自主复习与创新拓展(2)-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（北师大版·新教材）

》数学·八年级下 自主复习与创新拓展（二）】 B 高升无 做好题考高分 九天揽月 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 二 三 总 分 I 得 分 一 、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) r 封 1.下列分式是最简分式的是 ( A.15c 3a B.5 C. ac D.n-m m-n 2.在□ABCD中，若∠B+∠D=280°，则∠A= ( 线 A.10° B.40° C.60° D.100° 3.将多项式4a2-9因式分解的结果为 ( A.(2a-3)2 B.(4a-3)2 毁 C.(2a+3)(2a-3) D.（4a+3)(4a-3) 内 4.在使不等式3x>2x+1成立的x值中，最小的整数是（ A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF的度 数是 不 A.10° B.15° C.20° D.25° B 得 第5题图 第6题图 6.如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA于点C,PD⊥ OB于点D,连接CD交OP于点E,下列结论不一定正确的是 ( 答 A.PC=PD B.OC=OD C.OP垂直平分CD D.OE=CD 荞 7.某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶， 花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费 题 72元。已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6 元。晓华根据这一情境中的数量关系列出方程4=72 ，则 x+0.61 未知数x表示的意义为 ( A.每行驶1千米纯用电的费用 B.每行驶1千米纯燃油的费用 C.每1元电费可行驶的路程 D.每1元油费可行驶的路程 8.如图，将线段AB平移至CD,则m+n的值为 yt C(m,1.5) A(0,1) D(5,n 0 B(3,0) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 9.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于O,过点O 作OE⊥AC交AD于点E,若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长 为 () A.4√2 B.6 C.8 D.52 D B4 BD C 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AB=6√3，点E 为斜边AC的中点，点D在边BC上，且CD=4。点P为线段 AB上的动点，则PD+PE的最小值为 () A.213B.W43 C.313 D.√41 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.写出不等式2x-3>0的一个整数解： 卫若分式，的值等于0，则y=一 13.若实数a,b满足ab=-3,a2b+ab2=15,则a+b的值是 14.把等边三角形、正方形、正五边形如图摆放，则∠1+∠2+∠3 的度数是 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,D是边AB上的动 点，过点D作DE∥BC交AC于点E,将△ADE沿DE折叠，点 A的对应点为点F,当△BDF是直角三角形时，AD的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分)解分式方程： (1)51 3 ）x-12x+1 （2),10x-x+2=1. rx-3(x-1)≥1， :（9分)解不等式组：1+3x>x-1, 把它的解集表示在数 轴上，并写出它的所有正整数解。 18.(9分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长 度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶 点都在格点上。 (1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A,B1C,,请画出 △A1B1C1; (2)画出△AB1C1关于点0的中心对称图形△A2B2C2; (3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出 旋转中心的坐标。 65432 6-543-210123456元 23 19.(9分)如图，△ABC中，CD平分∠ACB,点E,F分别在边AB, AC上。CD,BF交于点G,∠BGC+∠EFB=180°。 (1)求证：∠BCD=∠AFE; (2)若∠A=60°，∠ABC=70°，求∠BEF的度数。 B 20.（9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时 针旋转得到△ADE,使点C的对应点E落在AB上，连接BD。 (1)若∠ABC=36°，求∠BDE的度数； (2)若AC=3,BC=4,求BD的长。 2 21.（9分)随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩 子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用2400元购进一批小 型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用6400元购进 一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是 第一批的2倍，且单价比第一批贵10元。 (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无 人机全部售完后利润不少于3200元，那么销售单价至少 为多少元？ 22.（10分)【观察】 (2+3)2-22=(2+3+2)(2+3-2)=7×3,(4+3)2-42= (4+3+4)(4+3-4)=11×3,(6+3)2-62=(6+3+6)(6 +3-6)=15×3,… 【猜想】 比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除。 【验证】 (1)若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否 被3整除； (2)若设这个偶数为2n,试说明比2n大3的数与2n的平方 差能否被3整除； 【延伸】 (3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能 否被9整除。 23.(10分)【三角形中位线定理】 (1)已知：在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点。直 接写出DE和BC的关系； 【应用】 (2)如图，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中 弥 点，若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°，求∠ADC的 度数； 【拓展】 (3)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E,点M,N封 分别为AD,BC的中点，MN分别交AC,BD于点F,G,EF =EG。求证：BD=AC。 A F D D 线 B B 图1 图2 图3 内 不 得 答 题17.解：原式=3+(a-2)(a+2).a+2_3+a2-4 a+2 (a+1)2 a+2 a+2 (a+1)(a-12.a+2_ a-1 (a+1)2= a+2 (a+1)2=a+i -√5≤a≤0且a为整数，∴.a=-2或-1或0，要 使分式有意义a≠-2，-1，.a=0,当a=0时，原式 0-1 0+1=-1。 18.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求； B D十 B.x (2)以B,C,B,C为顶点的四边形的面积=10×8- 2×2x2x4-2x7x4x8=40; (3)如图所示，点E即为所求（答案不唯一）；(6,6)。 19.解：(1)将“x-y”看成整体，设x-y=m,则原式= -2m+m2=m(m-2),再将x-y=m代入，得原式= (x-y)(x-y-2); (2)将“y2-6y”看成整体，设y2-6y=m,则原式= m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2。再将y -6y=m代人，得原式=(y2-6y+9)2=(y-3)4。 20.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD= BC,AD∥BC,∴.∠DAE=∠BCF,.DE⊥AC于点E BF⊥AC于点F,∴.∠AED=∠BFC=90°，在△AED和 △CFB中，.∠AED=∠CFB,∠DAE=∠BCF,AD= CB,.△AED≌△CFB(AAS),.DE=BF,.DE⊥AC 于点E,BF⊥AC于点F,.DE∥BF,.四边形DEBF 是平行四边形； (2)132。 21.解：(1)设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价 为(x+5)元。根据题意，得00解得=10， 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，则x+5= 15。 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为 15元； (2)设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为 2m盆。根据题意，得15m+10×2m≤600，解得m≤ ，m为正整数，…m的最大值为17。 120 答：购买吊兰的数量最多是17盆。 22.解：(1)-2，-5； (2):x-20」 x-3=2为“十字分式方程”，“x-3-20 x-3 =-1,…x-3+-5)x4=(-5)+4,x-3=-5 x-3 或x-3=4,x1=-2,x2=7 (3):“十字分式方程”x-三 =-7的两个解分别为 x1=m,x2=n,∴.x1x2=mn=-5,x1+x2=m+n=-7, ÷+m=m+n=(m+n)2-2m-49+10 n mn mn -5 59 50 23.解：（1)②： (2)如图2所示，四边形BFCE是平行四边形。理由 如下：点D是BC的中点，.BD=CD,DE=DF, .四边形BFCE是平行四边形； (3)AG的长为5√2或2。【解析】①当E在线段AB 上，延长AG到，点D,使DG=AG,连接AF,CD,FD,如 图3所示。G为CF的中点，.GF=GC,DG= AG,∴.四边形AFDC是平行四边形，∴.FD∥AC,由旋 转得，∠FEB=∠FEA=90°，∴.·∠BAC=∠FEA=90°， ∴EF∥AC,FD∥AC,∴F,E,D三点在同一条直线 上，∴.FD=AC=6,·AB=AC=6,EB=EF=4,∴.AE =6-4=2,在Rt△AED中，EA=ED=2,由勾股定理， 得A0=√AE+ED=22,DG=AG=2AD=2; ②当E在线段AB的延长线上时，延长AG到，点M,使 GM=AG,连接AF,CM,FM,如图4所示。.G为CF 的中，点，.GF=CG,又.'AG=GM,.四边形AFMC是 平行四边形，∴.FM∥AC,由旋转得，∠BEF=90°， ∠BAC+∠BEF=180°，∴.EF∥AC,.FM∥AC, .F,E,M三点在同一条直线上，.FM=AC=6,:AB =AC=6,EB=EF=4,.EM=AE=6+4=10,在 Rt△AEM中，EA=EM=10,由勾股定理，得AM= VAE+ME=102,AG=GM=2AM=52。综上 所述，AG的长为5√2或√2。 图2 图3 图4 自主复习与创新拓展（一） 1.A2.D3.D4.B5.C6.A7.B8.D9.C 10.D【解析】如原题图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B =90°，BC=5,.AC=2BC=10,由勾股定理，得AB= √AC2-BC=5√3。：DE是△ABC的中位线，DE =1BC=S,AD=BD=5)3，∠ADE=∠BDE=90。 有两种情况：①当，点A与，点C重合，△ADE的斜边AE 与CE重合时，如图1。DD'=2DE=5,BD=CD'= 5W3 2,.所拼成的平行四边形的周长为：10+55； ②当，点A与，点B重合，△ADE的直角边AD与BD重 合时，如图2。EE=2DE=5,CE=BE=5,.所拼成 的平行四边形的周长为：20。综上所述，所拼成的平 行四边形的周长为：10+53或20。故选：D。 D D' E D B C(A) B(A) C 图1 图2 11.AD=BC(答案不唯一)12.六13.514.515.42 16.解：(1)原式=2a(a-6a+9)=2a(a-3); (2)原式=9a2(x-y)-462(x-y)=(x-y)(9a2- 4b)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b). 17.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。方程 的两边都乘(x-3),得2-x-1=x-3。解这个方 程，得x=2。检验：将x=2代入原方程，得左边=1， 右边=1，左边=右边。所以，x=2是原方程的根； 2子6-)g解不等式D得2，解 不等式②，得x<4。故原不等式组的解集为2≤ x<4。 18.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求； (2)如图所示，△AB2C2即为所求；3V5。 ∠GHC,·∠FAB为旋转角a,.∠GHC始终与旋转 角α相等： (3)①50或65；【解析】由(2)知，∠CHG=a,:AB =AC,∠BAC=80°，∴.∠ACB=50°，当HG=HC时， ∠HGC=∠HCG=50°，∴.∠CHG=180°-50°-50°= 80°（不合题意舍去）；当CG=HG时，∠CHG=∠ACB a=50°；当CG=CH时，∠CHG=∠CG☑ ×(180°-50)=65°，.a=65°。综上所述，当 19.证明：连接AC交BD于点O,图略。AM∥CN,AN∥ △CHG为等腰三角形时，旋转角a等于50°或65°。 CM,∴.四边形AMCN是平行四边形，.OM=ON,OA ②∠BME+∠BAC=180°。理由如下：：将△ABC绕 =OC,.BM DN...OM BM ON DN,OB 点A逆时针旋转，得到△ADE,AB=AC,AD=AE, OD,∴.四边形ABCD是平行四边形。 ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS),·∠ABD 20.解：(1)三，去括号时第二项没有变号； =∠ACE,.∠ACE+∠ACM=180°，∴.∠ABM+ x2+2x-2 2 ∠ACM=180°，，四边形ABMC的内角和为360°， 2)原式x+x-D÷*2 x-1 ..∠BMC+∠BAC=180°。 x2+2x-2 2(x+1) 自主复习与创新拓展（二） +x-)x+D-·x- x-2 1.B2.B3.C4.C5.B6.D7.A8.B9.A 10.A【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30, +2x-2-2x-2.x-1=(x+2)(x-2).x-1 (x+1)(x-1)x-2(x+1)(x-1)x-2 AB =63,..AC =2BC,.AC2=AB2 BC2,..BC=6, x+2 AC=12,∴.BD=BC-CD=2,延长DB到F,使得BF x+15 =BD=2,连接EF交AB于P,取BC的中点Q,连接 (3)要使分式有意义，则x≠-1,1,2，.x可以取-2， E0,D,F关于AB对称，PF=PD,BQ=2BC=3, 当-2时原式=子 =0。 PD+PE=PF+PE≥EF,E是AC的中点，EQ 21.解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安 AB35 E/AB EQ BC EF 装1.5x间教室。根据题意，得36-36=3，解得x= x1.5x √EQ+FQ=2√13。故选：A。 4,经检验，x=4是所列方程的解，则1.5x=1.5×4= 11.2(答案不唯一)12.-513.-514.102 15.4或8【解析】：∠ABC=60°，DE∥BC,.∠ADE= 6 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间 ∠B=60°，由折叠可得∠FDE=∠ADE=60° ,.∠BDF=60°，当∠BFD=90°时，点F在△ABC内， 教室； (2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作120，-62 如题图。∠BDF=60°，∴.∠DBF=30°，∴.BD= 2DF,由折叠得DF=AD,.BD=2AD,.3AD=12 ∴AD=4;当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可 天。根据题意，得100y+120-6×50≤18000，解 得AD=DF=2BD,.'.AD=8。综上所述，AD的长为4 4 或8。故答案为：4或8。 这个不等式，得y≤12。 答：最多安排甲公司工作12天。 22.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AB= CD,AD∥BC。.∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF。 BE平分∠ABC,CF平分LBCD,∴.∠ABE=∠CBE, ∠BCF=∠DCF,∴.∠AEB=∠ABE,∠DFC=∠DCF .AB=AE,CD DF,..AE DF,..AE EF DF+ 16.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠1，且x≠ EF,即AF=DE: (2):四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, 2。方程的两边都乘(x-1)(2x+1),得5(2x+1) ∴.∠ABC+∠BCD=180°，：BE平分∠ABC,CF平分 ∠BCD,∠GBC=3∠ABC,LGCB= 2∠BCD, =-1。解这个方程，得=一子。检验：将=-子 代入原方程，得左边=-3，右边=-3，左边=右边。 LGRG+LCCB=(LARG+LACD)-90 所以，x=一子是原方程的根； .∠EGF=90°，∠ABC=120°，BE平分∠ABC, (2)因为分式中分母不能为零，所以x≠1，且x≠-2。 1 六∠GBC=2LABC=60°，LGCB=30°，BC= 方程的两边都乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-3=(x -1)(x+2)。解这个方程，得x=1。检验：因为x≠ 10,.BG=2BC=5,:BE=4,.GE=BG-BE=1, 1,因此x=1是原分式方程的增根，所以，原分式方程 无解。 .'EF∥BC,∴.∠GFE=∠GCB=30°，∴.EF=2GE=2, x-3(x-1)≥1，① .GF=√EF2-EG=√3，设点G到AD的距离为d, 17.解：1+3x>x-1,② 解不等式①，得x≤1。解不 2 .SaEFx GF.d-BGGE EF 等式②，得x>-3。把解集在数轴上表示如下： 1×3-5 -2-1012345 23.解：(1)40； ∴.不等式组的解集为：-3<x≤1，.它的所有正整数 (2)证明：由旋转可知∠B=∠D,∠AFB=∠HFD, 解为：1。 .180°-∠AFB-∠B=180°-∠HFD-∠D, 18.解：(1)如图所示，△A,BC,即为所求： ∴.∠FAB=∠FHD,.∠GHC=∠FHD,.∴.∠FAB= (2)如图所示，△A2B2C2即为所求； 自主复习与创新拓展（三） 1.C2.A3.D4.B5.C6.A7.B8.B9.A 10.A【解析】②：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥ BC,AD=BC,AB∥CD,又：AE∥BD,.四边形AEBD (3)(-3.0)。 是平行四边形，故②正确：①.·四边形AEBD是平行 19.解：(1)证明：：CD,BF交于点G,∴.∠BCC+∠DGB 四边形，∴AD=EB,.EB=BC,EC=EB+BC, =180°，.·∠BGC+∠EFB=180°，∴.∠DGB=∠EFB .CD∥FE,∴.∠ACD=∠AFE,CD平分∠ACB, BC=2EC,故①正确；③：AD∥EC,∠ADF= .∠ACD=∠BCD,.∠BCD=∠AFE; ∠FEC,'∠ADF=∠BCF,.∴.∠FEC=∠BCF,∴.FE (2)∠A=60°，∠ABC=70°，∴.∠ACB=180°-∠A =FC,又.'BC=BE,∴.FB⊥BC,即∠ABC=90°，故③ ∠ABC=50°，∠4CD=∠BCD=2∠ACB=250 正确；④：四边形AEBD是平行四边形，∴DF=EF, ·DF=FC,∴.EF=FC,∴.∠ABC=90°，.AB∥CD 由(1)，得∠ACD=∠AFE,.∠AFE=25°，∴.∠BEF= .∠DCE+∠ABC=180°，.∠DCE=90°，.△DCE ∠A+∠AFE=85°。 是直角三角形，故④正确。综上所述，正确的是①② 20.解：(1)·△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,使点 C的对应点E落在AB上，·.∠ADE=∠ABC=36° ③④，共4个。故选：A。 ∠AED=∠C=90°，AB=AD,∴.∠DAE=90°-36°= 11.两个锐角都大于45°12.x>113.150 14.a≤2且a≠-4 54,:AB=AD,∠ADB=∠ABD=2(180°- 15.6【解析】如图，过点P作MN∥AB,交AD于点M, BC于，点N,过，点P作PG⊥BC于点G,.四边形ABCD ∠DAB)=7×(180°-54)=63°，∠BDE=∠ADB 是平行四边形，.SAABD=SACBD,AD∥BC,AB∥MN ∥CD,.四边形AEPM、四边形BEPN、四边形PNCF、 -∠ADE=63°-36°=27°： (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，.AB=√AC2+BC 四边形DMPF都是平行四边形，.S△MB即=SAMP,SADM SADFP:SACFP SACNP:SABEP SABNP,SOAEPM =√32+4=5，：△ABC绕点A顺时针旋转得到 SOPNCF,.S阴5事分=SOPNCR,'BE∥NP,BE=2,PF=6, △ADE,使点C的对应点E落在AB上，.∠AED= ∠ABC=30°，，∠ABC=∠PNG=30°，BE=PN=2, ∠C=90°，AE=AC=3,DE=BC=4,.∴.BE=AB-AE =5-3=2,在Rt△BDE中，BD=√BE2+DE= PGLBC,.PG=7PN=1,=Som=PG. √22+42=25。 CN=1×6=6。故答案为：6。 21.解：(1)设第一批小型无人机的单价是x元。根据题 M D 意，得2×200-0解得：=50，经龄验：0是 原分式方程的解。 答：第一批小型无人机的单价是30元： B N G (2)第一批小型无人机的数量是200 16.獬：(1)原式=-a(1-2a+a2)=-a(1-a)2; 30 =80(个)。设 (2)原式=[5(m+n)+3(m-n)][5(m+n) 小型无人机销售价格为y元。根据题意，得80y+2× 3(m-n)]=(8m+2n)(2m+8n)=4(4m+n)(m+ 80y-2400-6400≥3200。解得y≥50. 4n)。 答：销售单价至少为50元。 22.解：(1)132-102=(13+10)(13-10)=69.69÷3= 7.解：原式=子+)2x+12x-1 (x-1)2 23,∴.能被3整除； (2)(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)= 2x-1 (x-1)2 x-1,(2x+1)(2x-1)=2x+1,要使分式有意义x x-1 3(4n+3),∴.能被3整除： -1-1 (3)设这个数为n,比n大9的数为n+9。(n+9)2- ￥、11 -2,2,1,则当x=-1时，原式=2x-)+1 n2=(n+9+n)(n+9-n)=9(2n+9),.能被9 -2 整除。 =二=2。 23.解：(1)DE∥BC,DE=2BC: 18.解：设在纯电模式下行驶x千米，由题意，得0.3x+ (2)连接BD,图略。E,F分别是边AB,AD的中点， (0.3+0.4)(240-x)≤128，解得x≥100。 ∴.EF∥BD,BD=2EF=4,∴.∠ADB=∠AFE=45° 答：要使此次行程花费的油费和电费总计不超过128 BC=5,CD=3,∴.BD2+CD2=25,BC2=25,.BD2 元，则至少需要在纯电模式下行驶100千米。 +CD2=BC2,.∠BDC=90°，∴.∠ADC=∠ADB+ 19.解：(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，.AD∥ ∠BDC=135°： BC,.CE∥AF,.CE=AF,.四边形AECF为平行四 (3)证明：取DC的中点H,连接MH,NH。M,H分 边形，.CF∥AE; 别是AD,DC的中点，∴.MH是△ADC的中位线，.MH (2)小华作法中存在的问题：以点C为圆心，AE长为 半径作弧，与AD可能有两个交点，如图所示。 ∥AC且MH=2AC,同理可得NH∥BD且NH= 5 D 2BD。:EF=BG,LEFG=LBGP,MH∥AC, NH∥BD,.∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM, ∴.∠HMN=∠HNM,∴.MH=NH,.∴.AC=BD。 20.解：(1)证明：.BD⊥DE,CE⊥DE,∴.∠ADB=∠AEC =90°，在Rt△ABD和RL△CAE中，，：AB=CA,AD= CE,∴.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴.∠DBA=∠EAC :∠DAB+∠DBA=90°，∴.∠BAD+∠CAE=90°， ∠BAC=90°，.AB⊥AC; (2)AB⊥AC。证明：同(1)一样可证得Rt△ABD≌ Rt△CAE,∴.∠DAB=∠ECA,.·∠CAE+ECA=90°， ∴.∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，'.AB⊥AC。 21.解：(1)解方程组3xy=4m,①。 1x+2y=7-m,②①×2+②，得7x =7m+7,x=m+1。把x=m+1代入②，得m+1+ 2y=7-m,y=3-m,所以方程组的解为x=m+1, y=3-m; (2):>0,y>06>8解得-1<m<3m +1>0,m-3<0,.|m+1+m-3|=m+1+3- m=4; 3){x=t,y=3-(x-1)=4-,y20, ÷4-x>0,x<4-a,2x-3≥1-a,x≥2-受， 有解，2-分≤<4-a,4-a>2-受a <4。 22.解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，则 去年同期每辆售价(m+1)万元。根据题意，得0- m 1解得m=9,经检验，m=9是原方程的根且符合 题意。 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； (2)设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车(15-x) 辆。根据题意，得102≤7.5x+6(15-x)≤105，解得 8≤x≤10，：x的正整数解为8,9,10，.共有3种进货 方案。方案一：购进A款汽车8辆，B款汽车7辆；方 案二：购进A款汽车9辆，B款汽车6辆；方案三：购 进A款汽车10辆，B款汽车5辆； (3)设总获利为W元，购进A款汽车x辆，W=(9- 7.5)x+(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)x+30-15a, .当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同。 23.解：(1)①证明：·△ABC和△DCE都是等边三角形， BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°，.∠DCB +∠ACD=∠ECA+∠ACD,.∴.∠DCB=∠ECA, .△DCB≌△ECA(SAS),.BD=AE; ②证明：：△DCE是等边三角形，∴.∠EDC=60°，DE =CD,∠ADC=150°，∴.∠ADE=∠ADC-∠EDC= 150°-60°=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2 +DE2=AE,由①知AE=BD,DE=CD,.BD2=AD +CD: (2)△ABC和△DCE都是等边三角形，.BC=AC, CD=CE=DE,∠ACB=∠ECD=∠CDE=60°， .∠ACB+LACD=∠ECD+∠ACD,∴.∠DCB= ∠ECA,.△DCB≌△ECA(SAS),.BD=AE,BD2 =AD+CD2,CD DE,.'AE AD2 DE2,..AADE 是直角三角形，且∠ADE=90°，∴.∠ADC=∠ADE- ∠CDE=90°-60°=30°： (3)AD=4。【解析】∠EAD=∠BAC=90°， .∠BAD=∠CAE,AB=AC,AD=AE,∴.△ABD≌ △ACE(SAS),BD=CE,BD=√37，.CE=√37， :∠EAD=90°，AE=AD,△ADE是等腰直角三角 形，∴.∠ADE=45°，∠ADC=45°，∴.∠CDE=90, .DE2=CE2-CD2=（√37)2-(V5)2=32,在 Rt△ADE中，∠EAD=90°，.AE2+AD2=DE2, .2AD2=32,AD=4。