自主复习与创新拓展(1)-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（北师大版·新教材）

17.解：原式=3+(a-2)(a+2).a+2_3+a2-4 a+2 (a+1)2 a+2 a+2 (a+1)(a-12.a+2_ a-1 (a+1)2= a+2 (a+1)2=a+i -√5≤a≤0且a为整数，∴.a=-2或-1或0，要 使分式有意义a≠-2，-1，.a=0,当a=0时，原式 0-1 0+1=-1。 18.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求； B D十 B.x (2)以B,C,B,C为顶点的四边形的面积=10×8- 2×2x2x4-2x7x4x8=40; (3)如图所示，点E即为所求（答案不唯一）；(6,6)。 19.解：(1)将“x-y”看成整体，设x-y=m,则原式= -2m+m2=m(m-2),再将x-y=m代入，得原式= (x-y)(x-y-2); (2)将“y2-6y”看成整体，设y2-6y=m,则原式= m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2。再将y -6y=m代人，得原式=(y2-6y+9)2=(y-3)4。 20.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD= BC,AD∥BC,∴.∠DAE=∠BCF,.DE⊥AC于点E BF⊥AC于点F,∴.∠AED=∠BFC=90°，在△AED和 △CFB中，.∠AED=∠CFB,∠DAE=∠BCF,AD= CB,.△AED≌△CFB(AAS),.DE=BF,.DE⊥AC 于点E,BF⊥AC于点F,.DE∥BF,.四边形DEBF 是平行四边形； (2)132。 21.解：(1)设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价 为(x+5)元。根据题意，得00解得=10， 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，则x+5= 15。 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为 15元； (2)设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为 2m盆。根据题意，得15m+10×2m≤600，解得m≤ ，m为正整数，…m的最大值为17。 120 答：购买吊兰的数量最多是17盆。 22.解：(1)-2，-5； (2):x-20」 x-3=2为“十字分式方程”，“x-3-20 x-3 =-1,…x-3+-5)x4=(-5)+4,x-3=-5 x-3 或x-3=4,x1=-2,x2=7 (3):“十字分式方程”x-三 =-7的两个解分别为 x1=m,x2=n,∴.x1x2=mn=-5,x1+x2=m+n=-7, ÷+m=m+n=(m+n)2-2m-49+10 n mn mn -5 59 50 23.解：（1)②： (2)如图2所示，四边形BFCE是平行四边形。理由 如下：点D是BC的中点，.BD=CD,DE=DF, .四边形BFCE是平行四边形； (3)AG的长为5√2或2。【解析】①当E在线段AB 上，延长AG到，点D,使DG=AG,连接AF,CD,FD,如 图3所示。G为CF的中点，.GF=GC,DG= AG,∴.四边形AFDC是平行四边形，∴.FD∥AC,由旋 转得，∠FEB=∠FEA=90°，∴.·∠BAC=∠FEA=90°， ∴EF∥AC,FD∥AC,∴F,E,D三点在同一条直线 上，∴.FD=AC=6,·AB=AC=6,EB=EF=4,∴.AE =6-4=2,在Rt△AED中，EA=ED=2,由勾股定理， 得A0=√AE+ED=22,DG=AG=2AD=2; ②当E在线段AB的延长线上时，延长AG到，点M,使 GM=AG,连接AF,CM,FM,如图4所示。.G为CF 的中，点，.GF=CG,又.'AG=GM,.四边形AFMC是 平行四边形，∴.FM∥AC,由旋转得，∠BEF=90°， ∠BAC+∠BEF=180°，∴.EF∥AC,.FM∥AC, .F,E,M三点在同一条直线上，.FM=AC=6,:AB =AC=6,EB=EF=4,.EM=AE=6+4=10,在 Rt△AEM中，EA=EM=10,由勾股定理，得AM= VAE+ME=102,AG=GM=2AM=52。综上 所述，AG的长为5√2或√2。 图2 图3 图4 自主复习与创新拓展（一） 1.A2.D3.D4.B5.C6.A7.B8.D9.C 10.D【解析】如原题图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B =90°，BC=5,.AC=2BC=10,由勾股定理，得AB= √AC2-BC=5√3。：DE是△ABC的中位线，DE =1BC=S,AD=BD=5)3，∠ADE=∠BDE=90。 有两种情况：①当，点A与，点C重合，△ADE的斜边AE 与CE重合时，如图1。DD'=2DE=5,BD=CD'= 5W3 2,.所拼成的平行四边形的周长为：10+55； ②当，点A与，点B重合，△ADE的直角边AD与BD重 合时，如图2。EE=2DE=5,CE=BE=5,.所拼成 的平行四边形的周长为：20。综上所述，所拼成的平 行四边形的周长为：10+53或20。故选：D。 D D' E D B C(A) B(A) C 图1 图2 11.AD=BC(答案不唯一)12.六13.514.515.42 16.解：(1)原式=2a(a-6a+9)=2a(a-3); (2)原式=9a2(x-y)-462(x-y)=(x-y)(9a2- 4b)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b). 17.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。方程 的两边都乘(x-3),得2-x-1=x-3。解这个方 程，得x=2。检验：将x=2代入原方程，得左边=1， 右边=1，左边=右边。所以，x=2是原方程的根； 2子6-)g解不等式D得2，解 不等式②，得x<4。故原不等式组的解集为2≤ x<4。 18.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求； (2)如图所示，△AB2C2即为所求；3V5。 ∠GHC,·∠FAB为旋转角a,.∠GHC始终与旋转 角α相等： (3)①50或65；【解析】由(2)知，∠CHG=a,:AB =AC,∠BAC=80°，∴.∠ACB=50°，当HG=HC时， ∠HGC=∠HCG=50°，∴.∠CHG=180°-50°-50°= 80°（不合题意舍去）；当CG=HG时，∠CHG=∠ACB a=50°；当CG=CH时，∠CHG=∠CG☑ ×(180°-50)=65°，.a=65°。综上所述，当 19.证明：连接AC交BD于点O,图略。AM∥CN,AN∥ △CHG为等腰三角形时，旋转角a等于50°或65°。 CM,∴.四边形AMCN是平行四边形，.OM=ON,OA ②∠BME+∠BAC=180°。理由如下：：将△ABC绕 =OC,.BM DN...OM BM ON DN,OB 点A逆时针旋转，得到△ADE,AB=AC,AD=AE, OD,∴.四边形ABCD是平行四边形。 ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS),·∠ABD 20.解：(1)三，去括号时第二项没有变号； =∠ACE,.∠ACE+∠ACM=180°，∴.∠ABM+ x2+2x-2 2 ∠ACM=180°，，四边形ABMC的内角和为360°， 2)原式x+x-D÷*2 x-1 ..∠BMC+∠BAC=180°。 x2+2x-2 2(x+1) 自主复习与创新拓展（二） +x-)x+D-·x- x-2 1.B2.B3.C4.C5.B6.D7.A8.B9.A 10.A【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30, +2x-2-2x-2.x-1=(x+2)(x-2).x-1 (x+1)(x-1)x-2(x+1)(x-1)x-2 AB =63,..AC =2BC,.AC2=AB2 BC2,..BC=6, x+2 AC=12,∴.BD=BC-CD=2,延长DB到F,使得BF x+15 =BD=2,连接EF交AB于P,取BC的中点Q,连接 (3)要使分式有意义，则x≠-1,1,2，.x可以取-2， E0,D,F关于AB对称，PF=PD,BQ=2BC=3, 当-2时原式=子 =0。 PD+PE=PF+PE≥EF,E是AC的中点，EQ 21.解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安 AB35 E/AB EQ BC EF 装1.5x间教室。根据题意，得36-36=3，解得x= x1.5x √EQ+FQ=2√13。故选：A。 4,经检验，x=4是所列方程的解，则1.5x=1.5×4= 11.2(答案不唯一)12.-513.-514.102 15.4或8【解析】：∠ABC=60°，DE∥BC,.∠ADE= 6 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间 ∠B=60°，由折叠可得∠FDE=∠ADE=60° ,.∠BDF=60°，当∠BFD=90°时，点F在△ABC内， 教室； (2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作120，-62 如题图。∠BDF=60°，∴.∠DBF=30°，∴.BD= 2DF,由折叠得DF=AD,.BD=2AD,.3AD=12 ∴AD=4;当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可 天。根据题意，得100y+120-6×50≤18000，解 得AD=DF=2BD,.'.AD=8。综上所述，AD的长为4 4 或8。故答案为：4或8。 这个不等式，得y≤12。 答：最多安排甲公司工作12天。 22.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AB= CD,AD∥BC。.∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF。 BE平分∠ABC,CF平分LBCD,∴.∠ABE=∠CBE, ∠BCF=∠DCF,∴.∠AEB=∠ABE,∠DFC=∠DCF .AB=AE,CD DF,..AE DF,..AE EF DF+ 16.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠1，且x≠ EF,即AF=DE: (2):四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, 2。方程的两边都乘(x-1)(2x+1),得5(2x+1) ∴.∠ABC+∠BCD=180°，：BE平分∠ABC,CF平分 ∠BCD,∠GBC=3∠ABC,LGCB= 2∠BCD, =-1。解这个方程，得=一子。检验：将=-子 代入原方程，得左边=-3，右边=-3，左边=右边。 LGRG+LCCB=(LARG+LACD)-90 所以，x=一子是原方程的根； .∠EGF=90°，∠ABC=120°，BE平分∠ABC, (2)因为分式中分母不能为零，所以x≠1，且x≠-2。 1 六∠GBC=2LABC=60°，LGCB=30°，BC= 方程的两边都乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-3=(x -1)(x+2)。解这个方程，得x=1。检验：因为x≠ 10,.BG=2BC=5,:BE=4,.GE=BG-BE=1, 1,因此x=1是原分式方程的增根，所以，原分式方程 无解。 .'EF∥BC,∴.∠GFE=∠GCB=30°，∴.EF=2GE=2, x-3(x-1)≥1，① .GF=√EF2-EG=√3，设点G到AD的距离为d, 17.解：1+3x>x-1,② 解不等式①，得x≤1。解不 2 .SaEFx GF.d-BGGE EF 等式②，得x>-3。把解集在数轴上表示如下： 1×3-5 -2-1012345 23.解：(1)40； ∴.不等式组的解集为：-3<x≤1，.它的所有正整数 (2)证明：由旋转可知∠B=∠D,∠AFB=∠HFD, 解为：1。 .180°-∠AFB-∠B=180°-∠HFD-∠D, 18.解：(1)如图所示，△A,BC,即为所求： ∴.∠FAB=∠FHD,.∠GHC=∠FHD,.∴.∠FAB= (2)如图所示，△A2B2C2即为所求；》》数学·八年级下 自主复习与创新拓展（一） B 高升无航 做好题考高分 沙场点兵 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 号 二 三 总 分 得 分 一 选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的)》 咖 封1.下列图标中，能用其中一部分平移得到的是 A D 线2.下列多项式中，可以用完全平方公式因式分解的是 A.x2-y2 B.x2+x+y2 C.x2+y2 D.-x2+2xy-y2 3.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 内 72% A.50° B.58 C.60° D.72° I 4.已知实数a,b满足a+1>b+1,则下列选项错误的是( 不 A.a>b B.2a<3b C.-a<-b D.a+2>b+2 5.下列命题的逆命题是假命题的是 ( A.等腰三角形的两个底角相等 得 B.内错角相等，两直线平行 C.全等三角形的对应角相等 D.等边三角形的三个角都是60° 6.如图是一次函数y=ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b< 0的解集为 答 A.x>1 B.x<1 C.x>2 D.x<2 A D 4309 E ⊙ 题 0八 B 第6题图 第7题图 第10题图 7.如图，E是平行四边形ABCD内任一点，若阴影部分的面积为 的 6,则平行四边形ABCD的面积是 （) A.9 B.12 C.15 D.18 8.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱 世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱， 倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”大意 是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽 的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于 一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以 支持屋顶材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意的方程是 （) A.6210 ”x-1 X B.6210=3 x-1 c.6210=3x-1 D.6210=3(x-1) 9小明板书解方程子+1=十5的过程如下：方程两边都乘 以(2x-1),得x-2+(2x-1)=-1.5,解这个方程，得x=2 所以原方程的根为x=?。同学们都认为小明的解法不对，他 错误的原因是 A.去分母时，常数项没有乘以公分母 B.去括号移项时，没有变号 C.求出整式方程的根没有检验 D.解整式方程得到的根不正确 10.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC=5,将△ABC沿 中位线DE剪开后，把得到的两部分拼成平行四边形，所得平 行四边形的周长是 () A.15+53 B.10+5√3 C.15+53或20 D.10+5√3或20 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,其中AB =CD,请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形， 可以添加的条件是 D E D 0 第11题图 第15题图 12.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是 边形。 13.已知关于x的一元一次不等式■-2x≥3的解集如图所示 则被墨水“■”覆盖的数为 -1012 14.关于x的分式方程m,-2x+)=1有增根，则m= x-2x-2 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm,BC=12cm,将 △ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△EBD,连接DC交AB于 点F,则△ACF与△BDF的周长之和为」 cmo 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分)分解因式： (1)2a3-12a2+18a; (2)9a2(x-y)+4b2(y-x)。 17.(9分)1)解方程2+3=1 (2)解不等式组： 2x≥2+x, 5x-2>6(x-1)。 18.(9分)如图，△ABC的顶点A的坐标为(-1,1)。 (1)将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位 长度得到△A1B1C1,请在图中画出△A1B,C1; (2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB2C2,请在图中 画出△AB2C2并连接A,C2,直接写出A,C2的长为 19.(9分)如图，四边形ABCD中，M,N是BD上两点，AM∥CN, AN∥CM。若BM=DN,求证：四边形ABCD是平行四边形。 20.(9分)下面是学完分式化简后的小明同学进行分式化简的过 程，请认真阅读并完成下列问题。 解，心22)号 x-1 =品品月第-步 l品号= x-2 说22…第三步 x21 = x+1x+2 …第四步 x2 x2+3x+2 …第五步 任务： (1)第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)写出正确的化简过程； (3)请从-2，-1,1,2中选一个合适的数作为x的值代人求 值。 2 21.（9分)为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中 小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完 成。已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公 司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天。 (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500 元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装 总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 22.(10分)已知：如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD 于点E,∠BCD的平分线CF交AD于点F。 (1)求证：AF=DE; (2)设BE与CF的延长线相交于点G,若∠ABC=120°，BE= 4,BC=10,求出点G到AD的距离。 23.(10分)综合与实践 【问题情境】 活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的 探究活动。 如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°。将△ABC绕点A弥 逆时针旋转，得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点)， 旋转角为x(0°<x<80)。设AD与BC相交于点F,DE分 别交BC,AC于点H,G。 【特殊位置】 封 (1)如图1，当旋转到AD⊥BC时，同学们发现∠GHC等于旋 转角，都为 度； 【探究规律】 (2)如图2，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，同学发现 ∠GHC始终与旋转角α相等，请证明这一结论； 线 【拓展延伸】 (3)①在△ABC绕，点A逆时针旋转过程中，当△CHG为等腰 三角形时，旋转角a等于 度； ②如图3，延长BD,EC相交于点M,请判断∠BME与 ∠BAC的关系，并说明理由。 内 不 M 图1 图2 图3 得 !! 答 题