专题突破与巩固(2) 勾股定理-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（人教版·新教材）

参考答案 专题突破与巩固（一） ® 1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.C 10.A【解析】由条件可知两个阴影小正方形的边长分别 是√28cm=2W7cm,√50cm=5V2cm,.大正方形的 边长是(2√7+5√2)cm,∴.大正方形的面积是(2√7+ 5√2)2=(78+20√14)cm2,∴.余下部分的面积=大正 方形的面积-阴影部分的面积=(78+20√/14)-28- 50=20/14(cm2).故选：A. 11.8(答案不唯-一)12.-√213.②14.4√7 15.26【解析】：a=5,b=6,c=7,p=a+b+e= 2 5+6+2=9,s=V(p-a)(p-b(p-c= 2 √9×(9-5)×(9-6)×(9-7)=6√6，设AC边上的 高的长为kS=6h=6,6,h=2x66=26. 6 故答案为：26. 16.解：(1)原式=43-2W5+12√3=145； (2)原式=4-5-(3-43+4)=-1-7+43=45 -8. 17.解：任务一：①； 任务二：原式=(5)2+23+(5)2-25+1=3+ 23+3-2W3+1=7. 18.解：(1)小明； (2)当x=-2027时，x-3<0,x+2√x2-6x+9=x +2√(x-3)2=x+2|x-3|=x+2(3-x)=6- (-2027)=2033 19解：(1)将A=45代人，得=2=5=3 答：从45m高空抛物到落地的时间t为3s; (2)将1=4代人得√语=4，解得=60=8m 2 答：玩具抛出前离地面的高度h为80m. 20.解：(1)根据题意，得c-3≥0,3-c≥0，∴.c=3, ∴.a-√2+√b-2=0,则a-√2=0，b-2=0,∴.a= V2,b=2; (2)当a是腰长、b是底边，则等腰三角形的周长为√2 +V2+2=22+2;当b是腰长、a是底边，则等腰三角 形的周长为√2+2+2=√2+4. 21.解：(1)3-√3，-2-2； (2)m+√5与5-√5是关于3的平衡数.理由如下：由题 意，得(m+5)(1-√5)=m-√5m+5-5=(m-5) +(-m+1)×√5，(m+W5)(1-√5)=-7+35， .-7+35=(m-5)+（-m+1)N5,.m-5=-7, .m=-2,.m+5=-2+√5，则-2+√5+5-V5= 3,.m+√5与5-√5是关于3的平衡数； (3)√13. 22.解：(1)1+ 1 1 三十…十 3+1√5+3√万+5 √121+√119 B-1+5,5+万，5+…+2T。9- 2 2 2 2 2 (5-1+5-5++11-9)=2(-1+1) =5; (2)①a=1= 2+1 =V2+1,.a-1 √2-1(2-1)(2+1) =2,.(a-1)2=a2-2a+1=2,.a2-2a=1,3a2 -6a=3,∴.3a2-6a+2=5; ②1,3； 23.解：(1)√4+23=√/(3)2+25+1=√(3+1)2 =5+1； (2)√9-4√5=√(5)2-45+22=√(5-2)2= 5-2; (3)(x+5y)2=x2+25y+3y2,a+105=(x+ 60g=t2w+300即 aa,7为正整致化或；当 1xy=5, 1y=1, 时a=2+3:+3x5=76:当时a =x2+3y2=52+3×12=28.综上所述，a的值为76 或28. 专题突破与巩固（二） 1.B2.B3.C4.D5.A6.A7.D8.B9.B 10.C【解析】设OA=OB=AD=BC=x寸，过点D作DE 1AB于E,图略，则DE=10寸，0E=2CD=1寸，AE =(x-1)寸.在Rt△ADE中，根据勾股定理，AE2+DE2 =A0,即(x-1)2+10=,解得x-19故门的宽度 (两扇门的和)A为：20A=2×19=101(寸)，故 选：C. 11.1512.8413.16914.3 15.3【解析】小：∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,∴.根据 勾股定理，AB=√AC2+BC=√62+82=10cm,:折 叠，.∠AED=∠C=90°，AE=AC=6cm,DE=DC, ∴.∠BED=90°，BE=AB-AE=4cm,根据勾股定理， BD2=DE2+BE2,.（8-CD)2=CD2+42,解得CD= 3cm.故答案为：3. 16.证明：CD⊥AB,.∠ADC=∠BDC=90°，AD=1, BD=4,CD=2,.根据勾股定理，AC2=AD2+CD2=12+ 22=5,BC2=CD2+BD2=22+42=20,AB=AD+BD=1 +4=5,.AB2=25,AC2+BC=AB2,△ABC是直 角三角形，∴.LACB=90°. 17.解：(1)根据题意，根据勾股定理，c2=a2+b2=82+152 =289,∴.c=17; （2)a:b=3:4,∴.设a=3x,b=4x,根据勾股定理，c2= a2+b2=(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,.c=5x=10, .x=2,∴.a=3x=6,b=4x=8. 18.解：(1)∠D=90°.理由如下：连接AC,图略，：∠B= 90°，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∴.在Rt△ABC 中，AC2=AB2+BC2=202+152=625,CD2=72=49, AD2=242=576,.AC2=AD2+CD2,.△ADC是以AC 为斜边的直角三角形，.∠D=90°； (2)由(1)可知△ADC是直角三角形，·.S四边形BCD= Sac+Sa=7AB·BC+7AD:CD=7×20X15 +2×24×7=150+84=234,四边形ABCD的面积 1 为234. 19.解：由题意可知，BC=50m,AC=130m,∴.在Rt△ABC 中，根据勾股定理，AB=√AC2-BC2=√1302-502= 120(m),∴.大巴车的速度为120÷4=30m/s=108km/h, .108km/h>100km/h,∴.大巴车超速了. 20.解：(1)∠C=90°，AC=4,AB=4√5，.BC= √DA+AE2=2√2.在△ODE中，根据三角形三边关系 √AB2-AC=√(45)2-42=8，即BC的长为8； 可知DE+OE>OD,∴.当O,E,D三点共线时，OD最大 (2)设AD=DB=x,由(1)知，BC=8,则DC=8-x, 为0E+DE=2√2+2.故选：B. :∠C=90°，AC=4,∴.在Rt△ACD中，AD2=CD2+ 11.AB=BC(答案不唯一）12.1813.814.2√10 AC2,.x2=(8-x)2+42,解得x=5,即BD的长为5. 21.解：(1)如图1，过点A作AE⊥CD于点E,则AE=BD= 15.号【解析】连接0P,国客：矩形ABCD的两边AB= 15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根 3,BC=4,S矩形GD=AB·BC=12,0A=0C,0B= 据勾股定理，CE=√AC2-AE=√17-152=8，.CD 0D,AC=BD,AC=√AB2+BC=√32+42=5， =CE+ED=8+1.5=9.5(m). 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m; 3,OA=OD= (2)不能成功.理由如下：假设能上升12m,如图2，延 长DC至点F,连接AF,则CF=12m,∴.EF=CE+ +Sam=20A·PE+2oD,PF=20A(PE+PP)） CF=8+12=20(m),在Rt△AEF中，根据勾股定理， AF=√AE+EF2=√152+202=25(m),:AC=17 =号×是x(PE+pP)=3PE+PF=是故答家 1 m,余线仅剩7.5m,.17+7.5=24.5<25,.不能上升 12m,即不能成功. 为号 16.证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, AB∥CD,.∠BAC=∠DCA,在△AEB和△CFD中， rAB=CD ∠BAE=∠DCF,△ABE≌△CDF,·.∠ABE LAE CF, =∠CDF E E 17.解：(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°， D B .∠AEB=∠DAF,又：DF⊥AE,∴.∠DFA=90° 图1 图2 22.解：(1)根据题意，得AC+BC=8m,:∠A=90°，设AC .∠DFA=∠B,又AD=EA,.△ADF≌△EAB (AAS),∴.DF=AB; 长为xm,则BC长为(8-x)m,在Rt△ABC中，根据勾 股定理，AB2+AC2=BC2,即42+x2=(8-x)2,解得x= (2):∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90° 3,故旗杆在距地面3m处折断； .∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF,DF=AB,.AD =2AB=10. (2)如图，点P距地面AP=3-1.25=1.75(m), ∴.B'P=8-1.75=6.25(m),在Rt△AB'P中，根据勾 18.解：(1)四边形ABCD是正方形，AD∥BC,AD= BC,∴.∠DAE=∠BCF..DE∥BF,∴.∠DEF=∠BFE, 股定理，B'A=√B'P2-AP2=√6.252-1.75=6，则 .:∠DEF+∠DEA=180°，∠BFE+∠BFC=180°， 距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险， .∴.∠DEA=∠BFC,∴.△ADE≌△CBF(AAS); ∴.在距离旗杆底部5m处有被砸伤的风险. (2)9-3√2. 19.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°， EG⊥AC,.∠AGE=90°，∠ABC=∠AGE=90°， yF为AB的中点，BF=4,GF=7AE,BF =AG; 23.解：(1)Se=2(a+b)(a+b)=22+ab+8, (2)BF-GF-AE-AFLBAF-LABF,LGAF =∠AGF,∴.∠BFE=2∠BAF,∠EFG=2∠GAF, 2 ab=ab :∠ACB=40°，.∠BAC=50°，即∠BAF+∠GAF= 50°，∴.∠BFG=∠BFE+∠EFG=2∠BAF+2∠GAF= +7cb+2=02+ah+28,即a2+6=d; 2∠BAC=100°. (2)设AC=AB=x千米，则AH=(x-1.8)千米，在 20.解：(1)证明：点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， Rt△ACH中，根据勾股定理，AC2=C+A,即x2= ∴DE∥CF,DE=7BC,DF∥CE,DF=AC四边形 2.42+(x-1.8)2,解得x=2.5,即CA=2.5千米，CA -CH=2.5-2.4=0.1(千米)，∴.新路CH比原路CA DECF是平行四边形，AC=BC,.DE=DF,四边形 少0.1千米： DFCE是菱形； (3)设AH=x,则BH=7-x,在Rt△ACH中，根据勾股 (2)过E作EG⊥BC于点G,如图.：AC=BC,∠B= 定理，C=CA2-AH,在Rt△BCH中，根据勾股定理， 67.5°，.∠B=∠A=67.5°，.∠C=45°，.在Rt Cm=GB-Bf,52-2=6-(1-2,解得x-9 △CGE中，EG=CC,:AC=8,E是AC的中点，.CE= 2AC=4,在R△CEG中，根据勾股定理，EG2+CG。 专题突破与巩固（三） 1.D2.B3.C4.B5.A6.B7.B8.C9.D CE2,∴.EG=CG=2V2,菱形DFCE的面积=2√2×4 10.B【解析】取AB中，点E,连接0E,M =8√2. DE,OD,如图..'∠MON=90°，AB= 4,0E=7AB=2,AB= 24B=2, 在Rt△DAE中，根据勾股定理，DE=》数学·八年级下 R 高升无 专题突破与巩固（二） 做好题考高分 勾股定理 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 号 二 三 总分 得 分 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 封 那 1.(信阳期末)将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直 角三角形的是 ( A.2,3,4 B.5,12,13 C.8,16,17 D.12,18,22 线 2.（周口期末)如图，古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长 绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结 应标的数字是 ( T A.12 B.13 C.14 D.15 款 内 2 45678 A C B水平面 第2题图 第5题图 第7题图 不 3.在Rt△ABC中，斜边BC=4,则AB2+BC+AC2的值为( A.12 B.22 C.32 D.无法计算 4.（漯河某校月考)下列各图是以直角三角形各边为边，在三角 崇 形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在 得 正方形的面积.其中S的值恰好等于10的是 答 B C D 5.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和 B,然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长 了 题 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 烂 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+c)(a- 2A0 c)=b2,则 A.∠A为直角 B.∠B为直角 C.∠C为直角 D.∠A是锐角 7.(安阳文峰区期末)如图，将一扇卷闸门用一块两直角边分别 为12cm和5cm的直角三角形木板撑住，用这块木板最多可 将这扇卷闸门撑起 A.5 cm B.7 cm C.12 cm D.13 cm 8.直角三角形中，斜边长为10cm,周长为24cm,则它的面积 为 A.12 cm2 B.24 cm2 C.30 cm2 D.30 cm2 9.如图，圆柱形玻璃杯，高为8dm,底面周长为30dm,在杯外壁 点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的A处，则蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离是 A.15 dm B.17 dm C.19 dm D.23 dm 10.(许昌建安区期末)《九章算术》是古代东方数学代表作，书 中记载：今有开门去阃（读kǔn,门槛的意思）一尺，不合二 寸，问门广几何？题目大意是：如图1,2（图2为图1的平面 示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点 D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是 2寸 D DIC 门槛B 1尺 0 图1 图2 A.50.5寸B.52寸 C.101寸 D.104寸 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.已知直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边长 是 12.（商丘期末)一个三角形花坛的三边长分别为7m,24m, 25m,则这个花坛的面积是 m2. 13.如图，BC长为3cm,AB长为4cm,AF长为12cm.正方形 CDEF的面积为 cm2. B D 第13题图 第14题图 第15题图 14.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古 代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角 三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形 较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的 面积为25，则小正方形的边长为 15.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC= 8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，则CD的长等于 cm. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D.AD=1,BD=4, CD=2。求证：∠ACB=90°. 17.（开封期末·9分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=8,b=15,求c; (2)若a:b=3:4,c=10,求a,b的值 18.（9分)如图，四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD =24,∠B=90°. (1)∠D=90吗？请说明理由； (2)求四边形ABCD的面积. 19.(9分)某条高速公路限速100k/h,如图，一辆大巴车在这 条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测 仪C处的正前方50m的B处，过了4s,大巴车到达A处，此 时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m.问题：这辆大 巴车超速了吗？ AO -0B ic 检测仪 20.（9分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=45. (1)求BC的长度； (2)D是BC上的一点，并且AD=DB,求BD的长 21.（贵阳期末改编·10分)在“欢乐周末·非遗市集”活动现 场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客、市民看花了眼、 “迷”住了心.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解 决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水 平距离BD为15m;根据手中余线长度，计算出AC的长度为 17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m.已知点A, B,C,D在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD; (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向 再上升12m,请问能否成功？请运用数学知识说明. 22.(10分)如图，一根直立的旗杆高8，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m. (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的 点P处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点P处吹 断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ B 23.(绵阳期末·11分)【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图1），其中四个直角三角形较大的直角 边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形 的面积可以表示为c2,也可以表示为4×2ab+(a-b),由弥 此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2. 【探索求证】 (1)古今中外，勾股定理有很多种证明方法，如图2，Rt△ADE 封 与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD,其中∠A= ∠B=∠DEC=90°，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原线 有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到 A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新 建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条 路CH,且CH⊥AB.测得CH=2.4千米，HB=1.8千米，求 内 新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 (3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB,AC=5,BC=6, AB=7,设AH=x,求x的值 不 ! 得 图2 图3 答 题 1