专题突破与巩固(1) 二次根式-【锦上添花】2025-2026学年八年级下册数学期末卷（人教版·新教材）

》数学·八年级下 专题突破与巩固（一） ® 高升无航 做好题考高分 二次根式 时间：100分钟 满分：120分 弥 题 号 一 三 总分 得 分 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其 封 中只有一个是正确的) 那 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( A.5 1 B.3 C.√12 D.√50 线2若代数式4在实数范围内有意义，则实数m的取值范围 m-3 是 A.m≤4 B.m≤4且m≠3 C.m>4 D.m<4且m≠3 款 内 3.下列算式计算正确的是 A.2+3=5 B.√2×5=5 C.5-2=1 D.√2+32=42 4.已知7=a,√70=b,则√4.9用a,b表示为 () 不 ! 治 B.a-b ca D.atb 10 10 5.(开封期末)实数a在数轴上的位置如图所示，化简a-1|+ 崇 √(a-2)2= 得 0 2 A.2a-3 B.1 C.-3 D.-1 6伤计2 ×√5的值应在 答 A.-1和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间 7.若a+b=3,ab=1,则a3b+2a2b2+ab3的值为 ( 洲 A.1 B.3 C.6 D.9 阳 题 8.(信阳期末)老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成 二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成 2A 步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是 每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子 出现错误的是 ( 老师 小明 小丽 2+8》 ÷3 √12÷3+ 1 8÷3 4+6 小红 小亮 /1 2+36 26 A.小明和小丽 B.小丽和小红 C.小红和小亮 D.小丽和小亮 9.(黄冈期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为 √3，则最后输出的结果是 ( A.25 B.27 C.15+73 D.25+5 28 cm 否 输入n计算n(n+l) <26是输出 50 cm 结果 第9题图 第10题图 10.如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个 小正方形，则余下部分的面积为 ( A.20W14cm2 B.10√14cm2 C.78 cm2 D.(47+102)cm2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.能使√m-7在实数范围内有意义的m的值可以是 (写出一个即可) 12.计算3，⑧-332的结果是 13.(商丘期末)若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在如图 所示的数轴上的 段 3 第13题图 第15题图 14.对于任意正实数a,b,定义一种新的运算：a※b=√a+√ab 例：3※4=√3+√3×4=√3+23=3√3.按照这种运算方法， 则7※9= 15.(安阳文峰区期末)如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记p 8+令，那么三角形的面积为S=-a0-b0-0. 如图，在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,a=5,b =6,c=7,则AC边上的高的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分)计算： 12D-6+34s: (2)(2+5)(2-√5)-(3-2)2. 17.（许昌建安区期末·9分)下面是小雷同学在做数学作业时的 解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： W3(3+2)+(3-1)2 解：原式=(3)2+23+(3)2-1① =3+2W3+3-1② =5+23③ 任务一：小雷同学的解答过程是从第 步开始出现错 误的；（写步骤序号） 任务二：请你写出正确的解答过程， 18.(西安临潼区期末·9分)求代数式a+√1-2a+a2的值，其 中a=10.如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是错误的； (2)求代数式x+2√x-6x+9的值，其中x=-2027. 解：原式=a+(1-a) 解：原式=a+(1-a) =a+1-a =a+a-1 =1 =19 小明 小颖 19.（9分)安全问题，时刻警醒.高空坠物严重威胁着人们的“头顶 安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用 时很短，常常避让不及造成伤害.经过查阅相关资料，小南同学 得到高空坠物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似 满足公式t=, 2巫.（不考虑风速的影响，g=10N/kg) (1)求从45m高空抛物到落地的时间t; (2)若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上.求玩具抛 出前离地面的高度h. 20.(武汉汉阳区期末·9分)若实数a,b,c满足a-2+ √b-2=√C-3+√3-c (1)求a,b,c; (2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边，求这个等腰三 角形的周长 2 21.(9分)若x+y=3,则称x和y是关于3的平衡数. (1)3与 是关于3的平衡数；5+√2与 是关 于3的平衡数； (2)已知m为整数，若(m+5)(1-√5)=-7+35，那么m +√5与5-√5是关于3的平衡数吗？请说明理由； (3)已知a=m+5,ab=n+7W5,m,n为整数，a和b是关于 3的平衡数，则√m-n= 22.(10分)小明在解决问题：已知a=,1,求2a2-8a+1 2+W5 的值 他是这样分析与解的：“a=。1 2-√3 =2 2+3(2+√5)(2-3) 3,a=2-3,.(a-2)2=3,a2-4a+4=3,a2-4a =-1,.2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：。1 1 、1 1 +15+3万+5+…+ 一 √121+19 (2)若a=。1求： 5-1 ①求3a2-6a+2的值； ②直接写出代数式的值：a-3a2+a+2=一，2a2 -5a+1+3= 23.（大同期末·10分)数学教育家波利亚曾说：对一个数学问 题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这 是数学解题的一个重要原则.有这样一类题目：如何将双重二 次根式√a±2石化简，如果你能找到两个数m,n,使m2+n2 弥 =a且mn=√b,则a±2b可变形为m2+n2±2mn,即(m± n)2,从而使√a±2√6得以化简.例如：：5+2√6=3+2+2√6 =(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2,.√W5+26= √(3+2)2=5+2=5+2， 封 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：√4+23； (2)化简：√9-4√5； 线 (3)若a+103=(x+3y)2,且a,x,y为正整数，求a的值. 内 不 得 答 ©参考答案 专题突破与巩固（一） ® 1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.C 10.A【解析】由条件可知两个阴影小正方形的边长分别 是√28cm=2W7cm,√50cm=5V2cm,.大正方形的 边长是(2√7+5√2)cm,∴.大正方形的面积是(2√7+ 5√2)2=(78+20√14)cm2,∴.余下部分的面积=大正 方形的面积-阴影部分的面积=(78+20√/14)-28- 50=20/14(cm2).故选：A. 11.8(答案不唯-一)12.-√213.②14.4√7 15.26【解析】：a=5,b=6,c=7,p=a+b+e= 2 5+6+2=9,s=V(p-a)(p-b(p-c= 2 √9×(9-5)×(9-6)×(9-7)=6√6，设AC边上的 高的长为kS=6h=6,6,h=2x66=26. 6 故答案为：26. 16.解：(1)原式=43-2W5+12√3=145； (2)原式=4-5-(3-43+4)=-1-7+43=45 -8. 17.解：任务一：①； 任务二：原式=(5)2+23+(5)2-25+1=3+ 23+3-2W3+1=7. 18.解：(1)小明； (2)当x=-2027时，x-3<0,x+2√x2-6x+9=x +2√(x-3)2=x+2|x-3|=x+2(3-x)=6- (-2027)=2033 19解：(1)将A=45代人，得=2=5=3 答：从45m高空抛物到落地的时间t为3s; (2)将1=4代人得√语=4，解得=60=8m 2 答：玩具抛出前离地面的高度h为80m. 20.解：(1)根据题意，得c-3≥0,3-c≥0，∴.c=3, ∴.a-√2+√b-2=0,则a-√2=0，b-2=0,∴.a= V2,b=2; (2)当a是腰长、b是底边，则等腰三角形的周长为√2 +V2+2=22+2;当b是腰长、a是底边，则等腰三角 形的周长为√2+2+2=√2+4. 21.解：(1)3-√3，-2-2； (2)m+√5与5-√5是关于3的平衡数.理由如下：由题 意，得(m+5)(1-√5)=m-√5m+5-5=(m-5) +(-m+1)×√5，(m+W5)(1-√5)=-7+35， .-7+35=(m-5)+（-m+1)N5,.m-5=-7, .m=-2,.m+5=-2+√5，则-2+√5+5-V5= 3,.m+√5与5-√5是关于3的平衡数； (3)√13. 22.解：(1)1+ 1 1 三十…十 3+1√5+3√万+5 √121+√119 B-1+5,5+万，5+…+2T。9- 2 2 2 2 2 (5-1+5-5++11-9)=2(-1+1) =5; (2)①a=1= 2+1 =V2+1,.a-1 √2-1(2-1)(2+1) =2,.(a-1)2=a2-2a+1=2,.a2-2a=1,3a2 -6a=3,∴.3a2-6a+2=5; ②1,3； 23.解：(1)√4+23=√/(3)2+25+1=√(3+1)2 =5+1； (2)√9-4√5=√(5)2-45+22=√(5-2)2= 5-2; (3)(x+5y)2=x2+25y+3y2,a+105=(x+ 60g=t2w+300即 aa,7为正整致化或；当 1xy=5, 1y=1, 时a=2+3:+3x5=76:当时a =x2+3y2=52+3×12=28.综上所述，a的值为76 或28. 专题突破与巩固（二） 1.B2.B3.C4.D5.A6.A7.D8.B9.B 10.C【解析】设OA=OB=AD=BC=x寸，过点D作DE 1AB于E,图略，则DE=10寸，0E=2CD=1寸，AE =(x-1)寸.在Rt△ADE中，根据勾股定理，AE2+DE2 =A0,即(x-1)2+10=,解得x-19故门的宽度 (两扇门的和)A为：20A=2×19=101(寸)，故 选：C. 11.1512.8413.16914.3 15.3【解析】小：∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,∴.根据 勾股定理，AB=√AC2+BC=√62+82=10cm,:折 叠，.∠AED=∠C=90°，AE=AC=6cm,DE=DC, ∴.∠BED=90°，BE=AB-AE=4cm,根据勾股定理， BD2=DE2+BE2,.（8-CD)2=CD2+42,解得CD= 3cm.故答案为：3. 16.证明：CD⊥AB,.∠ADC=∠BDC=90°，AD=1, BD=4,CD=2,.根据勾股定理，AC2=AD2+CD2=12+ 22=5,BC2=CD2+BD2=22+42=20,AB=AD+BD=1 +4=5,.AB2=25,AC2+BC=AB2,△ABC是直 角三角形，∴.LACB=90°. 17.解：(1)根据题意，根据勾股定理，c2=a2+b2=82+152 =289,∴.c=17; （2)a:b=3:4,∴.设a=3x,b=4x,根据勾股定理，c2= a2+b2=(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,.c=5x=10, .x=2,∴.a=3x=6,b=4x=8. 18.解：(1)∠D=90°.理由如下：连接AC,图略，：∠B= 90°，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∴.在Rt△ABC 中，AC2=AB2+BC2=202+152=625,CD2=72=49, AD2=242=576,.AC2=AD2+CD2,.△ADC是以AC 为斜边的直角三角形，.∠D=90°； (2)由(1)可知△ADC是直角三角形，·.S四边形BCD= Sac+Sa=7AB·BC+7AD:CD=7×20X15 +2×24×7=150+84=234,四边形ABCD的面积 1 为234. 19.解：由题意可知，BC=50m,AC=130m,∴.在Rt△ABC 中，根据勾股定理，AB=√AC2-BC2=√1302-502= 120(m),∴.大巴车的速度为120÷4=30m/s=108km/h, .108km/h>100km/h,∴.大巴车超速了. 20.解：(1)∠C=90°，AC=4,AB=4√5，.BC= √DA+AE2=2√2.在△ODE中，根据三角形三边关系 √AB2-AC=√(45)2-42=8，即BC的长为8； 可知DE+OE>OD,∴.当O,E,D三点共线时，OD最大 (2)设AD=DB=x,由(1)知，BC=8,则DC=8-x, 为0E+DE=2√2+2.故选：B. :∠C=90°，AC=4,∴.在Rt△ACD中，AD2=CD2+ 11.AB=BC(答案不唯一）12.1813.814.2√10 AC2,.x2=(8-x)2+42,解得x=5,即BD的长为5. 21.解：(1)如图1，过点A作AE⊥CD于点E,则AE=BD= 15.号【解析】连接0P,国客：矩形ABCD的两边AB= 15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根 3,BC=4,S矩形GD=AB·BC=12,0A=0C,0B= 据勾股定理，CE=√AC2-AE=√17-152=8，.CD 0D,AC=BD,AC=√AB2+BC=√32+42=5， =CE+ED=8+1.5=9.5(m). 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m; 3,OA=OD= (2)不能成功.理由如下：假设能上升12m,如图2，延 长DC至点F,连接AF,则CF=12m,∴.EF=CE+ +Sam=20A·PE+2oD,PF=20A(PE+PP)） CF=8+12=20(m),在Rt△AEF中，根据勾股定理， AF=√AE+EF2=√152+202=25(m),:AC=17 =号×是x(PE+pP)=3PE+PF=是故答家 1 m,余线仅剩7.5m,.17+7.5=24.5<25,.不能上升 12m,即不能成功. 为号 16.证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, AB∥CD,.∠BAC=∠DCA,在△AEB和△CFD中， rAB=CD ∠BAE=∠DCF,△ABE≌△CDF,·.∠ABE LAE CF, =∠CDF E E 17.解：(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°， D B .∠AEB=∠DAF,又：DF⊥AE,∴.∠DFA=90° 图1 图2 22.解：(1)根据题意，得AC+BC=8m,:∠A=90°，设AC .∠DFA=∠B,又AD=EA,.△ADF≌△EAB (AAS),∴.DF=AB; 长为xm,则BC长为(8-x)m,在Rt△ABC中，根据勾 股定理，AB2+AC2=BC2,即42+x2=(8-x)2,解得x= (2):∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90° 3,故旗杆在距地面3m处折断； .∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF,DF=AB,.AD =2AB=10. (2)如图，点P距地面AP=3-1.25=1.75(m), ∴.B'P=8-1.75=6.25(m),在Rt△AB'P中，根据勾 18.解：(1)四边形ABCD是正方形，AD∥BC,AD= BC,∴.∠DAE=∠BCF..DE∥BF,∴.∠DEF=∠BFE, 股定理，B'A=√B'P2-AP2=√6.252-1.75=6，则 .:∠DEF+∠DEA=180°，∠BFE+∠BFC=180°， 距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险， .∴.∠DEA=∠BFC,∴.△ADE≌△CBF(AAS); ∴.在距离旗杆底部5m处有被砸伤的风险. (2)9-3√2. 19.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°， EG⊥AC,.∠AGE=90°，∠ABC=∠AGE=90°， yF为AB的中点，BF=4,GF=7AE,BF =AG; 23.解：(1)Se=2(a+b)(a+b)=22+ab+8, (2)BF-GF-AE-AFLBAF-LABF,LGAF =∠AGF,∴.∠BFE=2∠BAF,∠EFG=2∠GAF, 2 ab=ab :∠ACB=40°，.∠BAC=50°，即∠BAF+∠GAF= 50°，∴.∠BFG=∠BFE+∠EFG=2∠BAF+2∠GAF= +7cb+2=02+ah+28,即a2+6=d; 2∠BAC=100°. (2)设AC=AB=x千米，则AH=(x-1.8)千米，在 20.解：(1)证明：点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点， Rt△ACH中，根据勾股定理，AC2=C+A,即x2= ∴DE∥CF,DE=7BC,DF∥CE,DF=AC四边形 2.42+(x-1.8)2,解得x=2.5,即CA=2.5千米，CA -CH=2.5-2.4=0.1(千米)，∴.新路CH比原路CA DECF是平行四边形，AC=BC,.DE=DF,四边形 少0.1千米： DFCE是菱形； (3)设AH=x,则BH=7-x,在Rt△ACH中，根据勾股 (2)过E作EG⊥BC于点G,如图.：AC=BC,∠B= 定理，C=CA2-AH,在Rt△BCH中，根据勾股定理， 67.5°，.∠B=∠A=67.5°，.∠C=45°，.在Rt Cm=GB-Bf,52-2=6-(1-2,解得x-9 △CGE中，EG=CC,:AC=8,E是AC的中点，.CE= 2AC=4,在R△CEG中，根据勾股定理，EG2+CG。 专题突破与巩固（三） 1.D2.B3.C4.B5.A6.B7.B8.C9.D CE2,∴.EG=CG=2V2,菱形DFCE的面积=2√2×4 10.B【解析】取AB中，点E,连接0E,M =8√2. DE,OD,如图..'∠MON=90°，AB= 4,0E=7AB=2,AB= 24B=2, 在Rt△DAE中，根据勾股定理，DE=