精品解析：2026年山东省菏泽市东明县九年级中考二模数学试题

东明县二〇二六年初中学业水平模拟试题（二） 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求，请把正确的序号涂在答题卡的相应位置． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. |－2| D. 3 2. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在如下列放置的几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 买1张这种彩票，不可能中奖 B. 买200张这种彩票，可能有2张中奖 C. 买100张这种彩票，一定有1张中奖 D. 若100人每人买1 张这种彩票，一定会有1 人中奖 7. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（ ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． A. 7.5 B. 7 C. 6.5 D. 6 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 11. 把因式分解的结果是______． 12. 我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为______． 13. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14. 如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为125，则第2025次输出的结果是___________． 15. 如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 三、简答题：本题共8小题，共75分，把解答、演算步骤或证明过程写在答题卡的相应区域内． 16. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 17. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 18. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 19. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有2400名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 20. 如图，是的直径，点C是上异于的点，连接，点D在的延长线上，平分，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若求的长． 21. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 22. 在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． （1）若抛物线经过点，，求，的值； （2）已知，若，有最大值，求的值． 23. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东明县二〇二六年初中学业水平模拟试题（二） 数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求，请把正确的序号涂在答题卡的相应位置． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. |－2| D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据相反数和绝对值的性质化简，然后进行比较大小，即可求解． 【详解】解：∵ ， ， 且 ， ∴最大的数为 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 2. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 3. 在如下列放置的几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断． 【详解】解：A、主视图和左视图都是等腰梯形，故本选项错误，不符合题意； B、主视图是一行两个矩形，左视图是一个矩形，故本选项正确，符合题意； C、主视图和左视图都是正方形，故本选项错误，不符合题意； D、主视图和左视图都是等腰三角形，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查常见几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键 ． 4. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，可得答案． 【详解】A. 故错误. B. ,正确. C. ，故错误. D. 故错误. 故选B. 【点睛】考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，掌握它们的运算法则是解题的关键. 6. 已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 买1张这种彩票，不可能中奖 B. 买200张这种彩票，可能有2张中奖 C. 买100张这种彩票，一定有1张中奖 D. 若100人每人买1 张这种彩票，一定会有1 人中奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，游戏公平性，掌握概率的意义是解题的关键． 根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，据此分析即可． 【详解】解：A、买1张这种彩票，也可能中奖，故此选项不符合题意； B、买200张这种彩票，可能有2张中奖，可能会发生，故此选项符合题意； C、买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故此选项不符合题意； D、100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 8. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高cm，底面直径cm，球的最高点到瓶底面的距离为cm，则球的半径为（ ）cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． A. 7.5 B. 7 C. 6.5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可. 【详解】如下图所示，设球的半径为rcm， 则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm， ∵EG过圆心，且垂直于AD， ∴G为AD的中点， 则AG=0.5AD=0.5×12=6cm， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解方程得r=7.5， 则球的半径为7.5cm． 故选择：A 【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键． 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 10. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象判断出，由对称轴判断出，即可判断①②；由图象得当时，有，即可判断③；再利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断④⑤． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点的横坐标，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内． 11. 把因式分解的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 12. 我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点的位置，写出点的坐标．解题关键是熟练掌握根据已知点的坐标，找出坐标原点． 【详解】解：如图所示，根据点，，建立坐标系，如图所示： ∴点坐标为：， 故答案为：． 13. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据一元二次方程的解和根与系数之间的关系，得到，，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：1． 14. 如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入的值为125，则第2025次输出的结果是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，根据流程图，依次输入数值，进行计算，找到规律，即可得出结果． 【详解】解：第一次输入：； 第二次输入：； 第三次输入：； 第四次输入：； 第五次输入：； 第六次输入：； 由上可知，从第二次开始，输出结果以5，1进行循环，奇数次结果为1，偶数次结果为5， ∴第2025次输出的结果是1； 故答案为：1． 15. 如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、简答题：本题共8小题，共75分，把解答、演算步骤或证明过程写在答题卡的相应区域内． 16. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1） （2），时，原式 【解析】 【分析】（）先依据立方根、零次幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的对应运算法则，逐项化简原式每一项，再去括号合并同类二次根式与常数，最后算出最终数值； （）第一步先对括号内分式通分相加、因式分解分式分母，约分化简代数式；第二步根据分式分母不能为确定字母的取值限制，结合方程筛选出符合条件的值；第三步把合格的代入化简后的式子完成求值． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原式 ； ∵要使原分式有意义， ∴须满足，且， 解得，且， 又∵， 解得或， ∴的取值为． ∴原式． 17. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 18. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元． 【解析】 【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可； （2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得． 【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则： 解得： 经检验：是分式方程的解 答：第一批饮料进货单价为8元． （2）设销售单价为元，则： ， 化简得：， 解得：， 答：销售单价至少为11元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键． 19. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有2400名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【答案】（1）100； （2）补充图形见解析 （3）600人 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数． （2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图． （3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计2400名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案； （4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率 【小问1详解】 喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为， ∴此次共抽查了：人， 喜欢用沟通所占比例为：， 表示“”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：100；； 【小问2详解】 喜欢用短信的人数为：人， 喜欢用微信的人数为：人， 补充图形，如图所示： 【小问3详解】 喜欢用微信沟通所占百分比为：， ∴该校共有2400名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：人 【小问4详解】 列出树状图，如图所示： 所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： 20. 如图，是的直径，点C是上异于的点，连接，点D在的延长线上，平分，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、弧长公式，熟练掌握圆的切线的判定定理和弧长公式是解题关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）由（1）可得是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明∶连接，如图 ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 ， 是等边三角形， ， ， 的长是． 21. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，． 任务1 求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 求的长．（结果精确到） 参考数据 【答案】任务1：6.6米；任务2：3.8米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可； 任务2：在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长． 【详解】任务1：过点作于点，过点作于点，过点作于， 四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 答：机械臂端点到工作台的距离的长约为6.6米. 任务2：在中，由勾股定理可知： ， 在中， ， ， ． 答：的长约为3.8米. 22. 在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． （1）若抛物线经过点，，求，的值； （2）已知，若，有最大值，求的值． 【答案】（1）的值分别为 （2）或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 23. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $