综合检测题（第6章至第10章）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦高一数学必修第二册第6-10章核心内容，以代数、几何、统计概率三大模块整合知识，通过综合题型考查数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|单选1/5/15题|复数运算、向量关系与投影|从概念辨析到数量积应用，构建代数运算体系| |几何|单选4/6/8/19题、填空12/14题|线面平行垂直、空间角、斜二测画法|以立体几何判定定理为纲，结合解三角形综合应用| |统计概率|单选2/3/9题、填空13题、解答17题|分层抽样、独立事件、频率直方图|从数据处理到概率计算，体现统计与概率的实际应用逻辑|

综合检测题（第6章至第10章） 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，则（    ）    A．老年旅客抽到150人 B．中年旅客抽到20人 C． D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200 3．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．已知向量，，下列叙述错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，且，，则边（    ） A． B． C． D． 8．在四面体中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为 A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 10．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（   ） A． B．平面平面 C．直线BC与平面相交 D．直线与平面所成的角为 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的三角形有2个 D．若△ABC的面积，则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为___________． 13．已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则__________． 14．已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为__________． 四、解答题 15．（13分）已知.求： (1)与的夹角； (2)； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围. 16．（15分）在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，点为的中点． (1)求证：； (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积． 17．（15分）学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 18．（17分）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 19．（17分）如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测题（第6章至第10章） 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册--原卷 一、单选题 1．若复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 所以的虚部为． 故选：D． 2．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，则（    ）    A．老年旅客抽到150人 B．中年旅客抽到20人 C． D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200 【答案】C 【解析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人， 所以，解得人. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了分层抽样的概念及计算方法，其中解答中熟记分层抽样的计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 3．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘积公式计算，再结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】一个细胞的谱系经过两轮演化后仍存活的概率为， 因此两个细胞经过两轮演化后还有细胞存活的概率是． 4．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】由线在面内时的反例可排除ABC，由面面垂直的性质作辅助线可证明D正确. 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，当时，不成立，故C错误； D选项，设，； 在内过上一点P作直线， 又因为，且， 则，又因为，所以； 再作直线，同理可得； 由于与相交于，，故D正确； 故选：D 5．已知向量，，下列叙述错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】D 【分析】根据向量数乘及减法运算的坐标表示判断A；根据向量垂直的坐标表示判断B；根据向量平行的坐标表示判断C；根据投影向量的计算公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，A正确. 对于B：， 若，则，即， 整理得，解得，B正确. 对于C：若，则，即，解得，C正确. 对于D：若，则， 则在上的投影向量为，D错误. 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 7．在中，角的对边分别为，且，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可得，利用正余弦定理角化边，结合已知等式可构造方程求得. 【详解】，， ， 由正、余弦定理得：，即， 又，，即，解得：（舍）或. 故选：B. 8．在四面体中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把四面体补成一个长，宽，高分别为，，1的长方体，取的中点，连接，，运用条件可得是等腰直角三角形，然后可得出答案. 【详解】如图，把四面体补成一个长，宽，高分别为，，1的长方体， 取的中点，连接，. 因为，分别是，的中点，所以，， 同理，. 因为，所以， 所以是等腰直角三角形，则， 即异面直线与所成的角为. 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力，属于基础题. 二、多选题 9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】由古典概率公式求出，再由互斥事件和独立事件的性质判断即可； 【详解】由题意可得， 对A，，故A正确； 对B，事件A与事件C可以同时发生，故B错误； 对C，，， 所以事件A与C相互独立，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：ACD. 10．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（   ） A． B．平面平面 C．直线BC与平面相交 D．直线与平面所成的角为 【答案】CD 【分析】利用线面垂直判定性质来判定A； 过点A作垂直于，垂足为M，连接，借助余弦定理求出，得到与不垂直，来判定B； 运用与直线相交，判定C；找出线面角，求出大小来判定D. 【详解】对于选项A，若，已知平面，平面 ，. 又因为，且平面，所以平面. 又平面，可知，这与已知条件矛盾，所以选项A错误. 判断选项B， 过点作垂直于，垂足为M，连接，在中，设，因为，根据勾股定理可得. 可得，即，解得. 再根据勾股定理可得. 已知，，同理可得. 在中，根据余弦定理，可求出. 在中，根据余弦定理，可求出. 在中，根据余弦定理，可求出，所以，即与不垂直，选项B错误. 对于选项C，因为在棱锥的底面内，直线与直线相交，所以与平面相交，选项C正确. 对于选项D，因为平面ABC，所以就是直线与平面所成的角. 在中，，因为，所以，即直线与平面所成的角为，选项D正确. 故选：CD. 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为等腰三角形 C．若，，，则符合条件的三角形有2个 D．若△ABC的面积，则 【答案】ACD 【分析】对于A：利用正弦定理直接判断；对于B：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C：由即可判断；对于D：由条件及余弦定理，三角形面积公式可得，求出即可判断． 【详解】对于A：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径）， 因为，即，所以，故A正确； 对于B：因为，即， 展开整理得，又， 所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误； 对于C：因为，，，所以，所以， 所以符合条件的三角形有两个，故C正确； 对于D：三角形面积且可得， 因为，所以，故，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为___________． 【答案】2 【详解】∵∠B'A'C'=90°, B'O'=C'O'=1，. ∴A'O'=1， ∴原△ABC的高为2，△ABC面积为. 点睛：由斜二测画法知，设直观图的面积为，原图形面积为，则． 13．已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则__________． 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理由，，三点共线，可得，代入并由数量积的定义及运算法则计算可得结果. 【详解】如下图所示：    因为为的中点，， 因为，，三点共线，可得， 解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 ． 故答案为： 14．已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为__________． 【答案】 【分析】由球的体积公式计算出球的半径，由正弦定理求出的外接圆半径，从而得到球心到平面的距离. 【详解】设球的半径为，则，解得：， 设的外接圆半径为，在中，由正弦定理得：， 故， 则球心到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题 15．已知.求： (1)与的夹角； (2)； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的运算法则，列出方程，求得，即可求解； （2）根据题意，求得，即可求得的值； （3）由与夹角为钝角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）因为， 可得， 即，解得， 又因为的取值范围为，可得. （2）由，且， 可得 所以. （3）若与夹角为钝角，则满足且与不共线 所以，即，解得， 令，可得，解得， 综上可得且，即求的取值范围. 16．在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，点为的中点． (1)求证：； (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：由于平面，平面，所以. 由于四边形是矩形，所以. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. (2) 【分析】（1）通过证明平面，证得. （2）先证得平面，然后由求得正确答案. 【详解】（1）略 （2）连接，交于，连接， 由于分别是的中点， 所以，由于平面平面， 所以平面， 所以 . 17．学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)2 (2)71， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 18．在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负， 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 19．如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)取PD的中点E，连接ME，CE，如图. ∵M为PA的中点， ∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， ∴，. ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面. (2)如图，连接， ∵，O是的中点， ∴， 由菱形知，又，PO，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (3) 【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，先证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过点B作于点F，连接DF，OF，先证明为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点B作于点F，连接DF，OF. ∵平面PAC，平面PAC， ∴. ∵，BD，平面BDF，. ∴平面BDF， ∴，. ∴为二面角的平面角. ∵，，PC，PA，OF共面， ∴， ∵O是AC的中点， ∴F是PC的中点， 又∵， ∴，， ∴. ∵F是PC的中点，又， ∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $