精品解析：2026年山东省淄博市淄川区中考二模数学试题

初四数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 2. 数轴上，点A所表示的数为，点B与点A距离4个单位长度，则点B所表示的数为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或6 3. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果单项式与是同类项，那么关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 7. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A. 4 B. 10 C. D. 8. 每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．某校在今年国际数学节策划了“折纸几何”“拓扑学魔术”和“分形艺术创作”三项动手实践活动．若小明和小亮每人随机选择参加其中一项活动，则他们恰好都选到“拓扑学魔术”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，是的中点，是的中点，点在上（不与点重合），且，连接并延长交于点，连接，．有下列结论：①；②；③；④若，，则．其中结论正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 2026年春节9天假期，淄博紧扣“暖心惠民、乐享新春”主线，靠“政策场景文化”组合拳拉满消费热度，人气、销量双爆棚！据市商务局权威监测，52家重点样本企业狂揽亿元，见证了淄博新春消费的“烟火爆发力”．将数据亿用科学记数法表示为______． 12. 如图为一根弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与保持平行，则弯折后形成的________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，若点的坐标为，则代数式的值为_____． 14. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为_____________． 15. 如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 利用课本上的计算器计算的值，按键顺序如下： 若是其显示结果的算术平方根，先化简，再求值． 17. 已知：在中，对角线的垂直平分线分别与边，和对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形．（自己画图并完成证明） 18. 如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 19. 2025年1月，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》，为认真贯彻落实该《纲要》精神，某地组织全体基础教育教师进行了学习和测试，学习测试成绩按6分，7分，8分，9分，10分分别记入继续教育学习总分，总分9分及以上为优秀．培训组织者随机在小学、初中、高中每组抽取20人进行了成绩整理，绘制了统计图表，部分信息如下： 数据分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 小学组 8.8 9 10 初中组 9 10 高中组 8.65 10 请根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全小学组得分条形统计图； （2）高中组得分扇形统计图中，“6分”这一项所对应的圆心角度数为___度； （3）填空：____，____； （4）根据数据分析结果，你能做什么推断？写出一条即可． 20. 绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 21. 项目化学习 项目主题 如何测量通讯塔的高度 项目内容 利用三角函数有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 如图，学习小组在地面处操控位于他们正前方处的无人机在竖直方向上飞行，．当无人机飞行至处时，在处测得处的仰角为；当无人机继续沿着竖直方向上升到处时，在处测得处的仰角为． 参考数据 ， 任务解决： （1）任务1：求无人机从处到处上升的高度 （2）任务2：求通讯塔的高度．（结果取整数） 22. 【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． （1）【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； （2）【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； （3）【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 23. 如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图①，是第四象限内抛物线上一点，且位于对称轴右侧，连接，相交于点，当时，求点的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，交轴于点，过点的直线分别与线段，交于点，，过点作轴交于点．当直线绕点旋转时，为定值，求这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 2. 数轴上，点A所表示的数为，点B与点A距离4个单位长度，则点B所表示的数为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离 的求法． 点B与点A距离4个单位长度，可能在点A的左侧或右侧，因此需考虑两种情况． 【详解】∵点A表示的数为，点B与点A距离4个单位长度， ∴点B可能在点A右侧或左侧， 当点B在点A右侧时，点B表示的数为； 当点B在点A左侧时，点B表示的数为， ∴点B所表示的数为2或， 故选：C． 3. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以不是轴对称图形； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，完全平方公式，同底数幂相除，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘运算法则计算并判断A；根据完全平方公式计算并判断B；根据同底数幂相除运算法则计算并判断C；根据合并同类项法则计算并判断D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如果单项式与是同类项，那么关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解一元一次方程，一元一次方程解的定义，所含字母相同，相同字母指数也相同的单项式叫做同类项，据此得到，则，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴方程即为， 解得， 故选：C． 6. 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论，根据一元二次方程和一元一次方程的定义，以及根的判别式解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程有实数根 当时，该方程为一元二次方程， 判别式， 解得：， ， ， 当方程为一元二次方程时，m的取值范围是且； 当时，该方程可化为为， ， 解得， 此时， 当时，方程为一元一次方程，此时方程也有实数根， 综上所述，m的取值范围是． 7. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， ，四边形与四边形相似， ， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 故选：B． 8. 每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．某校在今年国际数学节策划了“折纸几何”“拓扑学魔术”和“分形艺术创作”三项动手实践活动．若小明和小亮每人随机选择参加其中一项活动，则他们恰好都选到“拓扑学魔术”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列表法得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记“折纸几何”为A，“拓扑学魔术”为B，“分形艺术创作”为C 列表可得： 小明 小亮 A B C A B C 共有种等可能的结果，其中他们恰好都选到活动“拓扑学魔术”的情况有种， 故他们恰好都选到活动“拓扑学魔术”的概率为． 9. 如图，在矩形中，是的中点，是的中点，点在上（不与点重合），且，连接并延长交于点，连接，．有下列结论：①；②；③；④若，，则．其中结论正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点E，根据题意无法证明，即可得到①错误；求出，利用同角的余角相等即可判断②正确；证明四边形是平行四边形，得到，推出垂直平分，证明，得到，，然后证明，得到，求出，即可判断③正确；利用全等三角形的性质得到，，求出，即可判断④正确． 【详解】解：设与交于点E， 根据题意无法证明，故①错误； ∵四边形是矩形， ∴ ∵是的中点，， ∴ ∴点A，P，B在以点O为圆心的圆上，且是直径 ∴ ∴ ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴垂直平分 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即，故③正确； ∵，，， ∴， ∴， 综上所述，正确的个数为3． 10. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 2026年春节9天假期，淄博紧扣“暖心惠民、乐享新春”主线，靠“政策场景文化”组合拳拉满消费热度，人气、销量双爆棚！据市商务局权威监测，52家重点样本企业狂揽亿元，见证了淄博新春消费的“烟火爆发力”．将数据亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将 亿转化为整数，再根据科学记数法的定义进行表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数 【详解】解：亿 12. 如图为一根弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与保持平行，则弯折后形成的________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当点D在点C的左侧时，当点D在点C的右侧时，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：当点D在点C的左侧时，如图所示： ， ； 当点D在点C的右侧时，如图所示： ， ， 综上，弯折后形成的或． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，若点的坐标为，则代数式的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得，然后再整理可得答案． 【详解】解：由作图知点P位于第二象限角平分线上， 则， 则， 则． 14. 如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等边三角形的判定可得是等边三角形，然后过D点作于点E，根据勾股定理求出DE长，再根据解答即可． 【详解】解：如图，连接，，，， 由翻折可知，， ∴四边形是菱形，， ∴是等边三角形， 过D点作于点E， 则，， ． 故答案为：． 15. 如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，推出点F的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点F与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点F在以O为圆心，为半径的劣弧上运动，连接，交于N，当点F与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 利用课本上的计算器计算的值，按键顺序如下： 若是其显示结果的算术平方根，先化简，再求值． 【答案】化简为，值为1 【解析】 【分析】先利用分式的性质和运算法则对分式化简，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式； ∴， 原式=． 17. 已知：在中，对角线的垂直平分线分别与边，和对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形．（自己画图并完成证明） 【答案】证明：如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和 中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后根据平行四边形的性质得出，确定，，再由垂直平分线的性质得出，，结合全等三角形的判定和性质得出，，再由菱形的判定证明即可． 【详解】略 18. 如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移问题． （1）将点代入正比例函数中求出坐标，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）由题意得到直线的表达式，再联立直线的表达式和反比例函数的表达式，求出点C的横坐标，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：将点代入正比例函数中， 得，解得． ． 将点代入反比例函数中， ． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意知，直线的表达式为，． 联立直线的表达式和反比例函数的表达式， 得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 点C的横坐标为． ． 19. 2025年1月，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》，为认真贯彻落实该《纲要》精神，某地组织全体基础教育教师进行了学习和测试，学习测试成绩按6分，7分，8分，9分，10分分别记入继续教育学习总分，总分9分及以上为优秀．培训组织者随机在小学、初中、高中每组抽取20人进行了成绩整理，绘制了统计图表，部分信息如下： 数据分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 小学组 8.8 9 10 初中组 9 10 高中组 8.65 10 请根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全小学组得分条形统计图； （2）高中组得分扇形统计图中，“6分”这一项所对应的圆心角度数为___度； （3）填空：____，____； （4）根据数据分析结果，你能做什么推断？写出一条即可． 【答案】（1） （2）18 （3）8.8，8.5 （4）小学组和初中组的平均数、众数、中位数都相同 【解析】 【分析】（1）算出“6分”的人数，即可补全图形； （2）根据高中组得分 “6分”的占比，即可求解； （3）根据平均数以及中位数的定义即可求解； （4）根据题意即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，9分的人数为：（人）， 则得： 【小问2详解】 高中组得分 “6分”的占比为：， 则对应扇形统计图的圆心角度数为：， 则高中组得分 “6分”的圆心角度数为18度； 【小问3详解】 解：初中组的平均数为：， 高中组得分 “6分”人数为：（人）， 高中组得分 “7分”人数为：（人）， 高中组得分 “8分”人数为：（人）， 高中组得分 “9分”人数为：（人）， 高中组得分 “10分”人数为：（人）， 则高中组得分情况为：6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10， 则高中组的中位数为：； 【小问4详解】 解：小学组和初中组的平均数、众数、中位数都相同． 20. 绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】问题一：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克； 问题二：（1）；（2）最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克，列二元一次方程组求解即可； 问题二：（1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出w与a的函数关系式即可； （2）根据“采购杨树不超过30棵”列出不等式求出a的范围，根据一次函数的性质可知w随a的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二： （1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意，得， 与a的函数关系式为； （2）解：， 随a的增大而增大， ， 当时，w的值最大， （棵） ∴购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大， 即最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉． 21. 项目化学习 项目主题 如何测量通讯塔的高度 项目内容 利用三角函数有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 如图，学习小组在地面处操控位于他们正前方处的无人机在竖直方向上飞行，．当无人机飞行至处时，在处测得处的仰角为；当无人机继续沿着竖直方向上升到处时，在处测得处的仰角为． 参考数据 ， 任务解决： （1）任务1：求无人机从处到处上升的高度 （2）任务2：求通讯塔的高度．（结果取整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别解和,分别求出和的长，进而即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据在和中，即可构造方程求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴． 在中，，， ∴， ∴，． 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形，四边形都是矩形． ∴，，． 设． 在中，， ∴． 在中，， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴． ∴． 答：通讯塔的高度约为． 22. 【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． （1）【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； （2）【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； （3）【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3）3或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，分类讨论等，掌握性质和判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）的数量关系不成立，位置关系成立，证明即可； （3）分两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的数量关系不成立，位置关系成立． 理由：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵在中，， ∴， ①当时，如图， ∵, ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 23. 如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图①，是第四象限内抛物线上一点，且位于对称轴右侧，连接，相交于点，当时，求点的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，交轴于点，过点的直线分别与线段，交于点，，过点作轴交于点．当直线绕点旋转时，为定值，求这个定值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再将点、代入函数解析式中，即可求解； （2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，证明，则，设，则，求出，根据 ，建立方程求出的值即可求点坐标； （3）过点作轴交于点，则，证明，，得到，求出直线的表达式，得到点的坐标，证明，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ． ∴． ． 将点，代入，得 ，解得， ∴该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，由抛物线的对称性，得． ∵， ∴设直线的表达式为， 将点代入，得 ，解得． ∴直线的表达式为． 如图①，过点作轴交于点，过点作轴交于点，则． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则． ∴． 在中，当时，， ∴． ∴，解得（舍去）或． ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图②，过点作轴交于点，则， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴． 设直线的表达式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为． 在中，当时，， ∴． ∴． ∴． ∵轴， ∴． ∴，即， ∴． ∴， ∴这个定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $