专题突破与巩固(6) 平行四边形-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（北师大版·新教材）

9.（x+2)(x-2)10.1011.-112.a+2b 13.解：(1)原式=4(x2+2xy+y2)=4(x+y)2; (2):当y=2,原分式计算结果为3，心x产2=3，解得 (2)原式=4x2(a-b)-(a-b)=(a-b)(4x2-1)= x=3。检验：当x=3时，x-2≠0。所以，x=3是原分 (a-b)(2x+1)(2x-1)。 式方程的解，即当y=2,x=3时，原分式计算结果 14.解：(1)(x-1)(x-9)=x2-x-9x+9=x2-10x+9, 为3。 (x+2)(x+4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8,:二次 20.解：设B型机器人每小时分拣快递x件，则A型机器 三项式x2+p%+q的常数项与(x-1)(x-9)的常数 项相同，而它的一次项与(x+2)（x+4)的一次项相 人每小时分拣快递(x+200)件，根据题意，得9000 x+200 同，∴.p=6,9=9; =8000 方程两边乘x(x+200),得9000x=8000(x (2)由(1)可知，x2+px+q=x2+6x+9=（x+3)2, ∴.x+px+q是完全平方式。 +200)。解得x=1600。检验：当x=1600时，x(x+ 15.解：(1)D； 200)≠0。所以，原分式方程的解为x=1600,且符合 (2)没有分解到最后，剩余步骤如下：原式=[（α-3）· 题意。 (a+1)]2=(a-3)2(a+1)2; 答：B型号机器人每小时分拣快递1600件。 (3)设x=4a2-4a,原式=(x-3)(x+5)+16=x2+ 21.解：（1)原式= 1 x+3 2x-15+16=x2+2x+1=(x+1)2=(4a2-4a+1)2 x-3-3+x=(x-3)(x+3) =(2a-1)4。 x-3 x+3-x+3 16.解：(1)原式=x2+4y+4y2-9y2=(x+2y)2-(3y)2 (x-3)(x+3)=(x-3)(x+3)=(x-3)(x+3) =[(x+2y)+3y][(x+2y)-3y]=(x+5y)(x-y); (2)原式=x2-10xy+25y2-16y2=(x-5y)2-(4y)2 《2)结果不能为0。理由如下：原式三x1-二= =[(x-5y）+4y][(x-5y)-4y]=(x-y)(x-9y): 3x x+22x-2=2(x-1=2,“要 (3)原式=x2+14xy+49y2-81y2=(x+7y)2-(9y)2 x(x-1)x(x-1)x(x-1)x(x-1) =[(x+7y)+9y][(x+7y)-9y]=(x+16y)(x- 使分式有意义，∴x≠0，.结果不会等于0。 2y)。 22.解：(1)设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个 专题突破与巩固（五） 1.C2.D3.A4.A5.C6.B7.B8.D9.B B品牌的篮球需(x+30)元。根据题意，得2500=2 10.D【解析】原方程去分母，得x+4+M(x-4)=M+ 4,∴.x+4+Mx-4M=M+4,.(1+M)x=5M,当1+ *2+0方程两边乘x(x+30),得2500(x+30)=2 x2000 M=0,即M=-1时，方程无解；当1+M≠0时，即M ×2000x。解得x=50。检验：当x=50时，x(x+30) ≠-1，把x=4代入(1+M)x=5M,得4+4M=5M, ≠0。所以，原分式方程的解为x=50,且符合题意。 解得M=4:把x=-4代入(1+M)x=5M,得-4- 则x+30=80。 4M=5M,解得M=-号。综上所述，M的位为-1或 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌 的篮球需80元； 4或-号。故选：D。 (2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品 牌篮球(50-a)个。根据题意，得50×(1+8%)(50 11.>12.12x2y213. 14.-7 -a)+80×0.9a≤3060，解得a≤20。 2 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球。 15.6【解析】由题意，可知甲每小时清点这批因书的号 23.解：(1)设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分 钟采摘2x千克的蔬菜。根据题意，得500_500-10， ÷31 ,设乙单独清点这批图书需要x小时，根据题 2x 方程两边乘2x,得1000-500=20x。解得x=25。检 喜，得2.4×（行+》=1-方方程两造来95，程 验，当x=25时，2x≠0。所以，原分式方程的解为x= 25。.2x=2×25=50。 2.4x+21.6=6x,解得x=6。检验：当x=6时，9x≠ 答：甲组每分采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘 0。所以，原分式方程的解为x=6。所以如果乙单独 25千克的蔬菜； 清点这批图书需要6小时。故答案为：6。 (2)A类蔬菜的单位面积产量大。理由如下：A类蔬菜 16.解：(1)原式=4+1-2=3； (2)原式=x+1. 1 的单位面积产量为0心（千克/平方米），B类蔬菜的单 x(x+1)(x-1)=x-1 17.解：原式=[a-3)(a+3)+91 a F[0+32+a+3÷(a+3)(a-3) 位面积产量为”2（千克/平方米）.9-”习 =300(a-2) 200a -。-9+9.(a+3(a-3》-。.(a+3)(a-3》- a2(a-2) a2(a-2) 300a-600-200a= a(a-2) a+3 a a+3 0a-2,a>6,a-6>0,a-2>0,a2>0, 100(a-6) a(a-3)=a2-3a,要使分式有意义，.a≠±3,0， .当a=-1时，原式=(-1)2-3×(-1)=4。 300.200 18.解：(1)2(x+1),检验； 100(a-6）>0,. a2(a-2） a >a(a-2)。A类蔬菜的 > x-3 3x (2)1-2x+=中，方程两边乘2(x+1),得 单位面积产量大； 2(x+1)-(x-3)=6x。解得x=1。检验：当x=1 (3)设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍(n为 时，2(x+1)≠0。所以，原分式方程的解为x=1。 正整数)，根据题意，得(2a-2+14)(a+a)=n(2a- 19架：1)表据题应，得所搭都分-（二，） 2)a,n8+是-2041又>6,0为整数，且 a-1 x2-1=x+1.y(x-y) n为正整数， ge8或0=5， n=4,1 ln=3。 xy-yx-y(x+1)(x-1)x-1 答：a的值为8或15。 专题突破与巩固（六） √1002-60=80(cm),即椅子最高点G到地面EF的 1.D2.B3.C4.A5.B6.D7.B8.C9.B 距离为80cm。 10.D【解析】A.AD∥BC,∴.∠A+∠ABC=180°，∠ADC 21.解：(1).·四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与 +∠BCD=180°，∠A=∠BCD,.∠ABC=∠ADC,∴.四 BD相交于点O,.AB=CD,DA=BC,OA=OC. 边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD,故A .·☐ABCD的周长为20，∴.2AB+2BC=20,.AB+BC 正确；B.∠A=∠ABD,.DA=DB,DE平分 =10,△A0B的周长比△B0C的周长小4，∴.BC+ ∠ADB,∴.DE⊥AB,又AB∥CD,.DE⊥CD,故B正确； OB +OC-(AB +OB +A)=4,..BC =AB+4,..AB C.DE⊥CD,∴.∠CDE=90°，.∠DEC+∠DCE= +AB+4=10,∴.AB=3,BC=7; 180°-∠CDE=90°，.·∠A=∠BCD,.∴.∠DCE=∠BCD (2)过点C作CF⊥AB于点F,图略。在△BAD和△DCB -∠ECB=∠A-∠ECB,∴.∠A+∠DEC-∠ECB= 中，：AB=CD,DA=BC,BD=DB,∴.△BAD≌△DCB ∠BCD+∠DEC-∠ECB=∠DEC+∠DCE=9O°，故C (SSS),BD=8,CE⊥BD于点E,且CE=2,.SARAD 正确；D.过点E作EG∥BC,交DC于，点G,图略 ∴.∠GEC=∠BCE,.∠DEF=∠GEC+∠DEGA =Sa=2BD·CE=7×8×2=8,.Sm=AB· ∠BCE,.·DE平分∠ADB,∴.∠ADE=∠FDE, 文.·∠DFC=∠FDE+∠DEF,∴.∠DFC=∠ADE =28ADcB =16,3CF=16,.CF=,AB C +∠DEF,∴.∠DFC≠∠ADE+∠BCE,故D错误。故 之间的距离为3。 16 选：D。 11.AB=CD(答案不唯一)12.2cm或8cm 13.3614.50° 2.解：(1)DE∥BC,DE=2BC: 15.2【解析】取BE的中点M,连接FM,CM,.·F为AE (2)连接BD,如图1，·E,F分别是边AB,AD的中点， 的中点，M为BE的中点，.MF=之AB,FM∥AB, ∴.EF∥BD,BD=2EF=4,∴.∠ADB=∠AFE=45°，.·BC =5,CD=3,∴.BD2+CD2=25,BC2=25,∴.BD2+CD 四边形ABCD是平行四边形，DC=AB,DC∥AB, =BC2,.∠BDC=90°，∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC= E为CD的中点，CE=2DC,CE=FM,CE∥ 135°： (3)证明：取DC的中点H,连接MH,NH。如图2。 FM,.四边形EFMC是平行四边形，.EG=GM, M,H分别是AD,DC的中点，∴.MH是△ADC的中位 BM=BM=2BE=2×8=4,BG=2×4=2。 线M/AC且MH=2AC,同理可得NH/BD且 故答案为：2。 NM=2BD。:EF=EG,∠EFG=LEGP,:M ∥AC,NH∥BD,∴.∠EFG=∠HMN,∠EGF= ∠HNM,∴.∠HMN=∠HNM,∴.MH=NH,∴.AC=BD。 16.证明：.∠1=∠2，∴.AB∥CD,又.AD∥BC,.四边 形ABCD是平行四边形。 17.解：(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC,即AF∥CE,又'AF=CE,.四边形AECF是平行 四边形，.AC,EF互相平分； 图 图 (2).·∠CAD=40°，∠ACD=110°，..在△ACD中」 23.解：(1)平行四边形； ∠D=180°-（∠CAD+∠ACD)=30°，四边形AB- (2)BG=2AG。理由如下：：四边形ABCD是平行四 CD是平行四边形，∴.∠B=∠D=30°。 边形，∴.AB∥CD,AB=CD,又·E,F为CD边的三等 18.解：(1)如图所示，CF即为所求； 分点，DE=EF=CF=3DC,由折叠可知：ED=ED, D ∠AED=∠AED',..ED=ED'=EF,..∠ED'F= ∠EFD',.'∠DED'=∠ED'F+∠EFD'=∠AED+ ∠AED',.∠AED'=∠ED'F,∴.AE∥FG,.四边形 E G AEFG是平行四边形，BF=AC,BF=号DC,AB= (2)四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,AE ⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,∴.∠AEO=∠CFO= CD,AG=34B,则BG=号AB,BG=2AG; 90°，在△AOE和△COF中，.·∠AE0=∠CF0,∠AOE =∠COF,OA=OC,∴.△AOE≌△COF(AAS),.∴.AE= (3)√2。【解析】由折叠可 CF。 知：∠DAE=∠D'AE=45°，AD D' =AD',.∠DAD'=90°，则 19.解：(1)0C,平行四边形； (2)证明：在△AOD和△COB中，.·OA=OC,∠AOD= △DAD'为等腰直角三角形， D ·.∠ADH=∠AD'D=45°，延长 ∠C0OB,OD=OB,∴.△AOD≌△COB(SAS),∴.AD= AD'交BC于M,如图.则∠MD'H=∠AD'D=45 BC,∠OAD=∠OCB,.AD∥BC,.四边形ABCD是平 .·四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∴.∠DHM 行四边形。 =∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD'=90°，即 20.(解：(1)证明：：AB∥CD∥EF,∠GBA+∠FEC=180°， AM⊥AD,.MD'=MH,.□ABCD的面积为20，AD=4, ,.∠ABG=∠CDG,∠ACD=∠FEC,.∠ACD+ 即AD·AM=20,∴.AM=5,则MD'=AM-AD'=AM-AD ∠CDG=180°，∴.AC∥BD,∴.四边形ACDB是平行四 =1,.D'H=√MD2+M㎡=√12+12=2。 边形； (2).四边形ACDB是平行四边形，∴.CD=AB=20cm, 期末综合素养评价（一） 延长GD交EF于点H,图略。由(1)可知，DH∥AE,CD 1.D2.C3.A4.C5.A6.C7.D8.A9.A ∥EH,∴.四边形CEHD是平行四边形，∴.DH=CE= 10.D【解析】四边形ABCD是平行四边形，∴.AC,BD 50,EH=CD =20,GH GD DH =100,HF =EF- 互相平分，0是AC的中点，0A=0C=号4C=3。 EH=60.'∠GFH=90°，∴.GF=√Gf-HF= ·△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，》数学·八年级下 专题突破与巩固（六） B 高升无航 做好题考高分 平行四边形 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 号 三 总分 得 分 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其 咖r 封 中只有一个是正确的) 1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠D等于( A.50° B.80 C.100° D.130° 2.(项城期末)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则 线 下列结论一定正确的是 ( A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD 1 拟 内 第2题图 第3题图 第4题图 3.(平顶山期末)如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点 E,若∠A=125°，则∠1= A.125 B.65 C.55 D.45° 不 4.如图，A,B两点被池塘隔开，过点A,B分别作直线AC,BC相交 于点C,点D,E分别是线段AC,BC的中点，现测得DE=6m, 量 则AB= ( A.12m B.9 m C.6 m D.3 m 得 5.（达州期末)如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于 点E,AB=6,AD=4,则CE= A.1 B.2 C.3 D.4 答 B D E G 荞 第5题图 第6题图 第7题图 6.（锦州期末)如图所示，已知l1∥L2,AB∥CD,CE⊥2于点E,FG 题 ⊥2于点G,下列说法错误的是 A.AB=CD B.A,B两点间的距离就是线段AB的长度 C.CF=EG D.L1与L2两线之间的距离就是线段CD的长度 7.在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的 直线EF分别交AD于点E,交BC于点F,S△AOB=3,S△BOF=7, 则平行四边形ABCD的面积是 A.48 B.40 C.32 D.24 8.（宝鸡期末)现有一张平行四边形ABCD纸片，AD>AB,要求用 尺规作图的方法在边BC,AD上分别找点M,N,使得四边形 AMCV为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判 断正确的是 A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 甲 B B 第8题图 第9题图 9.(张掖期末)如图，在□ABCD中，P是CD边上一点，且AP,BP 分别平分∠DAB,∠CBA,若AD=2.5,AP=4,则□ABCD的面 积是 A.6 B.12 .2 5 D号 10.(运城期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=∠BCD= ∠ABD,DE平分∠ADB,则下列结论中不正确的是 ( A.AB=DC B.ED⊥CD C.∠A+∠DEC-∠ECB=90° D.∠DFC=∠ADE+∠BCE 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在四边形ABCD中，AB∥CD,要使四边形ABCD为平行四边 形，则需添加一个条件，这个条件可以是 12.（焦作期末)已知直线a∥b,点M到直线a的距离是5cm,到 直线b的距离是3cm,那么直线a和直线b之间的距离为 13.（太原期末)如图，口ABCD的两条对角线交于点O,且AB= 5,△OCD的周长为23，则口ABCD的两条对角线的长度之和 是 0 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在口ABCD中，BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°， 则∠BAE= 15.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中 点，CF交BE于点G,若BE=8,则GE=一。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(8分)如图，∠1=∠2，AD∥BC。求证：四边形ABCD是平行 四边形。 17.（驻马店期末·9分)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分 别在BC,AD上，且AF=CE。 (1)求证：AC,EF互相平分； (2)若∠CAD=40°，∠ACD=110°，求∠B的度数。 18.(白银期末·9分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,AE⊥BD于点E。 (1)用尺规作CF⊥BD于点F(要求保留作图痕迹，不要求写 作法与证明)； (2)求证：AE=CF。 D 19.（郑州二七区期末·9分)数学课上，老师让同学们证明命题 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”的正确性，小琪同 学先任意画出△ABC,再取边AC的中点O,连接B0并延长至 点D,使OB=OD,连接AD,CD,并写出了如下尚不完整的已 知和求证。 已知：如图，在四边形ABCD中，OA= ,OB=0D。 求证：四边形ABCD是 (1)补全已知和求证； (2)小琪同学的思路是利用三角形全等进行解题，请你帮他 完成证明过程。 0 20.(9分)某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示， 测得GD=CE=DF=50cm,AB=20cm,EF=80cm,∠GBA+ ∠FEC=180°，∠GFE=90°，已知AB∥CD∥EF。 (1)求证：四边形ACDB是平行四边形； (2)求椅子最高点G到地面EF的距离。 21.(成都双流区期末·10分)如图，☐ABCD的对角线AC与BD 相交于点0，其周长为20，且△AOB的周长比△B0C的周长 小4。 (1)求边AB和BC的长； (2)若BD=8,如图，过点C作CE⊥BD交BD于点E,且CE= 2,求AB和CD之间的距离。 22.（10分)【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中 点。直接写出DE和BC的关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中 点，若BC=5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°，求∠ADC的 度数； 【拓展】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E,点M,N 分别为AD,BC的中点，MN分别交AC,BD于点F,G, EF=EG。求证：BD=AC。 图1 图2 图3 23.（西安未央区期末·11分)综合与实践 【问题情境】 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为 主题开展数学活动。在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边 上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D'。 弥 【分析探究】 (1)如图1，当点D'恰好落在AB边上时，四边形D'BCE的形 状为 【问题解决】 封 (2)如图2，当E,F为CD边的三等分点时，连接FD'并延长， 交AB边于点G。试判断线段AG与BG的数量关系，并说 明理由； (3)如图3，当∠ABC=60°，∠DAE=45时，连接DD'并延长， 交BC边于点H。若口ABCD的面积为20，AD=4,请直接 线 写出线段D'H的长。 内 图1 图2 图3 不 酸 答 题 !