25.3 第1课时 几何面积问题与一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“几何面积问题与一元二次方程”，通过回顾“应用方程解实际问题的步骤”导入，以审题找等量关系、设未知数等环节为支架，衔接旧知与新知，引导学生构建解决实际问题的思维流程。 其亮点在于以问题驱动探究，通过连续正整数直角三角形、矩形围绳等实例，培养数学眼光（抽象几何等量关系）和数学思维（如道路问题用面积差与平移转化两种方法推理），课后小结系统梳理勾股定理、图形转化等类型，助学生提升应用意识，教师可借助丰富实例高效开展教学。

人教版九年级（上） 25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 几何面积问题与一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 1 问题： 应用方程解实际问题的步骤是什么？ 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 找等量关系 导入新课 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数. 由勾股定理，得 x²＋(x＋1)²＝(x＋2)². 解方程，得 x1 = 3，x2 = －1 (不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 知识点1：几何图形与一元二次方程 探究新知 例2 用一根长为 40 m 的细绳能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 96 m² 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为96 m²，得 x(20－x)＝96. 解方程，得 x1 = 12，x2 = 8. 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m² 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 【练一练】1. 现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，做成一个底面积为 1500 cm² 的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为 x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80－2x) cm，宽是 (60－2x) cm， 由题意，得 (80－2x)(60－2x)＝1500， 解得 x1＝55，x2＝15. 又 60－2x＞0，∴x＝55(舍). ∴小正方形的边长为 15 cm. 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他列法吗？ 方法一： 典例精析 20 32 x x 解：设道路的宽为 x m. 则 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1= 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 方法二： 解决有关图形面积问题： (注：这里的横坚斜小路的的出入口宽度都相等) 平移转化 总结 方法总结 1.改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长 (AD)16 m，宽 (AB)9 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的总面积为 112 m2，则小路的宽应为多少？ A B D C 解：设小路的宽应为 x m. 根据题意得：(16 - 2x)(9 - x) = 12， 解得：x1 = 1，x2 = 16 (舍去). 答：小路的宽应 1 m. x x 链接中考 图形、面积问题 几何图形中的面积问题：面积公式 (不规则图形采用平移或割补进行转化) 直角三角形中的边长问题：勾股定理 课后小结 1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0 C．x2 - 130x - 1400 = 0 D．x2 - 65x - 350 = 0 80 cm x x x x 50 cm B 当堂练习 2.(黄冈月考)某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场.鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个 2 米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为 30 米. (1) 若墙长为 18 米，要围成的鸡场面积是 120 平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2) 围成的鸡场面积能达到 180 平方米吗?说明理由. 等量关系： 鸡场墙长×鸡场墙宽 = 鸡场面积 2 x x 解：(1)设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为 (30 + 2 - 2x) 米. 依题意得： x(30 + 2 - 2x) = 120 ， 整理得： x2 - 16x + 60 = 0 ， 解得： x1 = 10 ，x2 = 16. 当 x = 10 时，30 + 2 - 2x = 12 ＜18，符合题意， 当 x = 16 时，30 + 2 - 2x = 20 ＞18，不符合题意，舍去. 答：鸡场长为 12 米，宽为 10 米. (2) 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米，理由如下： 2 y y 设垂直于墙的边长为 y 米，则平行于墙的边长为 (30 + 2 - 2y) 米. 依题意得： y(30 + 2 - 2y) = 180 ， 整理得： y2 - 16y + 90 = 0 ， ∵Δ = -104 ＜ 0， ∴ 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米. 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？ 等量关系： 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm， CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm². 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm². 则有 整理，得 $