江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学综合练习2

**基本信息** 以复数、向量、立体几何、三角函数为核心，通过基础概念辨析与综合应用题型，系统训练数学抽象、逻辑推理及空间想象能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|单选1-2、6、9|复数纯虚数判定、向量垂直与投影|从代数形式到几何意义，体现数与形的转化| |立体几何|单选3-4、8、11、14、解答16、18|线面关系判断、圆台体积、棱台截面、三棱锥外接球与内切球|从空间基本关系到几何体度量，构建空间观念| |三角函数|单选5、7、10、填空12、解答15、17、19|三角恒等变换、图像性质、解三角形|从函数图像到三角形边角关系，强化数学建模与运算能力|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期综合练习2 1、 单选题 1.若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 2.已知向量，，若与垂直，则实数t的值为（   ） A．0 B． C． D． 3．对于直线和不重合的平面，，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深为6cm时，则盆内水的体积为（    ）    A． B． C． D． 5．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 8．在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） （第10题图） （第11题图） （第13题图） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11.如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 3、 填空题 12.已知、为锐角，，，则_________. 13.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 14.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______. 4、 解答题 15.已知函数，. (1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间. 16.一副三角板（为等腰直角三角形，，为直角三角形,）按如图所示的方式拼接，现将沿边折起，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 17.如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 18.如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 19.已知分别为三个内角的对边，，． (1)求； (2)若的面积为． ①求的周长； ②如图，若为线段上（不含端点）的两个动点，，求的取值范围． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期综合练习2 一、单选题 1.若（）为纯虚数，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】， 因为为纯虚数，所以，且，所以. 2.已知向量，，若与垂直，则实数t的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】，且，由题意可知，，得. 故选：D 3．对于直线和不重合的平面，，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【【详解】对于A，若，，则可能相交，如图，故A错误； 对于B，若，，由线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，，则可能平行，如图，故C错误； 对于D，若，，，则可能，如图，故D错误. 故选：B. 4.龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深为6cm时，则盆内水的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示, 画出圆台的立体图形和轴截面平面图形, 并延长 EC 与FD交于点G.    根据题意, , 设 ,所以 ,解得 , 所以 ,故选: B. 5．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以. 故选：A. 6．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，，所以，得到， 所以， 设与的夹角为，则， 所以在上的投影向量为：，故选：D. 7.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ，代入得.由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 8．在正四棱台中，，侧棱，若为的中点，则过，，三点截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取的中点，连接，则， 又，则，又根据正四棱台的性质得， 则为等腰梯形，即过，，三点截面为等腰梯形． 取的中点，连接，在等腰梯形中，， 则，， 在等腰梯形中，，， 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积．故选：A． 二、多选题 9.下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为 ，故D正确. 故选：BCD 10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，又，所以，所以． 对于A：当时，，故A正确；对于B：当时，为最小值， 故的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数： 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时， 的取值范围是，故D正确．故选：ABD 11.如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 【答案】ABD 【详解】对于A，连接交于点，则为的重心，连接． 因为，所以，平面，平面， 所以平面，平面，平面与平面的交线为， 则，故，故A错误；对于B，若在上存在点，则， 当与重合时，取最小值为，故B错； 对于C，当时，因为，，， 所以，则，即． 又平面，平面，． ，平面，平面平面， 平面平面，故C正确； 对于D，过作交于点．若在上存在点，使得， 则．又，，平面． 平面，所以平面，又平面， ，矛盾．故D错． 故选：ABD. 三、填空题 12.已知、为锐角，，，则_________. 【答案】 【详解】因为，为锐角，则，，可得， 且、为锐角，则，所以.故答案为：. 13.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，，，代入得，； ．故答案为：3 14.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______. 【详解】解：设三棱锥中，面，面，面两两垂直，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，可设三条侧棱的长度分别为a，b，c， 由题意可得：，解得， 设三棱锥的外接球半径为，则，即， 外接球的体积； 设三棱锥的内切球半径为，由勾股定理可知：， 则， 则有， 解得：，则表面积为：.   故答案为：； 四、解答题 15.已知函数，. (1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间. 【详解】（1） 0 x 0 2 0 0 函数图象如图所示， （2）由，可知； 令，， 得，. 所以函数的单调递增区间：，. 16.一副三角板（为等腰直角三角形，，为直角三角形,）按如图所示的方式拼接，现将沿边折起，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）因为面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC， CD⊥BC，CD面BCD， 所以CD⊥面ABC，又AB面ABC，则AB⊥CD， 又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD面ACD ，所以AB⊥面ACD； （2）因为AB⊥面ACD，AD为BD在面ACD内的射影，则为BD与平面ACD所成角，设，则，因为，则． 因为AB⊥面ACD，AD面ACD，所以AB⊥AD， 在中，， 则． 所以BD与平面ACD所成角的余弦值为． 17.如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 【详解】（1）当时，，则为的中点， 所以，即 ，所以， （2）在△中，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，即，解得， 因为，所以，所以， 因为，所以， ，解得或（舍去），故. 18.如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平面平面 (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，所以平面. （2）∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴，又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3）∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴，则直线与平面所成角的正切值为. 19.已知分别为三个内角的对边，，． (1)求； (2)若的面积为． ①求的周长； ②如图，若为线段上（不含端点）的两个动点，，求的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理可得：， 在中，， 所以， 所以， 因为在中，，所以， 所以，所以， 因为，所以 ； （2）①因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以周长为 ； ②由，得，代入， 可得：，解得：或， 所以或，如图可知：， 所以，故，， 由正弦定理可得：， 所以，， 设，其中， 则，， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 所以， 因为，则，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $