精品解析：江苏省南通市第一初级中学2025-2026学年八年级下学期阶段测试 数学试卷

2025-2026学年江苏省南通市第一初级中学八年级（下）第三次月考数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 某学校食堂为了解学生的用餐满意度，从全校1800名学生中采用随机抽样的方式抽取200名学生进行问卷调查．下列叙述错误的是（ ） A. 被抽取的200名学生对食堂的满意度评分是总体的一个样本 B. 该校1800名学生对食堂的满意度评分的全体是总体 C. 该校每名学生对食堂的满意度评分是个体 D. 样本容量是200名学生 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为7 B. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 C. 标准大气压下，水加热到100℃会沸腾 D. 两直线平行，内错角相等 3. 下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 5. 根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（ ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A. B. C. D. 6. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 7. 太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（ ） A. B. C. D. 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD 从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）． 11. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 12. 从一副去掉大小王的扑克中任意抽取一张牌，则以下事件①抽到红桃；②抽到梅花5；③抽到黑色牌；④抽到4，按发生可能性从小到大排列应是_____． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 14. 长和宽分别是a，b的长方形的周长为16，面积为9，则a2b+ab2的值为_____． 15. 如果分式的值为1，则的取值范围为________ 16. 若（x，y为实数），则W的最小值为_________ ． 17. 如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 18. 如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，_________ ． 三．解答题（本大题共10小题，共74分）． 19. 分解因式 （1）； （2）． 20. 计算或解方程： （1） （2） 21. 化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 22. 利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 23. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有． ∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b． 得：______，______． （2）化简： 24. 按要求解题： （1）如图1，点E，F分别在正方形边，上，连接．求作，使点G，H分别在边，上（均不与顶点重合），且； （2）已知点P，Q，R，S的位置如图2所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，求作该正方形过点P的边所在的直线． 要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 25. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即，），点B与点M重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求E，H两点之间的距离． 26. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍． （1）求，饰品每件的进价分别为多少元？ （2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 27. 探究解题 （1）【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为 ； （2）【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； （3）【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南通市第一初级中学八年级（下）第三次月考数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 某学校食堂为了解学生的用餐满意度，从全校1800名学生中采用随机抽样的方式抽取200名学生进行问卷调查．下列叙述错误的是（ ） A. 被抽取的200名学生对食堂的满意度评分是总体的一个样本 B. 该校1800名学生对食堂的满意度评分的全体是总体 C. 该校每名学生对食堂的满意度评分是个体 D. 样本容量是200名学生 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、被抽取的200名学生对食堂的满意度评分是总体的一个样本，正确，不符合题意； B、该校1800名学生对食堂的满意度评分的全体是总体，正确，不符合题意； C、该校每名学生对食堂的满意度评分是个体，正确，不符合题意； D、样本容量是200，不是200名学生，原说法错误，符合题意 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为7 B. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 C. 标准大气压下，水加热到100℃会沸腾 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】B 【解析】 【分析】随机事件是指一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为7，是不可能事件； B、抛一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件； C、标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件； D、两直线平行，内错角相等，是必然事件. 3. 下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 4. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】、，不能与合并，故本选项错误； 、，能与合并，故本选项正确； 、，不能与合并，故本选项错误； 、，不能与合并，故本选项错误． 故选． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 5. 根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（ ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 6. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴同号， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故选：D 7. 太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 【详解】解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD 从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可． 【详解】①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； ①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； ①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形； ③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形． 故选B． 9. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 10. 如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；根据“”可证明，得到，可对①进行判断；因为，，推出，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵H不是的中点， ∴，故①错误； ∵，， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有②④，共2个． 二．填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）． 11. 神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，采用最合适的调查方式为_____．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答． 【详解】解：神舟十九号载人航天飞船发射前，调查其零部件的质量，由于事关重大，宜采用普查的调查方式． 故答案为：普查． 12. 从一副去掉大小王的扑克中任意抽取一张牌，则以下事件①抽到红桃；②抽到梅花5；③抽到黑色牌；④抽到4，按发生可能性从小到大排列应是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定去掉大小王后扑克牌的总张数，再分别计算四个事件发生的概率，最后根据概率大小从小到大排列即可. 【详解】解：一副去掉大小王的扑克牌，总共有张，共有种等可能的结果. ①抽到红桃，红桃共张，因此. ②抽到梅花，只有张，因此. ③抽到黑色牌，黑色牌包含黑桃和梅花，共张，因此. ④抽到，四个花色各张，共张，因此. 比较概率大小可得 ，即. 故事件按发生可能性从小到大排列为. 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 14. 长和宽分别是a，b的长方形的周长为16，面积为9，则a2b+ab2的值为_____． 【答案】72 【解析】 【分析】根据长方形的周长和面积公式确定代数式，然后将代数式因式分解，再将代数式整体代入即可求出原式的值． 【详解】∵长方形的长和宽分别是a，b，周长为16，面积为9， ∴a＋b＝8，ab＝9， ∴a2b+ab2＝ab·（a＋b）＝9×8＝72， 故答案为：72． 【点睛】本题考查列代数式的知识，因式分解，解题的关键是能够根据长方形的周长和面积公式确定所要求的代数式． 15. 如果分式的值为1，则的取值范围为________ 【答案】且 【解析】 【详解】解：如果分式的值为1，那么分式的分母，即， 因为分式的值为1，即， 所以， 那么， 解得， 所以的取值范围为且 16. 若（x，y为实数），则W的最小值为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过分组对多项式进行配方，利用平方的非负性即可求出的最小值. 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴W的最小值为. 17. 如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 【答案】2 【解析】 【分析】以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，根据矩形的性质，推出四边形的面积等于矩形的面积即可得出结果. 【详解】解：以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，如图， 由题意，可知，四边形均为矩形， ∴， ∵为矩形的对角线， ∴， 同理：，， ∴， 即四边形的面积. 18. 如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，_________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，可知两点重合，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：当边与的边所在直线重合时，如图，此时两点重合， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ∴． 三．解答题（本大题共10小题，共74分）． 19. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及分式方程的解法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和分式方程的求解步骤． （1）根据二次根式的运算法则和绝对值的性质分别计算各项，再进行加减运算． （2）先通过去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后再检验． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：方程两边同乘得： 解得， 经检验是原方程的增根， 故方程无解． 21. 化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 【答案】解：不能为0，理由如下： 原式 ． 判断：原式不能等于0． 理由：当时， 此时，分母为零分式无意义． 所以此代数式的值不能为0． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式的运算法则进行化简，同时牢记分式有意义的条件（分母不为0）． 化简括号内分式，得；除法变乘法并因式分解，约分后得；假设值为0求x，结合分式有意义条件是分母不能为零，因此判断原式的计算结果不可为0． 【详解】略 22. 利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明． 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【答案】 已知：如图，中，． 求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴平分． ， 垂直平分． ． 是菱形． 【解析】 【分析】按题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再利用平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质及菱形的判定即可证明． 【详解】略 23. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有． ∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b． 得：______，______． （2）化简： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得,后分母有理化即可. 本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键. 【小问1详解】 ∵， ∴，， 故答案为：，. 【小问2详解】 ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ . 24. 按要求解题： （1）如图1，点E，F分别在正方形边，上，连接．求作，使点G，H分别在边，上（均不与顶点重合），且； （2）已知点P，Q，R，S的位置如图2所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，求作该正方形过点P的边所在的直线． 要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）如图，连接，过点P作，取，连接，作，则为正方形点P的边所在的直线，过点Q作的垂线，过点S作的垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形； 【解析】 【分析】（1）分别以点E，F为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点G，交于点H，点G，H即为所求； （2）如图，连接，过点P作，取，连接，作，则为正方形点P的边所在的直线，过点Q作的垂线，过点S作的垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，分别过点M、L作，的交点为O， 由尺规作图可知：， ∴， 则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 25. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即，），点B与点M重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求E，H两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 26. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍． （1）求，饰品每件的进价分别为多少元？ （2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【答案】（1）种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元 （2）①且为整数；②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 【解析】 【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可； （2）①依据题意列出不等式即可； ②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到利润的最大值． 【小问1详解】 解：设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元． 由题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元． 【小问2详解】 解：①根据题意得：， 解得：且为整数； ②设采购种饰品件时的总利润为元． 当时，， 即， ， 随的增大而减小． 当时，有最大值3480． 当时， 整理得：， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值3630． ， 的最大值为3630，此时． 即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 27. 探究解题 （1）【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为 ； （2）【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； （3）【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 【答案】（1）6 （2）证明：如图②，连接交于点H， 由题意得， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分，即点H是的中点； ∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴． （3）线段的长度为或 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； （2）连接交于点H，由折叠的性质及点O是边的中点，得，从而可证明，有，则得垂直平分，由三角形中位线的性质即可证明； （3）分两种情况：当点F落在的垂直平分线上时，则易得四边形是矩形，则；当点F落在的垂直平分线上时，过O作于点H，则可得，都是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：在矩形中，点O是边的中点，， ∴； ∵将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，且旋转角的大小为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点F落在的垂直平分线上时，如图③， ∵点O是边的中点， ∴， ∴； 由旋转知， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当点F落在的垂直平分线上时，过O作于点H，如图④， 则P，Q分别是，的中点， ∴； 同理可得：四边形是矩形， ∴； ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 即， ∴是等腰直角三角形，且； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得． 综上，线段的长度为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论，所涉及的知识点较多，灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $