专题突破与巩固(5) 分式与分式方程-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（北师大版·新教材）

9.（x+2)(x-2)10.1011.-112.a+2b 13.解：(1)原式=4(x2+2xy+y2)=4(x+y)2; (2):当y=2,原分式计算结果为3，心x产2=3，解得 (2)原式=4x2(a-b)-(a-b)=(a-b)(4x2-1)= x=3。检验：当x=3时，x-2≠0。所以，x=3是原分 (a-b)(2x+1)(2x-1)。 式方程的解，即当y=2,x=3时，原分式计算结果 14.解：(1)(x-1)(x-9)=x2-x-9x+9=x2-10x+9, 为3。 (x+2)(x+4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8,:二次 20.解：设B型机器人每小时分拣快递x件，则A型机器 三项式x2+p%+q的常数项与(x-1)(x-9)的常数 项相同，而它的一次项与(x+2)（x+4)的一次项相 人每小时分拣快递(x+200)件，根据题意，得9000 x+200 同，∴.p=6,9=9; =8000 方程两边乘x(x+200),得9000x=8000(x (2)由(1)可知，x2+px+q=x2+6x+9=（x+3)2, ∴.x+px+q是完全平方式。 +200)。解得x=1600。检验：当x=1600时，x(x+ 15.解：(1)D； 200)≠0。所以，原分式方程的解为x=1600,且符合 (2)没有分解到最后，剩余步骤如下：原式=[（α-3）· 题意。 (a+1)]2=(a-3)2(a+1)2; 答：B型号机器人每小时分拣快递1600件。 (3)设x=4a2-4a,原式=(x-3)(x+5)+16=x2+ 21.解：（1)原式= 1 x+3 2x-15+16=x2+2x+1=(x+1)2=(4a2-4a+1)2 x-3-3+x=(x-3)(x+3) =(2a-1)4。 x-3 x+3-x+3 16.解：(1)原式=x2+4y+4y2-9y2=(x+2y)2-(3y)2 (x-3)(x+3)=(x-3)(x+3)=(x-3)(x+3) =[(x+2y)+3y][(x+2y)-3y]=(x+5y)(x-y); (2)原式=x2-10xy+25y2-16y2=(x-5y)2-(4y)2 《2)结果不能为0。理由如下：原式三x1-二= =[(x-5y）+4y][(x-5y)-4y]=(x-y)(x-9y): 3x x+22x-2=2(x-1=2,“要 (3)原式=x2+14xy+49y2-81y2=(x+7y)2-(9y)2 x(x-1)x(x-1)x(x-1)x(x-1) =[(x+7y)+9y][(x+7y)-9y]=(x+16y)(x- 使分式有意义，∴x≠0，.结果不会等于0。 2y)。 22.解：(1)设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个 专题突破与巩固（五） 1.C2.D3.A4.A5.C6.B7.B8.D9.B B品牌的篮球需(x+30)元。根据题意，得2500=2 10.D【解析】原方程去分母，得x+4+M(x-4)=M+ 4,∴.x+4+Mx-4M=M+4,.(1+M)x=5M,当1+ *2+0方程两边乘x(x+30),得2500(x+30)=2 x2000 M=0,即M=-1时，方程无解；当1+M≠0时，即M ×2000x。解得x=50。检验：当x=50时，x(x+30) ≠-1，把x=4代入(1+M)x=5M,得4+4M=5M, ≠0。所以，原分式方程的解为x=50,且符合题意。 解得M=4:把x=-4代入(1+M)x=5M,得-4- 则x+30=80。 4M=5M,解得M=-号。综上所述，M的位为-1或 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌 的篮球需80元； 4或-号。故选：D。 (2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品 牌篮球(50-a)个。根据题意，得50×(1+8%)(50 11.>12.12x2y213. 14.-7 -a)+80×0.9a≤3060，解得a≤20。 2 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球。 15.6【解析】由题意，可知甲每小时清点这批因书的号 23.解：(1)设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分 钟采摘2x千克的蔬菜。根据题意，得500_500-10， ÷31 ,设乙单独清点这批图书需要x小时，根据题 2x 方程两边乘2x,得1000-500=20x。解得x=25。检 喜，得2.4×（行+》=1-方方程两造来95，程 验，当x=25时，2x≠0。所以，原分式方程的解为x= 25。.2x=2×25=50。 2.4x+21.6=6x,解得x=6。检验：当x=6时，9x≠ 答：甲组每分采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘 0。所以，原分式方程的解为x=6。所以如果乙单独 25千克的蔬菜； 清点这批图书需要6小时。故答案为：6。 (2)A类蔬菜的单位面积产量大。理由如下：A类蔬菜 16.解：(1)原式=4+1-2=3； (2)原式=x+1. 1 的单位面积产量为0心（千克/平方米），B类蔬菜的单 x(x+1)(x-1)=x-1 17.解：原式=[a-3)(a+3)+91 a F[0+32+a+3÷(a+3)(a-3) 位面积产量为”2（千克/平方米）.9-”习 =300(a-2) 200a -。-9+9.(a+3(a-3》-。.(a+3)(a-3》- a2(a-2) a2(a-2) 300a-600-200a= a(a-2) a+3 a a+3 0a-2,a>6,a-6>0,a-2>0,a2>0, 100(a-6) a(a-3)=a2-3a,要使分式有意义，.a≠±3,0， .当a=-1时，原式=(-1)2-3×(-1)=4。 300.200 18.解：(1)2(x+1),检验； 100(a-6）>0,. a2(a-2） a >a(a-2)。A类蔬菜的 > x-3 3x (2)1-2x+=中，方程两边乘2(x+1),得 单位面积产量大； 2(x+1)-(x-3)=6x。解得x=1。检验：当x=1 (3)设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍(n为 时，2(x+1)≠0。所以，原分式方程的解为x=1。 正整数)，根据题意，得(2a-2+14)(a+a)=n(2a- 19架：1)表据题应，得所搭都分-（二，） 2)a,n8+是-2041又>6,0为整数，且 a-1 x2-1=x+1.y(x-y) n为正整数， ge8或0=5， n=4,1 ln=3。 xy-yx-y(x+1)(x-1)x-1 答：a的值为8或15。 专题突破与巩固（六） √1002-60=80(cm),即椅子最高点G到地面EF的 1.D2.B3.C4.A5.B6.D7.B8.C9.B 距离为80cm。 10.D【解析】A.AD∥BC,∴.∠A+∠ABC=180°，∠ADC 21.解：(1).·四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与 +∠BCD=180°，∠A=∠BCD,.∠ABC=∠ADC,∴.四 BD相交于点O,.AB=CD,DA=BC,OA=OC. 边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD,故A .·☐ABCD的周长为20，∴.2AB+2BC=20,.AB+BC 正确；B.∠A=∠ABD,.DA=DB,DE平分 =10,△A0B的周长比△B0C的周长小4，∴.BC+ ∠ADB,∴.DE⊥AB,又AB∥CD,.DE⊥CD,故B正确； OB +OC-(AB +OB +A)=4,..BC =AB+4,..AB C.DE⊥CD,∴.∠CDE=90°，.∠DEC+∠DCE= +AB+4=10,∴.AB=3,BC=7; 180°-∠CDE=90°，.·∠A=∠BCD,.∴.∠DCE=∠BCD (2)过点C作CF⊥AB于点F,图略。在△BAD和△DCB -∠ECB=∠A-∠ECB,∴.∠A+∠DEC-∠ECB= 中，：AB=CD,DA=BC,BD=DB,∴.△BAD≌△DCB ∠BCD+∠DEC-∠ECB=∠DEC+∠DCE=9O°，故C (SSS),BD=8,CE⊥BD于点E,且CE=2,.SARAD 正确；D.过点E作EG∥BC,交DC于，点G,图略 ∴.∠GEC=∠BCE,.∠DEF=∠GEC+∠DEGA =Sa=2BD·CE=7×8×2=8,.Sm=AB· ∠BCE,.·DE平分∠ADB,∴.∠ADE=∠FDE, 文.·∠DFC=∠FDE+∠DEF,∴.∠DFC=∠ADE =28ADcB =16,3CF=16,.CF=,AB C +∠DEF,∴.∠DFC≠∠ADE+∠BCE,故D错误。故 之间的距离为3。 16 选：D。 11.AB=CD(答案不唯一)12.2cm或8cm 13.3614.50° 2.解：(1)DE∥BC,DE=2BC: 15.2【解析】取BE的中点M,连接FM,CM,.·F为AE (2)连接BD,如图1，·E,F分别是边AB,AD的中点， 的中点，M为BE的中点，.MF=之AB,FM∥AB, ∴.EF∥BD,BD=2EF=4,∴.∠ADB=∠AFE=45°，.·BC =5,CD=3,∴.BD2+CD2=25,BC2=25,∴.BD2+CD 四边形ABCD是平行四边形，DC=AB,DC∥AB, =BC2,.∠BDC=90°，∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC= E为CD的中点，CE=2DC,CE=FM,CE∥ 135°： (3)证明：取DC的中点H,连接MH,NH。如图2。 FM,.四边形EFMC是平行四边形，.EG=GM, M,H分别是AD,DC的中点，∴.MH是△ADC的中位 BM=BM=2BE=2×8=4,BG=2×4=2。 线M/AC且MH=2AC,同理可得NH/BD且 故答案为：2。 NM=2BD。:EF=EG,∠EFG=LEGP,:M ∥AC,NH∥BD,∴.∠EFG=∠HMN,∠EGF= ∠HNM,∴.∠HMN=∠HNM,∴.MH=NH,∴.AC=BD。 16.证明：.∠1=∠2，∴.AB∥CD,又.AD∥BC,.四边 形ABCD是平行四边形。 17.解：(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC,即AF∥CE,又'AF=CE,.四边形AECF是平行 四边形，.AC,EF互相平分； 图 图 (2).·∠CAD=40°，∠ACD=110°，..在△ACD中」 23.解：(1)平行四边形； ∠D=180°-（∠CAD+∠ACD)=30°，四边形AB- (2)BG=2AG。理由如下：：四边形ABCD是平行四 CD是平行四边形，∴.∠B=∠D=30°。 边形，∴.AB∥CD,AB=CD,又·E,F为CD边的三等 18.解：(1)如图所示，CF即为所求； 分点，DE=EF=CF=3DC,由折叠可知：ED=ED, D ∠AED=∠AED',..ED=ED'=EF,..∠ED'F= ∠EFD',.'∠DED'=∠ED'F+∠EFD'=∠AED+ ∠AED',.∠AED'=∠ED'F,∴.AE∥FG,.四边形 E G AEFG是平行四边形，BF=AC,BF=号DC,AB= (2)四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,AE ⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,∴.∠AEO=∠CFO= CD,AG=34B,则BG=号AB,BG=2AG; 90°，在△AOE和△COF中，.·∠AE0=∠CF0,∠AOE =∠COF,OA=OC,∴.△AOE≌△COF(AAS),.∴.AE= (3)√2。【解析】由折叠可 CF。 知：∠DAE=∠D'AE=45°，AD D' =AD',.∠DAD'=90°，则 19.解：(1)0C,平行四边形； (2)证明：在△AOD和△COB中，.·OA=OC,∠AOD= △DAD'为等腰直角三角形， D ·.∠ADH=∠AD'D=45°，延长 ∠C0OB,OD=OB,∴.△AOD≌△COB(SAS),∴.AD= AD'交BC于M,如图.则∠MD'H=∠AD'D=45 BC,∠OAD=∠OCB,.AD∥BC,.四边形ABCD是平 .·四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∴.∠DHM 行四边形。 =∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD'=90°，即 20.(解：(1)证明：：AB∥CD∥EF,∠GBA+∠FEC=180°， AM⊥AD,.MD'=MH,.□ABCD的面积为20，AD=4, ,.∠ABG=∠CDG,∠ACD=∠FEC,.∠ACD+ 即AD·AM=20,∴.AM=5,则MD'=AM-AD'=AM-AD ∠CDG=180°，∴.AC∥BD,∴.四边形ACDB是平行四 =1,.D'H=√MD2+M㎡=√12+12=2。 边形； (2).四边形ACDB是平行四边形，∴.CD=AB=20cm, 期末综合素养评价（一） 延长GD交EF于点H,图略。由(1)可知，DH∥AE,CD 1.D2.C3.A4.C5.A6.C7.D8.A9.A ∥EH,∴.四边形CEHD是平行四边形，∴.DH=CE= 10.D【解析】四边形ABCD是平行四边形，∴.AC,BD 50,EH=CD =20,GH GD DH =100,HF =EF- 互相平分，0是AC的中点，0A=0C=号4C=3。 EH=60.'∠GFH=90°，∴.GF=√Gf-HF= ·△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，》数学·八年级下 专题突破与巩固（五） B 高升无航 做好题考高分 分式与分式方程 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 号 三 总分 得分 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 咖r 封 中只有一个是正确的) 1.下列代数式中，是分式的是 .2 B空 C. x-y D 线2.（宝丰期末）维生素D有助于身体吸收钙和磷。成人每天维生 素D的摄入量约为0.0000046克。数据“0.0000046”用科 学记数法表示为 ( A.0.46×10-7 B.4.6×10 内 C.4.6×10-7 D.4.6×10-6 3.下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是 1 A 2x2+1 B.2x+1 不 1 C3x-1 D 1 2x2 量 4解分式方程，2+片是-3时，去分母后变形为 得 A.2-x+2=3(x-1) B.2-(x+2)=3(1-x) C.2-(x+2)=3(x-1) D.2+(x+2)=3(x-1) 5.下列各式从左到右的变形，一定正确的是 b62 A. B.6=b+1 答 ”aa+1 C. b ab D.-b+1=-6+1 荞 a a2 a 6.(酒杂期末)如果把分式，中的，y同时节大为原来的2信， 题 那么分式的值 ( A箱小为原来的} B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.不变 7.已知关于x的方程a,=1的解是负数，则a的取值范围是 “x+1 ( A.a<1 B.a<1且a≠0 C.a≤1 D.a≤1或a≠0 8.某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服 未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换 设备前提高了20%，结果刚好提前5天完成订单任务。设该厂 家更换设备前每天生产x套校服，则可列方程为 880_880+5 B.880=880+5 0.2xx x0.2x c.880_880-5 D.880-880 +5 x1.2x x1.2x 9如果号-子，且a+b7,那么号湾于 () B.-7 C.0 D.无意义 10.(平顶山期末)若关于x的方程1 之4+46无解则 M的值为 A.-1 B.4 C.-9 D.以上都对 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.比较大小：(-3)° 31。（填“<”“>”或“=”) 式3”4的最简公分母是 12.分式1。，1 13.已知。-6-2，则的的值为 14(项城潮术)已知：分式好会，当x=1时，分式没有意义：当 x=6时，分式的值为零，则a2-b2的值为 15.(达州期末)甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批 图书，甲3h清点完这批图书的？，乙加人清点剩余的图书， 两人合作2.4h清点完剩余的图书。如果乙单独清点这批图 书需要 小时。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分)计算： (1)(2)2+(m-3)°-1-2； .x2-1 (2)(1+1)÷￥ 17.(9分)化简并求值：(a-3+9 +a3)2g再从-3，-10,3 中选择一个合适的a值代入求值。 18.(焦作期末·9分)下面是某同学解分式方程12(x+1) x-3 的部分过程： 解：方程两边乘 ,得1-（x-3)=6x, 去括号，得1-x+3=6x, 移项、合并同类项，得-7x=-4, 系養化为1，得x=手。 (1)这位同学解题过程中横线处应填 ,解题过程缺 少的步骤是 (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存 在错误，请写出正确的解答过程。 19.（沈阳皇姑区期末·9分)上课时老师在黑板上书写了一个关 于分式计算的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式 如吓号y (1)请求出所捂部分化简后的结果； (2)当y=2,x为何值时，原分式计算结果为3。 20.(9分)中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI 调度等智能装备系统让快递“跑”得更快。某分拣仓库自采 用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升。 该仓库主要使用A,B两种不同型号的分拣机器人，已知A型 机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器 人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件快 递所用时间相等。问B型机器人每小时分拣快递多少件？ 21.(9分)定义新运算：对于两个代数式M,N(M≠0，N≠0)，规 定N装N=大-动例如3※2=号号石 (1)化简：(3+x)※(x-3); (2)子※“号的结果能否为零？若能，请计算比时x的值： 若不能，请写出理由。 22.（兰州城关区期末·10分)某校在商场购进A,B两种品牌的 篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费 了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数 量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球 多花30元。 (1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A,B两种品牌篮球共50个，恰逢商场 对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第 一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价 的九折出售，如果该校此次购买A,B两种品牌篮球的总 费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B 品牌篮球？ 23.（郑州中原区期末·10分)为了推进五育并举，促进学生全 面发展，各校积极建设劳动实践基地。某校有一块长方形劳 动实践基地，长为(2a-2)米，宽为a米(a>6)。 (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲、乙两组志愿弥 者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而 甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任 务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘 多少千克的蔬菜？ 封 (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为α米的正方形 地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬 菜，最终收获A类蔬菜300kg,B类蔬菜200kg,哪类蔬菜 的单位面积产量大？请说明理由； 线 (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m,宽 增加am,若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍， 求整数a的值。 (2a-2)m 内 ®@ a m A类蔬莱 B类蔬菜 ②@ a m 不 得 答 © !