专题突破与巩固(2) 不等式与不等式组-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（北师大版·新教材）

参考答案 (2).△ABC的周长为20，AC=8,.AB+BC=12, ∴.AB+BE+EC=12,即2DE+2EC=12,∴.DE+EC= 专题突破与巩固（一） 6,.DC=DE+EC=6。 1.B2.A3.B4.D5.D6.A7.C8.B9.A B 21.解：(1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC= 10.D【解析】①连接PA,PB,PC,如图，.点D,E,F分 30°，∴.∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°，BD= 别是，点P关于直线AC,AB,BC的对称点，∴.AC垂直 BC,∠B=60°，∴.△BCD为等边三角形，∴.∠DCB= 平分PD,AB垂直平分PE,BC垂直平分PF,.CD= ∠B=60°，BC=CD=DB,..∠ACD=∠ACB-∠DCB CP,AD =AP,AP AE,BP BE,BP BF,CP CF. =90°-60°=30°。∠ACD=∠BAC=30°，.△ACD ∴.AD=AP=AE,故①正确；②AD=AP=AE, 为等腰三角形，AD=DC,.AB=AD+DB=DC+BC ∴.∠APD=∠ADP,∠APE=∠AEP,:∠APE+∠AEP +∠APD+∠ADP=180°，∴.∠APE+∠APD=90°，即 BC+BC=2BC,..BC=AB; ∠DPE=90°，故②正确；③.·CD=CP,AD=AP (2)如图，过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F,即 .∠CPD=∠CDP,∠APD=∠ADP,.∠ADC= CF为点C到直线AB的距离，由条件可知AB=AC ∠APC,同理∠AEB=∠APB,∠BFC=∠BPC 4,∴.△ABC为等腰三角形，∴.∠ABC=∠ACB。 .∠ADC+∠BFC+∠BEA=∠APC+∠BPC+∠BPA ∠ABC=15°，.∠ABC=LACB=15°，∠CAF= =360°，故③正确。综上所述，正确的是①②③。故 ∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°。在△CAF中，CF 选：D。 ⊥AB,∠CAF=30°，由(1)中结论可推出：在直角三角 形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴.CF= 2AC,CF=2×4=2。 A 11.两个角相等的三角形是等腰三角形12.5 18.50°149 22.解：(1)48； 15.3或4.8【解析】在△ABC中，AB=12cm,AC= (2)①设∠ADB=a,则∠BCA=2∠ADB=2a,:AB= 10cm,∠A=60°，点P从，点B出发以每秒2cm的速 AD,∠ADB=&,∴.∠ABD=∠ADB=a,∠BAD= 度向点A运动，点Q从，点A同时出发以每秒1cm的 180°-2a,.·AB=AC,∠BCA=2a,.∠ABC=∠BCA 速度向，点C运动，设运动时间为t秒，∴.BP=2tcm, =2a,∴.∠BAD+∠ABC=180°-2a+2a=180°， AQ=tcm,.∴.AP=AB-BP=(12-2t)cm,.△APQ .AD∥BC; 为直角三角形，∠A=60°，.当∠AQP=90°时，则 ②过点D作DF⊥AC于F,如图所示。.·AD∥BC, ∴.∠EAD=∠ABC=2a,∠DAC=∠BCA=2a, LAPQ=30°，AQ=2AP,t=2(12-2),解得 .∠EAD=∠DAC=2a,·.AD是∠EAC的平分线，又 t=3;当∠APQ=90°时，则∠AQP=30°，∴.AP= DE⊥AB,DE=6cm,DF⊥AC,.DF=DE=6cm, .点D到AC的距离是6cm。 24012-21=7×1,解得1=4.8。综上所述，当1 1 E 的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形。故答案 为：3或4.8。 16.解：：∠ACD=∠B+∠BAC,∠B=25°，∠BAC=31°， ..∠ACD=25°+31°=56°。.AD⊥BD,.∴.∠D=90° CB平分∠ACD,六∠BCD=子LACD=28, 23.证明：(1)0C平分∠A0B,PE⊥0A,PF⊥0B,PE EPF: .∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118 17.解：在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,DE⊥AB (2)如图2，作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N。 于点E,CD=3,∴.DE=CD=3,在Rt△ADE中，AD= OC平分∠AOB,∴.PM=PN。∠OMP=∠ONP= 5,由勾股定理，得AE2+DE2=AD2,∴.AE2+32=52,解 ∠MON=90°，.∠MPN=90°。：∠EPF=90° ∴.∠MPE=90°-∠EPN=∠NPF。在△PME和 得AE=4(负值已舍去)。 △PNF中，.∠MPE=∠NPF,PM=PN,∠PME= 18.解：(1)由多边形内角和的计算方法，得180°×(x- 2)=1080°，解得x=8,即这个正多边形为正八边形， ∠PNF=90°，∴.△PME≌△PWF(ASA),∴.PE=PF; (3)如图3，在OF上取一点G,使OG=OE,连接PG 所以正八边形的周长为8×2=16： .OC平分∠AOB,.∠POG=∠POE。又.OP=OP, (2):正八边形每个内角的度数为1080°÷8=135°， ∴.△POG≌△POE(SAS),∴.∠OGP=∠OEP,PG= ∴.正n边形的每个外角的度数为135°-63°=72°， PE,.∠PGF+∠OEP=∠PGF+∠OGP=180°。 360°÷72°=5，.∴.n的值为5。 .'∠AOB=50°，∠EPF=130°，且∠AOB+∠EPF+ 19.解：（1)设∠ABD=x,.AB=AC,∴.∠ABC=∠C ∠PFG+∠OEP=360°，.·.∠PFG+∠OEP=180° :BD平分∠ABC,∠ABD=LCBD=x,.∠ABC= ∴.∠PGF=∠PFG,∴.PG=PF,∴.PE=PF。 ∠C=2x,:BD=BC,∴∠BDC=∠C=2x,由三角形 内角和定理，得2x+2x+x=180°，解得x=36°，∴.∠A M =∠BDC-∠ABD=2x-x=x=36°； (2)DE⊥AB。理由如下：根据(1)，得∠A=∠ABD, .AD=BD,.·点E为线段AB的中点，.DE⊥AB。 20.解：(1).·AD⊥BC,BD=DE,EF垂直平分AC,∴.AB= AE=EC,∴.∠C=∠CAE,∠ABD=∠AED,:∠BAE= 50,∠4BD=7×(180°-50)=65，∠C 图2 图3 专题突破与巩固（二） 7LABD=32.5: 1.D2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.A9.D 10.C【解析】由题意知-2⊙x=-2x-4,则-2x-4> -2,解得<-1：由题意知x07=7+-2= (2)设租用A种货车m辆，则租用B种货车(10-m) -2,则子-2≥-8，解得≥-4，故原不等式组的解 辆。根据题意，得0+81850：解得3≤ m≤5。：m为正整数，∴.m的值是3,4或5，∴.当m= 集为-4≤x<-1,它的所有非正整数解为-4，-3， 3时，10-m=7;当m=4时，10-m=6;当m=5时， -2,共3个。故选：C。 10-m=5。∴.共有3种运输方案，方案一：租用A种 11.x-5≥3x12.113.-314.八 货车3辆，B种货车7辆；方案二：租用A种货车4 152≤x<5【解折】由题志，得6-4.014,2 辆，B种货车6辆；方案三：租用A种货车5辆，B种货 车5辆； 解不等式①，得x<5。解不等式②，得x≥2。.2≤x (3)方案一所需运费为600×3+450×7=4950（元）： <5。故答案为：2≤x<5。 方案二所需运费为600×4+450×6=5100（元）；方 16.解：(1)x≤1； 案三所需运费为600×5+450×5=5250（元）。 (2)x≥-3； 4950<5100<5250,∴.政府应该选择方案一，才 (3)将不等式①②的解集在数轴上表示如图所示； 能使运费最少，最少运费是4950元。 专题突破与巩固（三） -5-4-3-2-102345+ 1.C2.C3.D4.B5.A6.C (4)-3≤x≤1。 7.728.49.140 17.解：(1)移项，得9x-7x>3+1。合并同类项，得2x> 4。系数化为1，得x>2; 10.√3【解析】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，又 ∠ACB=60°，∴.∠BCQ=120°，点D是AC边的中 r2(x-1)<3x-1,① 点，∴.CD=2,当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时， (2)售，2，② 解不等式①，得x>-1。 3 ∠C00=30°，C0=2CD=1,D0=V22-了= 解不等式②，得x≤3。.原不等式组的解集为：-1< x≤3。 √3，.DQ的最小值是√3。故答案为：W5。 18解：1)BM=18g-324=25,25>23.9该运动 81 员的BMI不正常； 2≥18.5， B (2)设他的体重为xkg,根据题意，得 解得 11.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求； 25 ≤23.9， (2)如图所示，△A,BC2即为所求。 74≤x≤95.6. 两 答：他的体重不少于74kg,不超过95.6kg。 19.解：(1)根据题意，得5x+50<200; (2)设可以放m个玻璃球，根据题意，得10m+50≤ C 200,解得m≤15，∴.m的最大值为15。 B 答：使水不溢出杯子，最多能放15个玻璃球。 -4-32192345元 20.解：(1)2x=)+2a0①+②，得3x+3y=3a+ B lx+4y=2+a,② 14 3,则x+y=a+1,-1<x+y≤3，.-1<a+1≤3， 15 獬得-2<a≤2，即a的取值范围是-2<a≤2； 12.解：(1).∠B=19.11°，∠ACD=40.89°，∴.∠BAC= (2)由不等式2ax-2a>1-x,得(2a+1)x>2a+1, 180°-∠B-∠ACB=180°-19.11°-40.89°=120° 不等式2ax-2a>1-x的解集为x<1,∴.2a+1< 即∠BAD=120°，所以旋转中心为点A,旋转的度数为 0,解得a<-0.5,又.-2<a≤2，∴.-2<a<-0.5,a 120°： 为整数，∴.a=-1。 (2):△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合， 21.解：(1)设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品 .∴.∠EAD=∠BAC=120°，AE=AC,AD=AB=6, 的单价是y元，根据题意，得0十880：解得 .∠BAE=360°-120°-120°=120°，点C恰好为 ∫x=15, AD的中点，AC=)AD=3,.AE=3。 Ly=20 13.解：(1)成立。证明：.·△ABC和△ADE都是等腰直 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单 角三角形，∴.AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A逆 价是20元； 时针旋转a,∴.∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE (2)设购买m件B型文创用品，则购买(40-m)件A (SAS),∴.BD=CE; 型文创用品，根据题意，得15(40-m)+20m≤725， (2)①.AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,.△ABD 解得m≤25，∴.m的最大值为25。 ≌△ACE(SAS),∴.∠ACE=∠ABD=45°； 答：B型文创用品最多可以购买25件。 22.解：(1)②③； ②AB=AC=2V2,∴.BC=√AB2+AC2=4,:∠ACE =45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，.·△ABD≌ (2):x=m是方程组{y3,与不等式x+y>1 ly=n △ACE,∴.BD=CE,.BC+CD=BD=CE=4+2=6, {+2n=6,解得m=2g-2,m 的“理想解”，.{2m+n=39 .DE=√CE+CD2=√62+22=210： 1n=4-9, 专题突破与巩固（四） +n>1,.2q-2+4-q>1,解得q>-1。 1.C2.B3.D4.D5.A6.A7.B 23.解：(1)设食品有x箱，矿泉水有y箱。根据题意，得 8.C【解析】(2n+3)2-1=(2n+3+1)(2n+3-1)= y三8：解得仁8， (2n+4)(2n+2)=4(n+2)(n+1),:n为任意整数， y=150。 .4(n+2)(n+1),既能被2整除又能被4整除。故 答：食品有260箱，矿泉水有150箱； 选：C。》数学·八年级下 专题突破与巩固（二）】 B 高升无航 做好题考高分 不等式与不等式组 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 号 三 总分 得 分 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 r 封 中只有一个是正确的) 1.南昌市春季某日的最高气温是22℃，最低气温是12℃，则南 昌市当日气温t(℃)的变化范围是 （) A.t≤22 B.t≥12 C.12<t<22 D.12≤t≤22 线 2.不等式x-2>0的解集在数轴上表示为 A.-10i23 B.10123 C.-i0123 D.10123 毁 3.已知a<b,下列不等式变形中正确的是 内 A.a-2>b-2 R号>号 i C.-2a>-2b D.5a+2>5b+2 4不等式 x-2>1,去分母，得 ( 4 不 A.2(x-1)-x-2>1 B.2(x-1)-x+2>1 C.2(x-1)-x-2>4 D.2(x-1)-(x-2)>4 ) 量 5.已知点P(2a+6,4+a)在第二象限，则a的取值范围是（ A.-4<a<-3 B.a<-3 C.a>-3 D.a>-4 得 6.如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷 板上，则表示三人体重A,B,C的大小关系正确的是（ 屋是 答 A.B>A>C B.B>C>A C.C>A>B D.C>B>A 7.如图，直线l:y=ax+b经过点A(-2,-1),与直线m:y=cx+ 拼 d交于点B,点B的横坐标是1，则不等式组cx+d>ax+b> -1的解集为 题 烂 纸 m A.-1<x<1B.-2<x<1C.0<x<1 D.-2<x<0 8.(沈阳皇姑区期末)若不等式(n-3)x>2的解集是七<2 -3 则n的取值范围是 () A.n<3 B.n>3 C.n≠3 D.n≤3 x+1≥3， 9.关于x的一元一次不等式组{ 。有解，则a的取值 4x-16<-2a 范围是 A.a≥4 B.a>4 C.a≤4 D.a<4 10.(平顶山期末)已知一种新运算定义为：a⊙b=ab+a-2,则 -2⊙x>-2, 不等式组 -8 的非正整数解有 x⊙ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 12.（项城期末)若(m-2)x2m-1-1>5是关于x的一元一次不等 式，则m的值是 13.不等式2-3>-14-多的最小负整数解是 14.某品牌电脑，成本价3000元，售价4125元，现打折销售，要 使利润率不低于10%，最低可以打 折。 15.(达州期末)按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结 果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才 停止，则x的取值范围为 输入x ×3H -1 输出 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） r2x+1≤3，① 16.（酒泉期末·8分)解不等式组 请结合题意 l3x-1≥x-7。② 填空，完成本题的解答。 (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； -5-4-3-2-1012 (4)原不等式组的解集为 17.（10分)解下列不等式（组）： (1)9x-1>7x+3; 2(x-1)<3x-1, (2)4x_3x-1≤2。 34 18.(成都一诊·9分)身体质量指数(BMI)的计算公式是：BMI =行。这里0为身体的体重（单位：kg),h为身高（单位：m)。 男性的BMI指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9。 (1)有一位男运动员身高1.8m,体重81kg,请问他的BMI正 常吗？ (2)有一位成年男性身高2m且他的BMI正常，请求出他的 体重范围。 19.（西安长安区期末·9分)如图1，一个容量为200cm3的杯子 中装有50cm3的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果 水没有满，如图2所示。 (1)设每颗玻璃球的体积为xcm,列出x满足的不等式； (2)已知每放一个玻璃球水面上升10cm3,若使水不溢出杯 子，最多能放几个小球？ 591147711417 图1 图2 2x-y=1+2a, 20.(9分)已知方程组 的解满足-1<x+y≤3。 x+4y=2+a (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式2ax-2a>1-x的解集为x<1。 21.（太原期末·9分)某班级组织的社会实践活动“我是夜市小 摊主”，分成甲、乙、丙三组开展活动。三个小组均购买A,B 两种款式的文创用品，其中甲、乙两组购买记录如下表。 组别A型文创用品（件） B型文创用品（件） 合计金额（元） 甲 20 25 800 乙 10 20 550 (1)求A,B两种型号文创用品的单价； (2)丙小组计划购买A,B两种型号的文创用品共40件，预算 不超过725元，则B型文创用品最多可以购买几件？ 22.(焦作期末·10分)定义：使方程（组）与不等式（组）同时成 立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想 解”。例如： 已知方程2x-1=1与不等式x+1>0,当x=1时，2x-1= 2×1-1=1,1+1=2>0同时成立，则称“x=1”是方程2x- 1=1与不等式x+1>0的“理想解”。 问题解决： (1)请判断方程3x-5=4的解是此方程与以下哪些不等式 (组)的“理想解” (直接填写序号)； ①2x-3>3-1;②2(x-1)≤4,8+1>0， lx-2≤1； (2)若是方程组+26：与不等式+y>1的理 ly=n 12x +y=3q 想解”，求q的取值范围。 23.（成都武侯区期末·11分)政府紧急组织一批物资送往灾区。 现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水 多110箱。 (1)求食品和矿泉水各有多少箱？ 弥 (2)现计划租用A,B两种货车共10辆，一次性将所有物资送 到群众手中，已知A种货车最多可装食品40箱和矿泉水 10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通 过计算帮助政府设计共有几种运输方案？ 封 (3)在(2)的条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货 车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使 运费最少？最少运费是多少？ 线 内 酸 答 题