精品解析： 江苏省南通市海门区东洲国际中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024-2025学年江苏省南通市海门区东洲国际中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，点为斜边中点，，则的长为（    ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 8. 如图函数、为常数，的图象如图，则关于的不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，直线边，并从点出发向右平移，设直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系的图象如图所示，则菱形的面积为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，为中点，点在边上，连接、，若，则的长为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共30分． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 若点与关于原点对称，则_______． 13. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是__________°． 14. 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为cm，则与之间满足的关系式是_______． 15. 已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 16. 已知点是一次函数图象上的两点，如果，那么的大小关系是____________（用＞，＜或＝填空）． 17. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，过点作轴于点，连接，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行线与间的距离． 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）将绕点E逆时针旋转得到，画出． （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　　． 22. 随着科技发展，无人机在测绘、物流等领域应用广泛，电池续航成为影响其使用的关键因素小李操控无人机进行测绘任务时，发现电池电量在前半段消耗时，无人机飞行的距离比后半段消耗电量时飞行的距离更远他记录了无人机电池剩余电量毫安时和已飞行距离千米的相关数据，函数图象如下． （1）无人机电池充满电时的电量为______毫安时； （2）求段所对应的函数关系式； （3）求这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？ 23. 为落实劳动教育评价，学校对七、八年级学生的劳动技能实践成绩进行抽样分析，从两个年级参与劳动技能考核的学生中各随机抽取名学生的成绩（满分分），并将成绩分为、、、四个等级：：分；：分；：分；：分． 七年级学生的劳动技能成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级学生等级的成绩为：，，，，，，． 两组数据的统计量如下表： 七、八年级学生的劳动技能实践成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 （1）填空： ______， ______， ______． （2）从不同角度分析，哪个年级学生的劳动技能成绩更好？请说明理由（任选两个角度即可）． （3）若七、八年级共有名学生参与劳动技能考核，估计两个年级中成绩等级为大于或等于分的学生人数． 24. 某健身房会员的健身积分由基础积分、运动次数积分和额外奖励积分三部分组成，具体规则如下： 项目 第一年积分 一年后的计算方法 基础积分 每年的增长率相同 运动次数积分 每年增加积分 额外奖励积分 固定不变 （1）设基础积分每年增长率为，用含的代数式表示第三年的基础积分． （2）某会员在该健身房锻炼了年，经统计这年的运动次数积分与额外奖励积分和刚好是这年基础积分总额的，求基础积分每年的增长率是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A、，直线经过点，其中，（m，t为常数）． （1）求点A、点的坐标； （2）若直线、、轴围成的三角形面积为，求的值． （3）对于点，若，对于满足条件的的值，的值均大于，求的取值范围． 26. 如图，四边形为菱形，，，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线交直线于点． 【尝试解决】 （1）当运动到中点时，求线段的长； 【深入探究】 （2）小明发现随着点运动，线段、的长也在变化，但始终有，请判断他的说法是否准确，并说明理由； 【拓展提升】 （3）探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南通市海门区东洲国际中学八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 下列式子中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，注意：形如（、为常数，）的函数叫一次函数，当时，函数也叫正比例函数．根据正比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，故本选项符合题意； B、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、，不是正比例函数，故本选项不符合题意； D、，y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 在中，，点为斜边中点，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，点为斜边中点，， 则， 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的根的判别式判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】整理为一般式为， ， 方程有两个不相等的实数根. 故选：A． 5. 某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 6. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，由矩形的性质可得，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，据此根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，   故选：C ． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 由旋转可得，，，即可得，故． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：． 8. 如图函数、为常数，的图象如图，则关于的不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．直接利用图象得出答案． 【详解】解：如图所示：不等式的解集为：． 故选：C． 9. 如图，菱形中，直线边，并从点出发向右平移，设直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系的图象如图所示，则菱形的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析是解决此类问题的关键， 将图1和图2结合起来分析，分别得出直线过点D, B和时对应的值和值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 【详解】解：由图2可知，当直线过点时，，菱形的高等于线段的长，此时，直线向右平移直到点过点时，， 当直线过点时，， ∴菱形的边长为， ∴当点与点重合时，由勾股定理得， ∴， ∴菱形的高为， ∴菱形的面积为． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，为中点，点在边上，连接、，若，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的平分线交于点，连接，过点作于点，则，，进而得，根据点是的中点得，证明和全等得，则，证明和全等得，，则，再依据“”判定和全等，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：如下图所示：作的平分线交于点，连接，过点作于点， ，，， ， ， 四边形是正方形，， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 设， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 二、填空题：本题共8小题，共30分． 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 若点与关于原点对称，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 13. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是__________°． 【答案】60 【解析】 【详解】本题考查了旋转性质的运用.由旋转角∠AOC=40°，∠AOD=90°，可推出∠COD的度数，再根据点C恰好在AB上，OA=OC，∠AOC=40°，计算∠A，利用内角和定理求∠B，根据对应关系可知∠D=∠B． 解：由旋转的性质可知，∠AOC=40°，而∠AOD=90°， ∴∠COD=90°-∠AOC=50° 又∵点C恰好在AB上，OA=OC，∠AOC=40°， ∴∠A==70°， 由旋转的性质可知，∠OCD=∠A=70° 在△OCD中，∠D=180°-∠OCD-∠COD=60°． 14. 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为cm，则与之间满足的关系式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解∶设解析式为 由题意得∶ 解得∶ ∴解析式为 故答案为：． 15. 已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两个一次函数的交点坐标即为两个函数所组方程组的解是解题的关键． 由图像可知一次函数和的图象的交点坐标为，然后根据交点坐标必为两函数解析式所组方程组的解即可解答． 【详解】解：∵由图像可知一次函数和的图象的交点坐标为， ∴关于的方程组的解为． 故答案为：． 16. 已知点是一次函数图象上的两点，如果，那么的大小关系是____________（用＞，＜或＝填空）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数的性质． 根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：已知一次函数， ∵， 故y随x的增大而减小，如果，则． 故答案为：． 17. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系，将所求式变形后，利用和整体代入即可求值． 【详解】解：因为，是方程的两个实数根， 所以，， 则． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，过点作轴于点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题的关键在于运用数形结合的思想求的最小值，明确两点之间线段最短这一基础知识是解题的关键， 先用勾股定理表示出，再用数形结合的思想求出的最小值． 【详解】解：由勾股定理得， ， ， 求出式的最小值即的最小值， 观察式，由勾股定理可知，式可视为点与点之间的距离， 观察式，由勾股定理可知，式可视为点与点之间的距离， 两点之间线段最短， 为了最小，应使点，点，点处在同一直线上， 如图所示，， 作点关于轴的对称点， 连接与，此时线段长度为最小值， 线段长度， 此时， 的最小值为 ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 则或， 所以． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则， 所以． 20. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行线与间的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，． 、分别是、的平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线，角平分线可得，，则，，，进而可证结论； （2）如图，过点作于点， 由四边形是菱形，可得，，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 四边形是菱形，，， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴平行线与间的距离为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行线的性质，角平分线，等角对等边，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）将绕点E逆时针旋转得到，画出． （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　　． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点D、F绕点E逆时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心，即可确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点, 如图所示，交点P即为旋转中心，根据点P在平面直角坐标系的位置可得坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换和旋转的性质及平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 22. 随着科技发展，无人机在测绘、物流等领域应用广泛，电池续航成为影响其使用的关键因素小李操控无人机进行测绘任务时，发现电池电量在前半段消耗时，无人机飞行的距离比后半段消耗电量时飞行的距离更远他记录了无人机电池剩余电量毫安时和已飞行距离千米的相关数据，函数图象如下． （1）无人机电池充满电时的电量为______毫安时； （2）求段所对应的函数关系式； （3）求这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）观察图象即可； （2）根据待定系数法计算即可； （3）根据（2）中求得的段所对应的函数关系式，当时，求出对应的值，从而求出后半部分电量行驶的距离，进而求出这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米即可． 【小问1详解】 解：无人机电池充满电时的电量为毫安时． 故答案为：． 【小问2详解】 设段所对应的函数关系式为、为常数，且， 将和分别代入， 得， 解得， 段所对应的函数关系式为． 【小问3详解】 当时，得， 解得， 则后半部分电量行驶的距离为， ． 答：这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶千米． 23. 为落实劳动教育评价，学校对七、八年级学生的劳动技能实践成绩进行抽样分析，从两个年级参与劳动技能考核的学生中各随机抽取名学生的成绩（满分分），并将成绩分为、、、四个等级：：分；：分；：分；：分． 七年级学生的劳动技能成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级学生等级的成绩为：，，，，，，． 两组数据的统计量如下表： 七、八年级学生的劳动技能实践成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 （1）填空： ______， ______， ______． （2）从不同角度分析，哪个年级学生的劳动技能成绩更好？请说明理由（任选两个角度即可）． （3）若七、八年级共有名学生参与劳动技能考核，估计两个年级中成绩等级为大于或等于分的学生人数． 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好，理由见解答 （3）人 【解析】 【分析】解：根据中位数，众数定义可得，的值；用等级的人数除以可得等级占比，然后利用减去、和部分占比可得的值； 根据平均数，众数、中位数以及方差的意义解答即可； 用总人数乘样本中等级为（大于或等于分）的学生人数所占比例即可． 【小问1详解】 七年级名学生的劳动技能成绩中，出现的次数最多，故众数； 七年级级有：（人），级有：（人）， 把八年级名学生的劳动技能成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数， 由扇形统计图性质可知，所有百分占比之和为可得： ，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 八年级等级人数为：（人）， （人）， 答：估计两个年级中成绩等级为（大于或等于分）的学生人数约为人． 【点睛】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键． 24. 某健身房会员的健身积分由基础积分、运动次数积分和额外奖励积分三部分组成，具体规则如下： 项目 第一年积分 一年后的计算方法 基础积分 每年的增长率相同 运动次数积分 每年增加积分 额外奖励积分 固定不变 （1）设基础积分每年增长率为，用含的代数式表示第三年的基础积分． （2）某会员在该健身房锻炼了年，经统计这年的运动次数积分与额外奖励积分和刚好是这年基础积分总额的，求基础积分每年的增长率是多少？ 【答案】（1） （2）基础积分每年的增长率是 【解析】 【分析】根据第一年基础积分为，每年的增长率相同，即可列出代数式； 设基础积分每年增长率为，根据基础积分、运动次数积分和额外奖励积分的具体规则，在该健身房锻炼了年，经统计这年的运动次数积分与额外奖励积分和刚好是这年基础积分总额的，列出一元二次方程，整理后，令，方程变为，再解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：第三年的基础积分为； 【小问2详解】 解：设基础积分每年增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 令，方程变为：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 答：基础积分每年的增长率是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程，并能正确的解方程是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A、，直线经过点，其中，（m，t为常数）． （1）求点A、点的坐标； （2）若直线、、轴围成的三角形面积为，求的值． （3）对于点，若，对于满足条件的的值，的值均大于，求的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，点的坐标为； （2）的值为或； （3）的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点、直线交点及函数性质在面积、取值范围问题中的应用，解题关键是通过函数表达式求交点，结合几何意义、函数单调性列方程或不等式求解． （1）在一次函数中，令可求与轴交点纵坐标，令可求与轴交点横坐标； （2）先求出直线的表达式，再求出直线与直线的交点坐标，结合三角形面积公式求解的值； （3）根据的取值范围求出的取值范围，再根据条件确定的取值范围． 【小问1详解】 解：在直线中， 令，则， 解得， 所以点A的坐标为． 令，则， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 解：已知，，由可得 ， 将其代入中， 得到， 即直线的表达式为． 联立直线：与直线：，得： ， 当时，， 将代入得 ， 所以两直线交点坐标为． 直线与轴交点，直线与轴交点为． 由直线、、轴围成的三角形面积为， 根据三角形面积公式底高， 底为，高为交点的横坐标的绝对值， 则，即． 当时，． 当时，． 【小问3详解】 解：由，当时，的值均大于． 当时，随的增大而增大， 所以当时，， 因为，所以， 解得， 当时，，不满足． 当时，随的增大而减小， 所以当时，， 因为，所以， 解得，这与矛盾，舍去． 故． 26. 如图，四边形为菱形，，，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线交直线于点． 【尝试解决】 （1）当运动到中点时，求线段的长； 【深入探究】 （2）小明发现随着点运动，线段、的长也在变化，但始终有，请判断他的说法是否准确，并说明理由； 【拓展提升】 （3）探究与的数量关系． 【答案】（1）；  （2）小明的说法正确，始终有，理由： 过点作于点，于点，如图， ，， ， 四边形的内角和为，， ， ， ． 四边形为菱形， 平分， ，， ． 在和中， ， ， ． 小明的说法正确，始终有； （3） 与的数量关系为或，理由如下： 当点在边上时， 过点作于点，于点，连接，如图， 四边形为菱形， 平分，， 在和中， ， ， ， 由（2）知：，， ，， ， ． ． 设，则，， 在中， ∴ ∴ 则． 连接，交于点，如图， 四边形为菱形， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在的延长线上时， 过点作于点，于点，连接，如图， 四边形为菱形， 平分，， 在和中， ， ， ， 由（2）知：，≌， ，， ， ． ． 设，则，，则． 连接，交于点，如图， 四边形为菱形， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在的延长线上时， 过点作于点，交的延长线于点，连接，如图， 四边形为菱形， 平分，， 在和中， ， ， ， 由（2）知：，， ，， ， ． ． 设，则，，则． 连接，交于点，如图， 四边形为菱形， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，与的数量关系为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质，等腰三角形的性质得到，则，于是，可得为的中位线，利用三角形的中位线定理解答即可； （2）过点作于点，于点，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当点在边上时，过点作于点，于点，连接，利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰三角形的性质定理得到；设，则，，可求，则，通过计算可得；当点在的延长线上时，过点作于点，于点，连接，利用的方法解答即可；当点在的延长线上时，过点作于点，交的延长线于点，连接，利用的方法解答即可． 【详解】（1）当运动到中点时， 四边形为菱形，，， ，，，，， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 为的中位线， ． （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $