专题突破与巩固(1) 三角形的证明及其应用-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（北师大版·新教材）

参考答案 (2).△ABC的周长为20，AC=8,.AB+BC=12, ∴.AB+BE+EC=12,即2DE+2EC=12,∴.DE+EC= 专题突破与巩固（一） 6,.DC=DE+EC=6。 1.B2.A3.B4.D5.D6.A7.C8.B9.A B 21.解：(1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC= 10.D【解析】①连接PA,PB,PC,如图，.点D,E,F分 30°，∴.∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°，BD= 别是，点P关于直线AC,AB,BC的对称点，∴.AC垂直 BC,∠B=60°，∴.△BCD为等边三角形，∴.∠DCB= 平分PD,AB垂直平分PE,BC垂直平分PF,.CD= ∠B=60°，BC=CD=DB,..∠ACD=∠ACB-∠DCB CP,AD =AP,AP AE,BP BE,BP BF,CP CF. =90°-60°=30°。∠ACD=∠BAC=30°，.△ACD ∴.AD=AP=AE,故①正确；②AD=AP=AE, 为等腰三角形，AD=DC,.AB=AD+DB=DC+BC ∴.∠APD=∠ADP,∠APE=∠AEP,:∠APE+∠AEP +∠APD+∠ADP=180°，∴.∠APE+∠APD=90°，即 BC+BC=2BC,..BC=AB; ∠DPE=90°，故②正确；③.·CD=CP,AD=AP (2)如图，过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F,即 .∠CPD=∠CDP,∠APD=∠ADP,.∠ADC= CF为点C到直线AB的距离，由条件可知AB=AC ∠APC,同理∠AEB=∠APB,∠BFC=∠BPC 4,∴.△ABC为等腰三角形，∴.∠ABC=∠ACB。 .∠ADC+∠BFC+∠BEA=∠APC+∠BPC+∠BPA ∠ABC=15°，.∠ABC=LACB=15°，∠CAF= =360°，故③正确。综上所述，正确的是①②③。故 ∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°。在△CAF中，CF 选：D。 ⊥AB,∠CAF=30°，由(1)中结论可推出：在直角三角 形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴.CF= 2AC,CF=2×4=2。 A 11.两个角相等的三角形是等腰三角形12.5 18.50°149 22.解：(1)48； 15.3或4.8【解析】在△ABC中，AB=12cm,AC= (2)①设∠ADB=a,则∠BCA=2∠ADB=2a,:AB= 10cm,∠A=60°，点P从，点B出发以每秒2cm的速 AD,∠ADB=&,∴.∠ABD=∠ADB=a,∠BAD= 度向点A运动，点Q从，点A同时出发以每秒1cm的 180°-2a,.·AB=AC,∠BCA=2a,.∠ABC=∠BCA 速度向，点C运动，设运动时间为t秒，∴.BP=2tcm, =2a,∴.∠BAD+∠ABC=180°-2a+2a=180°， AQ=tcm,.∴.AP=AB-BP=(12-2t)cm,.△APQ .AD∥BC; 为直角三角形，∠A=60°，.当∠AQP=90°时，则 ②过点D作DF⊥AC于F,如图所示。.·AD∥BC, ∴.∠EAD=∠ABC=2a,∠DAC=∠BCA=2a, LAPQ=30°，AQ=2AP,t=2(12-2),解得 .∠EAD=∠DAC=2a,·.AD是∠EAC的平分线，又 t=3;当∠APQ=90°时，则∠AQP=30°，∴.AP= DE⊥AB,DE=6cm,DF⊥AC,.DF=DE=6cm, .点D到AC的距离是6cm。 24012-21=7×1,解得1=4.8。综上所述，当1 1 E 的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形。故答案 为：3或4.8。 16.解：：∠ACD=∠B+∠BAC,∠B=25°，∠BAC=31°， ..∠ACD=25°+31°=56°。.AD⊥BD,.∴.∠D=90° CB平分∠ACD,六∠BCD=子LACD=28, 23.证明：(1)0C平分∠A0B,PE⊥0A,PF⊥0B,PE EPF: .∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118 17.解：在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,DE⊥AB (2)如图2，作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N。 于点E,CD=3,∴.DE=CD=3,在Rt△ADE中，AD= OC平分∠AOB,∴.PM=PN。∠OMP=∠ONP= 5,由勾股定理，得AE2+DE2=AD2,∴.AE2+32=52,解 ∠MON=90°，.∠MPN=90°。：∠EPF=90° ∴.∠MPE=90°-∠EPN=∠NPF。在△PME和 得AE=4(负值已舍去)。 △PNF中，.∠MPE=∠NPF,PM=PN,∠PME= 18.解：(1)由多边形内角和的计算方法，得180°×(x- 2)=1080°，解得x=8,即这个正多边形为正八边形， ∠PNF=90°，∴.△PME≌△PWF(ASA),∴.PE=PF; (3)如图3，在OF上取一点G,使OG=OE,连接PG 所以正八边形的周长为8×2=16： .OC平分∠AOB,.∠POG=∠POE。又.OP=OP, (2):正八边形每个内角的度数为1080°÷8=135°， ∴.△POG≌△POE(SAS),∴.∠OGP=∠OEP,PG= ∴.正n边形的每个外角的度数为135°-63°=72°， PE,.∠PGF+∠OEP=∠PGF+∠OGP=180°。 360°÷72°=5，.∴.n的值为5。 .'∠AOB=50°，∠EPF=130°，且∠AOB+∠EPF+ 19.解：（1)设∠ABD=x,.AB=AC,∴.∠ABC=∠C ∠PFG+∠OEP=360°，.·.∠PFG+∠OEP=180° :BD平分∠ABC,∠ABD=LCBD=x,.∠ABC= ∴.∠PGF=∠PFG,∴.PG=PF,∴.PE=PF。 ∠C=2x,:BD=BC,∴∠BDC=∠C=2x,由三角形 内角和定理，得2x+2x+x=180°，解得x=36°，∴.∠A M =∠BDC-∠ABD=2x-x=x=36°； (2)DE⊥AB。理由如下：根据(1)，得∠A=∠ABD, .AD=BD,.·点E为线段AB的中点，.DE⊥AB。 20.解：(1).·AD⊥BC,BD=DE,EF垂直平分AC,∴.AB= AE=EC,∴.∠C=∠CAE,∠ABD=∠AED,:∠BAE= 50,∠4BD=7×(180°-50)=65，∠C 图2 图3 专题突破与巩固（二） 7LABD=32.5: 1.D2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.A9.D 10.C【解析】由题意知-2⊙x=-2x-4,则-2x-4> -2,解得<-1：由题意知x07=7+-2= (2)设租用A种货车m辆，则租用B种货车(10-m) -2,则子-2≥-8，解得≥-4，故原不等式组的解 辆。根据题意，得0+81850：解得3≤ m≤5。：m为正整数，∴.m的值是3,4或5，∴.当m= 集为-4≤x<-1,它的所有非正整数解为-4，-3， 3时，10-m=7;当m=4时，10-m=6;当m=5时， -2,共3个。故选：C。 10-m=5。∴.共有3种运输方案，方案一：租用A种 11.x-5≥3x12.113.-314.八 货车3辆，B种货车7辆；方案二：租用A种货车4 152≤x<5【解折】由题志，得6-4.014,2 辆，B种货车6辆；方案三：租用A种货车5辆，B种货 车5辆； 解不等式①，得x<5。解不等式②，得x≥2。.2≤x (3)方案一所需运费为600×3+450×7=4950（元）： <5。故答案为：2≤x<5。 方案二所需运费为600×4+450×6=5100（元）；方 16.解：(1)x≤1； 案三所需运费为600×5+450×5=5250（元）。 (2)x≥-3； 4950<5100<5250,∴.政府应该选择方案一，才 (3)将不等式①②的解集在数轴上表示如图所示； 能使运费最少，最少运费是4950元。 专题突破与巩固（三） -5-4-3-2-102345+ 1.C2.C3.D4.B5.A6.C (4)-3≤x≤1。 7.728.49.140 17.解：(1)移项，得9x-7x>3+1。合并同类项，得2x> 4。系数化为1，得x>2; 10.√3【解析】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，又 ∠ACB=60°，∴.∠BCQ=120°，点D是AC边的中 r2(x-1)<3x-1,① 点，∴.CD=2,当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时， (2)售，2，② 解不等式①，得x>-1。 3 ∠C00=30°，C0=2CD=1,D0=V22-了= 解不等式②，得x≤3。.原不等式组的解集为：-1< x≤3。 √3，.DQ的最小值是√3。故答案为：W5。 18解：1)BM=18g-324=25,25>23.9该运动 81 员的BMI不正常； 2≥18.5， B (2)设他的体重为xkg,根据题意，得 解得 11.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求； 25 ≤23.9， (2)如图所示，△A,BC2即为所求。 74≤x≤95.6. 两 答：他的体重不少于74kg,不超过95.6kg。 19.解：(1)根据题意，得5x+50<200; (2)设可以放m个玻璃球，根据题意，得10m+50≤ C 200,解得m≤15，∴.m的最大值为15。 B 答：使水不溢出杯子，最多能放15个玻璃球。 -4-32192345元 20.解：(1)2x=)+2a0①+②，得3x+3y=3a+ B lx+4y=2+a,② 14 3,则x+y=a+1,-1<x+y≤3，.-1<a+1≤3， 15 獬得-2<a≤2，即a的取值范围是-2<a≤2； 12.解：(1).∠B=19.11°，∠ACD=40.89°，∴.∠BAC= (2)由不等式2ax-2a>1-x,得(2a+1)x>2a+1, 180°-∠B-∠ACB=180°-19.11°-40.89°=120° 不等式2ax-2a>1-x的解集为x<1,∴.2a+1< 即∠BAD=120°，所以旋转中心为点A,旋转的度数为 0,解得a<-0.5,又.-2<a≤2，∴.-2<a<-0.5,a 120°： 为整数，∴.a=-1。 (2):△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合， 21.解：(1)设A型文创用品的单价是x元，B型文创用品 .∴.∠EAD=∠BAC=120°，AE=AC,AD=AB=6, 的单价是y元，根据题意，得0十880：解得 .∠BAE=360°-120°-120°=120°，点C恰好为 ∫x=15, AD的中点，AC=)AD=3,.AE=3。 Ly=20 13.解：(1)成立。证明：.·△ABC和△ADE都是等腰直 答：A型文创用品的单价是15元，B型文创用品的单 角三角形，∴.AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A逆 价是20元； 时针旋转a,∴.∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE (2)设购买m件B型文创用品，则购买(40-m)件A (SAS),∴.BD=CE; 型文创用品，根据题意，得15(40-m)+20m≤725， (2)①.AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,.△ABD 解得m≤25，∴.m的最大值为25。 ≌△ACE(SAS),∴.∠ACE=∠ABD=45°； 答：B型文创用品最多可以购买25件。 22.解：(1)②③； ②AB=AC=2V2,∴.BC=√AB2+AC2=4,:∠ACE =45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，.·△ABD≌ (2):x=m是方程组{y3,与不等式x+y>1 ly=n △ACE,∴.BD=CE,.BC+CD=BD=CE=4+2=6, {+2n=6,解得m=2g-2,m 的“理想解”，.{2m+n=39 .DE=√CE+CD2=√62+22=210： 1n=4-9, 专题突破与巩固（四） +n>1,.2q-2+4-q>1,解得q>-1。 1.C2.B3.D4.D5.A6.A7.B 23.解：(1)设食品有x箱，矿泉水有y箱。根据题意，得 8.C【解析】(2n+3)2-1=(2n+3+1)(2n+3-1)= y三8：解得仁8， (2n+4)(2n+2)=4(n+2)(n+1),:n为任意整数， y=150。 .4(n+2)(n+1),既能被2整除又能被4整除。故 答：食品有260箱，矿泉水有150箱； 选：C。》》数学·八年级下 专题突破与巩固（一） B 高升无航 做好题考高分 三角形的证明及其应用 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 号 三 总分 得分 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 r 封 中只有一个是正确的)》 1.如图，在△ABC中，若∠A=20°，∠B=30°，则∠ACD等于 ( A.10° B.50° C.60° D.40° 线 20% B30° D B 第1题图 第2题图 第6题图 内 2.如图，∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB,可以证明△BAD兰 △BCD的理由是 A.HL B.ASA C.SAS D.AAS 3.用反证法证明命题：“在△ABC中，若AB=AC,则∠B<90°。” 时，第一步应先假设 不 ! A.∠B>90 B.∠B≥90° C.∠B<90° D.∠B≠90° 量 4.已知正n边形的一个内角为144°，则边数n的值是( A.7 B.8 C.9 D.10 得 5.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角 为 ( A.40° B.100° C.40°或70° D.40°或100° 答6.（项城期末)近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争 取的重要项目，如图，A,B,C三地都想将高铁站的修建项目落 拼 户在当地，但是，国资委为了使A,B,C三地的民众都能享受高 铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A,B,C三地距离都相 架 题 等的地方，则高铁站应建在 ( A.AB,BC两边垂直平分线的交点处 A问 B.AB,BC两边高线的交点处 C.AB,BC两边中线的交点处 D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处 7.（焦作期末)如图，∠AOE=∠B0E=15°，EF∥OB,EC⊥OB于 点C。若CE=3,则OF的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 B E -C 0 F A 米N 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，∠A=80°，∠C=40°，分别以点B和点C为 圆心，大于2BC的长为半径画弧，两弧相交于M,N两点，作直 线MN,交边AC于点D,连接BD,则∠ABD的度数为（) A.10 B.20° C.25° D.30° 9.（白银期末)如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点， DE⊥AB,垂足为E。若AE=3,则△ABC的边长为（) A.12 B.10 C.8 D.6 B 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，点D,E, F分别是点P关于直线AC,AB,BC的对称点，给出下面三个 结论：①AE=AD;②∠DPE=90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA =360°。上述结论中，所有正确结论的序号是 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 12.在△ABC中，若AB=AC=5,∠B=60°，则BC的长为 13.（宝丰期末)如图所示，在△ABC中，∠A=55°，∠B:∠A= 5:11,CD是∠ACB的平分线，则∠BCD= B B D C B4 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在△ABC中，AC=5,BC=6,BC边上的高AD=4。若点 P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 15.（太原期末)如图，在△ABC中，AB=12cm,AC=10cm,∠A= 60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q 从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动 点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为 0 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(兰州期末·8分)如图，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC= 31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D,CE平分 ∠ACD,交AD于点E。求∠AEC的度数。 B c 17.（西安未央区期末·9分)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D 在AC上，且BD平分∠ABC,过点D作DE⊥AB于点E,若CD =3,AD=5,求AE的长度。 18.（运城期末·9分)正多边形的每条边都相等，每个角都相等。 已知正x边形的内角和为1080°，边长为2。 (1)求正x边形的周长； (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度 数小63°，求n的值。 19.（平顶山期末·9分)如图1，△ABC中，AB=AC,BD平分 ∠ABC交AC于点D,且BD=BC。 (1)求∠A的度数； (2)若点E为线段AB的中点，连接DE,如图2，判断直线DE 与AB的位置关系，并说明理由。 图1 图2 20.（10分)如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一 点，BD=DE,且EF垂直平分AC,交AC于点F,连接AE。 (1)若∠BAE=50°，求∠C的度数； (2)若△ABC的周长为20，AC=8,求DC的长。 B D E 21.（驻马店期末·10分)阅读材料：小明遇到这样一个问题：如 图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，求证：BC= 4B。小明研究发现，在AB上截取BD=BC,连接CD,经过 推理和计算就能解决问题。 (1)请根据小明的思路完成本题的证明过程； (2)利用(1)中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，AB= AC,且∠ABC=15°，AB=4。求点C到直线AB的距离。 D B 图1 图2 22.（10分)如图，已知AB=AC=AD。 (1)如图1，若∠D=32°，∠BAC=20°，则∠DBC=°； (2)如图2，当∠BCA=2∠ADB时， ①求证：AD∥BC; ②过点D作DE⊥AB,垂足为E。若DE=6cm,求点D到 AC的距离。 A B C B 图1 图2 23.（郑州二七区期末改编·10分)在学习了角的平分线的性质 之后，小明同学做了如下的实验：画∠AOB=90°，并画∠AOB 的平分线OC。把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点E,F。 (1)若PE⊥OA,PF⊥OB(如图1)，小明发现PE=PF,请帮小弥 明证明； (2)把三角尺绕点P旋转至如图2所示的位置，小明发现PE 与PF仍然相等，请帮小明证明； (3)聪明好学的小明接着进行了如下探究：画∠A0B=50°，并 画LAOB的平分线OC,在OC上任取一点P,作∠EPF=封 130°。∠EPF的两边分别与OA,OB相交于E,F两点（如 图3)，小明发现PE与PF仍然相等，请帮小明证明。 A A 线 图1 图2 图3 内 不 ! 得 答 题 !