江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末小题练习5

**基本信息** 聚焦高一数学期末高频考点，以小题形式系统整合立体几何、三角函数等模块，通过典例解析提炼坐标法、定理应用等解题方法，体现知识逻辑与核心素养融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|4题|线面平行性质、异面直线角转化|空间线面关系推导| |三角函数|3题|图像平移、奇偶性判定|性质与图像变换逻辑| |解三角形|2题|余弦定理+二次函数最值|定理应用与最值探究| |复数与向量|2题|共轭复数性质、坐标法|概念与运算关联|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习5 1.在矩形中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2.已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. （    ） A． B． C． D． 4.已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 5.蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6.已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 7.（多选）已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若互为共轭复数，，则的虚部为 B．若互为共轭复数，，则 C．若互为共轭复数，则 D．若，则 8.（多选）函数的图象关于对称，且，则（    ） A． B．C． D． 9.已知的内角所对的边分别是，若，则的值为 ． 10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是 ． 11.一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则______n mile;设灯塔在处的南偏西度,则______. 12.如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 13.如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习5解析版 1.在矩形中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：C． 2.已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 4. （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，所以，所以. 故选：B 4.已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，连接，， 则四边形是平行四边形，，于是是异面直线与所成角或其补角，由，棱两两的夹角均为， 得都是正三角形，即，则， 所以异面直线与所成角为.故选：C 5.蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以正六边形的顶点为坐标原点， 所在直线为轴， 所以直线为轴，建立平面直角坐标系： 则，，设，则，则， 所以. 6.已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 7.（多选）已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若互为共轭复数，，则的虚部为 B．若互为共轭复数，，则 C．若互为共轭复数，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，，则，故的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设，则， 所以，，故C正确； 对于D，取，则，但不都为0，故D错误． 8.（多选）函数的图象关于对称，且，则（    ） A． B．C． D． 【详解】由题意知函数， 函数的图象关于对称， 则，即，化简即得， 又，即 ，即，A正确； 又，C正确； ，B错误； ，D正确，故选： 9.已知的内角所对的边分别是，若，则的值为 ． 【详解】由正弦定理，得.所以. 10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是 ． 【详解】由题意得函数， 又是奇函数，所以，解得，又， 所以当时，取得最小值．故答案为： 11.一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则______n mile;设灯塔在处的南偏西度,则______. 【答案】 36 60 【详解】解:由题意画草图如下: 在中,由已知得,,则,. 由正弦定理,得,在中,由余弦定理, 得 即,,,从而, 所以灯塔在处的南偏西.故答案为: 12.如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 【答案】 【详解】依题意，以射线为终边的角， 时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得.故答案为：. 13.如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 【答案】 【详解】 如图，设的中点为，连接，，分别为，的中点， 则,,又， 所以四边形都是平行四边形， 所以，，又平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，即平面为平面， 线段为平面与底面的交线，易得； 连接，因为，所以为动直线AP与的夹角，，过作（H为垂足），则， 在中，由等面积法可得，得， 又,所以． 即动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $