形是正方形， ， ， 由旋转可知， ， ， 在和中，， ， ，， ，， 点的坐标为， 连接交于点，过点作轴， 由折叠可知且， 在中，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 点的坐标是， ， ， 整理得：， 当时， 可得：， 整理可得：， 解得：， 当时，． 25. 小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中材料： 一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为，．反过来，如果一元二次方程的两个根为，，那么，即．由此可得．因此，． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 （1）已知一元三次方程的三个根为1，3，4， 计算可得： ①三个根的和； ②每两个根的乘积之和； ③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，，，_______，_______，=_______．（用含a，b，c，d的代数式表示） （2）【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； （3）【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根之间的差相等，求实数a的最大值． 【答案】（1）；； （2）证明：设三个根为，则． 展开右边可得： ． 比较系数可得： ；． ∴，，． （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）设三个根为，则，然后右边进行展开，进而对比等式左右两边的系数即可求解； （3）根据（2）可进行求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知： 一般地，若一元三次方程的三个根为，，，，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可设三个根分别为， 由（2）可得： ． ∴， 代入可得：． ∵三个根为实数， ∴， ∴， ∴当时取等，即三根均为1时，差为0，仍满足“差相等”， 此时a的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海门区中南中学2025-2026学年第二学期五月份独立作业 八年级数学 考试时间： 120分钟 试卷分值：150分 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 在落实“小组合作学习，当堂达标检测及评价”要求中，某班四个小组设计的组徽图案如图，这四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 1 1 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数是（ ） A. 1.65 B. 1.70 C. 4 D. 3 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直角三角形的两边长分别为，则这两边的中点之间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 8. 小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组将小伟这12场比赛的得分做了如下统计图．下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是50分 B. 比赛得分的中位数是50分 C. 比赛得分数据集中在44.25分～50分 D. 比赛得分的第三四分位数是44.25分 9. 如图，点O是中和的角平分线交点，过点O作分别交于点，已知的周长为8，，的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 二、填空题：（11-12题每题3分，13-16题每题4分，共22分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 点绕点顺时针旋转的点的坐标是_________． 13. 已知菱形两条对角线的长分别是8和6，则它的周长是______． 14. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 15. 若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 16. 如图，正方形中，为边上一点，， ①若，则_________°， ②若，则_________． 三、解答题（共98分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“安全知识大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下： 八（1）班：93，98，89，93，95，96，93，96，98，99； 八（2）班：93，94，88，91，92，93，100，98，98，93． 整理后得到数据分析表如下： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 99 95.5 93 8.4 八（2）班 100 94 93 （1）填空：______，______； （2）求出表中的值； （3）你认为哪个班级成绩好？请写出两条你认为该班成绩好的理由． 19. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段； （3）求点B运动到点所经过的路经的长（直接写出结果即可）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 21. 在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求的长． 22. 随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产型无人机架，4月份生产型无人机达到架． （1）求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率； （2）该公司还生产型无人机，已知生产1架型无人机的成本是元，生产1架型无人机的成本是元．现要生产两种型号的无人机共架，其中型无人机数量不超过型无人机数量的倍．公司生产两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为． （1）的面积为，若，求的值； （2）若当时，直线上的点的纵坐标的值大于，求的取值范围． 24. 如图，在正方形中，，点为边上一动点（不含，两点），线段绕点顺时针旋转至，连接． （1）如图1，连接，求∠的大小； （2）如图2，与关于轴对称， ①若点在对角线上时，求的长； ②连接，点在运动过程中，线段的长能否为，如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 25. 小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中材料： 一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为，．反过来，如果一元二次方程的两个根为，，那么，即．由此可得．因此，． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 （1）已知一元三次方程的三个根为1，3，4， 计算可得： ①三个根的和； ②每两个根的乘积之和； ③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，，，_______，_______，=_______．（用含a，b，c，d的代数式表示） （2）【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； （3）【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根之间的差相等，求实数a的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $