专题03多边形与平行四边形期末易错与压轴专练(18大题型共计63道)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦多边形与平行四边形高频易错点及压轴题型，通过分类梳理题型特征与解题思路，系统构建从概念应用到综合创新的突破路径，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形截角问题|3题|分类三种裁剪路径，对应边数变化|从多边形边数概念延伸至动态变化，培养分类讨论思维| |平行四边形性质证明|综合题|提取对边/对角/对角线性质，结合全等证明|性质与判定的逻辑互推，强化几何直观| |折叠与动点综合|4题|折叠全等转化+动点线段表达式+方程求解|静态性质与动态变化结合，构建模型意识| |存在性问题|3题|分三类对角线用中点坐标公式求顶点|坐标系与几何性质融合，提升空间观念|

专题03多边形与平行四边形期末易错与压轴专练 本专练聚焦多边形与平行四边形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.多边形截角后的边数问题 易错02.多边形截角后的内角和问题 易错03.多(少)算一个角问题 易错04.多边形对角线条数问题 易错05平面镶嵌 易错06.多边形外角和的实际应用 易错07.多边形内角和与外角和综合 易错08.利用平行四边形性质证明 易错09.添条件成为平行四边形 易错10.三角形中位线证明问题 易错11.三角形中位线实际应用 易错12.利用平行线间的距离解决问题 易错13.由平行四边形性质与判定证明 压轴14.平行四边形与折叠问题 压轴15.平行四边形与动点问题 压轴16.平行四边形存在性问题 压轴17.平行四边形与最值问题 压轴18.平行四边形与坐标系综合 易错01.多边形截角后的边数问题 题型特征：多边形剪去一角，无指定裁剪方式，无图，分三种情况，极易漏解。 解题思路：① 区分三种裁剪路径：过2顶点、过1顶点1边、过2条邻边；② 对应写出三种边数变化，完整罗列所有结果。 1．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 2．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 3．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 易错02.多边形截角后的内角和问题 题型特征：两类考法：已知原边数求截角后内角和；已知截角内角和反求原边数。 解题思路：① 利用截角三种情况，得到全部可能新边数；② 代入内角和公式(n-2)×180计算；③ 反向题型逐一验证，筛选合理答案。 4．将一个多边形按图所示减掉一个角，所得多边形的内角和为，那么原多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5．一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（    ） A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17 6．一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为则原多边形的边数为（    ） A．5或6或7 B．6或7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 7．小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 易错03.多(少)算一个角问题 题型特征：计算内角和时错加/漏加一个未知内角，给出错误总和，求边数与错算角度。 解题思路：① 设边数n，错算内角x，限定0<x<180；② 根据多算/少算列出对应不定方程；③ 用总和÷180取余数，结合范围求出整数n，再算x。 8．小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 9．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 10．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 11．小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？ 易错04.多边形对角线条数问题 题型特征：已知边数求对角线；已知对角线总数反求边数。 解题思路：① 记牢公式：单顶点对角线n-3，总对角线；② 已知边数直接代入求值；③ 已知对角线总数列方程，舍去负数解。 12．一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（  ） A． B． C． D． 13．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．一个多边形从一个顶点出发可以画条对角线，那么这个多边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 15．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 易错05平面镶嵌 题型特征：判断单一/多种正多边形能否密铺，含判断题、计算题。 解题思路：① 核心条件：拼接点内角和为360；② 单一密铺：计算内角，能整除360°即可；③ 组合密铺：列方程求正整数解。 16．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（     ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 17．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 ________度．    18．用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 19．为提升居民生活品质，某社区启动老旧小区改造工程，其中一项重点任务是翻新小区中心广场．施工团队计划用不同形状的地砖铺设广场地面，并对广场周边的花坛进行几何造型设计． 地砖铺设方案：施工团队准备使用正三角形地砖和正方形地砖拼接图案．已知正三角形地砖的每个内角为，正方形地砖的每个内角为．在拼接时，两种地砖的边需完全重合． 花坛设计方案：花坛设计成多边形造型，其中一个五边形花坛，施工人员在测量角度时，得，，，与的度数比为． 解答问题： (1)求五边形花坛中和的度数． (2)若要使用正三角形地砖和正方形地砖密铺地面（即拼接处不留空隙、不重叠），在一个拼接点处，正三角形地砖和正方形地砖各需要多少块？（提示：密铺时拼接点处角度之和为） (3)若要使用三种正多边形地砖密铺地面（即拼接处不留空隙、不重叠），请设计一种铺设方案． 易错06.多边形外角和的实际应用 题型特征：绕封闭图形行走、机器人转弯，求总转角或转弯次数。 解题思路：① 任意多边形外角和恒为360；② 总转弯度数固定360°，总度数÷单次转角=转弯次数。 20．小钟读到一篇名为《东方窗棂之美》的文章，文中配了这样一张图片（见图1）．图里满是形态各异、大小不一的多边形，看似毫无规律，却奇妙地交织出一种独特的自然和谐之美，尽显东方窗棂独有的韵味．如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是________． . 21．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 22．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 易错07.多边形内角和与外角和综合 题型特征：给出内角和、外角和倍数/差值关系，求边数。 解题思路：① 外角和固定360°，写出内角和(n-2)×180；② 根据题意列一元一次方程求解n。 23．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．14 24．如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 25．一个多边形的内角和是它的外角和5倍，这个多边形的边数是（   ） A．8边 B．10边 C．12边 D．不能确定 26．多边形的内角和与外角和的有关计算： (1)一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； (2)一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 易错08.利用平行四边形性质证明 题型特征：已知四边形是平行四边形，证线段相等、角相等、三角形全等。 解题思路：① 提取平行四边形性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；② 标记图中等边、等角，凑全等判定条件；③ 完成全等或边角关系证明。 27．如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 28．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 29．如图，在中，对角线，相交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：． (2)若，求的长． 易错09.添条件成为平行四边形 题型特征：给出部分边角条件，补充一个条件使四边形为平行四边形，易踩陷阱。 解题思路：① 熟记平行四边形五条判定定理；② 排除陷阱：一组对边平行另一组相等不能判定；③ 选取最简有效条件填写。 30．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 31．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 32．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 易错10.三角形中位线证明问题 题型特征：图形存在三角形两边中点，证平行、二倍线段关系。 解题思路：① 识别中点连线为中位线；② 直接使用中位线定理书写结论。 33．如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 34．如图，在平行四边形中，，于点，点，分别是，的中点，连接，，，与交于点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是______．（填写所以正确结论的序号） 35．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． . 易错11.三角形中位线实际应用 题型特征：障碍物遮挡，无法直接测量线段长度，测距类应用题。 解题思路：① 构造含待测线段的三角形，取两边中点；② 待测长度=中位线长度×2，代入计算。 36．如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 37．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．80° 38．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 易错12.利用平行线间的距离解决问题 题型特征：平行线间有三角形、平行四边形，求面积、线段长。 解题思路：① 平行线间垂线段长度全部相等；② 同底等高图形面积相等，替换底高简化计算。 39．如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 40．如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 41．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 易错13.由平行四边形性质与判定证明 题型特征：两步大题，先证平行四边形，再推导边角结论。 解题思路：① 第一步用判定定理证四边形是平行四边形；② 第二步使用平行四边形性质； ③ 结合全等、平行线推出最终结论。 42．如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 43．如图，在中，点D在线段上，点F在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为 __． 44．如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 压轴14.平行四边形与折叠问题 题型特征：平行四边形沿直线折叠，求边长、角度。 解题思路：① 折叠前后对应边、对应角完全相等；② 结合平行四边形平行关系推导等角，设未知数；③ 勾股定理/内角和列方程求解。 45．如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 46．如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处，若，则的长为________． 47．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 48．如图，在中，F为边上的一个动点，连接． (1)当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； (2)如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 压轴15.平行四边形与动点问题 题型特征：边上动点匀速运动，求时间t使图形满足特定条件。 解题思路：① 用含t的式子表示动线段长度；② 根据平行四边形对边相等列方程； ③ 结合动点范围，舍去不符合题意的解。 49．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 50．如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 51．如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 52．如图，在中，，，连接，恰有．过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)的长度为 ，的长度为 ，的周长为 ； (2)①用含的式子表示； ②试判断是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离． .压轴16.平行四边形存在性问题 题型特征：坐标系内三点固定，找点D，四点构成平行四边形，易漏解。 解题思路：① 分三类讨论对角线：AB、AC、BC分别为对角线；② 用中点坐标公式求出每种情况D点坐标；③ 汇总全部坐标，不遗漏。 53．在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是_________． 54．在四边形中，，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向D运动，点F从点B出发以的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t为_____________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 55．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 压轴17.平行四边形与最值问题 题型特征：平行四边形内动点，求线段、周长最小值，常结合将军饮马。 解题思路：① 利用平行四边形对边相等转化线段；② 依据垂线段最短、两点之间线段最短求最值；③ 对称变换构造最短路径。 56．如图，在平行四边形中，平行四边形的面积是32，，点H，G分别是，上的动点，连接，点E，F分别是的中点，则的最小值是______． 57．如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为__________． 58．如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    59．如图，，，P在边上从点B向点C运动做匀速直线运动．始终有（E在直线上），，于点F．G为的中点，Q点从G点沿某方向做匀速直线运动，速度与F点相等，连接．Q，P同时出发，当最小时两点同时停止运动．Q，P两点停止运动时的最小值为________． 压轴18.平行四边形与坐标系综合 题型特征：坐标系给点坐标，证平行四边形、求面积、动点坐标、第四顶点。 解题思路：① 坐标算线段长度、判断直线平行；② 三点求第四点用对角线中点重合； ③ 底乘高计算图形面积。 60．如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 61．在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____． 62．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 63．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积． (2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03多边形与平行四边形期末易错与压轴专练 本专练聚焦多边形与平行四边形章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.多边形截角后的边数问题 易错02.多边形截角后的内角和问题 易错03.多(少)算一个角问题 易错04.多边形对角线条数问题 易错05平面镶嵌 易错06.多边形外角和的实际应用 易错07.多边形内角和与外角和综合 易错08.利用平行四边形性质证明 易错09.添条件成为平行四边形 易错10.三角形中位线证明问题 易错11.三角形中位线实际应用 易错12.利用平行线间的距离解决问题 易错13.由平行四边形性质与判定证明 压轴14.平行四边形与折叠问题 压轴15.平行四边形与动点问题 压轴16.平行四边形存在性问题 压轴17.平行四边形与最值问题 压轴18.平行四边形与坐标系综合 易错01.多边形截角后的边数问题 题型特征：多边形剪去一角，无指定裁剪方式，无图，分三种情况，极易漏解。 解题思路：① 区分三种裁剪路径：过2顶点、过1顶点1边、过2条邻边；② 对应写出三种边数变化，完整罗列所有结果。 1．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的角，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 2．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 3．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 易错02.多边形截角后的内角和问题 题型特征：两类考法：已知原边数求截角后内角和；已知截角内角和反求原边数。 解题思路：① 利用截角三种情况，得到全部可能新边数；② 代入内角和公式(n-2)×180计算；③ 反向题型逐一验证，筛选合理答案。 4．将一个多边形按图所示减掉一个角，所得多边形的内角和为，那么原多边形的边数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先根据多边形的内角和公式（n−2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据图中截去一个角后边数增加1进行计算即可． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n， 则（n−2）•180°＝1800°， 解得n＝12， ∵截去一个角后边上增加1， ∴原来多边形的边数是11， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 5．一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（    ） A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17 【答案】A 【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则（n-2）•180°=2340°， 解得：n=15， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16， 所以多边形的边数可以为14，15或16． 故选：A． 【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键． 6．一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为则原多边形的边数为（    ） A．5或6或7 B．6或7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 【答案】C 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n， 根据题意得， 解得：， 若沿对角线截去一个角，则原来的是9边形；当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：（1）过多边形的一个顶点，则原来的是8边形；（2）不过多边形的顶点，则原来的是7边形. 则多边形的边数是7或8或9，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 7．小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】13或14或15 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为14， 则多边形的边数是13或14或15． 易错03.多(少)算一个角问题 题型特征：计算内角和时错加/漏加一个未知内角，给出错误总和，求边数与错算角度。 解题思路：① 设边数n，错算内角x，限定0<x<180；② 根据多算/少算列出对应不定方程；③ 用总和÷180取余数，结合范围求出整数n，再算x。 8．小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】设少输入内角的度数是x，根据多边形内角和公式列出等式，再根据多边形边数为正整数即可求解． 【详解】解：设少输入的这个内角的度数是x， 根据多边形的内角和公式得：， ∴ ， ∵n是正整数，， ∴，． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握n边形的内角和是解题的关键． 9．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 10．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 11．小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？ 【答案】 【分析】设多边形的边数为，由题意可得，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 为整数， ， 多加外角的度数． 【点睛】本题考查了对变形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 易错04.多边形对角线条数问题 题型特征：已知边数求对角线；已知对角线总数反求边数。 解题思路：① 记牢公式：单顶点对角线n-3，总对角线；② 已知边数直接代入求值；③ 已知对角线总数列方程，舍去负数解。 12．一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对角线定义，从多边形一个顶点出发，不能与自身和相邻顶点连接形成对角线，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵该多边形为六边形，边数， 从多边形一个顶点出发，不能与自身以及相邻的个顶点连接成对角线， ∴可画出的对角线条数为， 将代入得， ∴一个六边形从一个顶点出发能画出条对角线． 13．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据边形从一个顶点出发最多可引出条对角线，根据题意列方程即可求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵边形从一个顶点出发最多能引出条对角线， ∴， 解得， 则这个多边形的边数为． 14．一个多边形从一个顶点出发可以画条对角线，那么这个多边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的对角线（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线）．解题的关键：边形从一个顶点出发可引出条对角线，其内角和为．据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为， ∵从这个多边形的一个顶点出发可以画条对角线， ∴， 解得：， ∴， ∴这个多边形的内角和为． 故选：B． 15．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次， 由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线， ∴过个顶点可以作条对角线， 但每条对角线重复一次， ∴边形所有对角线的条数有条， 故选：． 易错05平面镶嵌 题型特征：判断单一/多种正多边形能否密铺，含判断题、计算题。 解题思路：① 核心条件：拼接点内角和为360；② 单一密铺：计算内角，能整除360°即可；③ 组合密铺：列方程求正整数解。 16．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（     ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】密铺的核心条件是围绕一点拼接的多边形内角和恰好等于，即正多边形的单个内角度数能整除时，才可单独密铺，计算各选项内角度数即可判断． 【详解】解：A. 正三角形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； B. 正四边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； C. 正六边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； D. 正八边形每个内角为 ， ，不是整数，不能整除， 不能单独密铺，符合题意． 17．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为 ________度．    【答案】150 【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为，据此求出α即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴， 解得． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 18．用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】B 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为， ∴被围成图形的顶点处向外的角的度数为， ∴被围成图形的顶点处的内角的角度为， 设拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为， ∴， 解得，， 经检验，当时，原分式方程有意义， ∴拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为，即正六边形 ． 19．为提升居民生活品质，某社区启动老旧小区改造工程，其中一项重点任务是翻新小区中心广场．施工团队计划用不同形状的地砖铺设广场地面，并对广场周边的花坛进行几何造型设计． 地砖铺设方案：施工团队准备使用正三角形地砖和正方形地砖拼接图案．已知正三角形地砖的每个内角为，正方形地砖的每个内角为．在拼接时，两种地砖的边需完全重合． 花坛设计方案：花坛设计成多边形造型，其中一个五边形花坛，施工人员在测量角度时，得，，，与的度数比为． 解答问题： (1)求五边形花坛中和的度数． (2)若要使用正三角形地砖和正方形地砖密铺地面（即拼接处不留空隙、不重叠），在一个拼接点处，正三角形地砖和正方形地砖各需要多少块？（提示：密铺时拼接点处角度之和为） (3)若要使用三种正多边形地砖密铺地面（即拼接处不留空隙、不重叠），请设计一种铺设方案． 【答案】(1) (2)在一个拼接点处，正三角形地砖需要3块，正方形地砖需要2块 (3)1个正三角形+2个正方形+1个正六边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，正多边形的内角问题，熟练掌握计算公式是解题的关键． （1）先求出五边形内角和，再设，根据内角和列方程求解即可； （2）设正三角形地砖需要a块，正方形地砖需要b块．可列方程：，化简得：，再根据为正整数，确定的值； （3）只要满足相邻内角和等于即可． 【详解】（1）解：五边形的内角和为：， 与的度数比为， 设， 则可列方程：， 解得：， ， ． （2）解：设正三角形地砖需要a块，正方形地砖需要b块． 可得正三角形，正方形每个内角分别为， 可列方程：， 化简得：． 都应为正整数， ， 所以，在一个拼接点处，正三角形地砖需要3块，正方形地砖需要2块． （3）解：答案不唯一，正六边形内角为：， 如：1个正三角形2个正方形1个正六边形． 计算：，可密铺． 易错06.多边形外角和的实际应用 题型特征：绕封闭图形行走、机器人转弯，求总转角或转弯次数。 解题思路：① 任意多边形外角和恒为360；② 总转弯度数固定360°，总度数÷单次转角=转弯次数。 20．小钟读到一篇名为《东方窗棂之美》的文章，文中配了这样一张图片（见图1）．图里满是形态各异、大小不一的多边形，看似毫无规律，却奇妙地交织出一种独特的自然和谐之美，尽显东方窗棂独有的韵味．如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是________． . 【答案】/282度 【详解】解：多边形的外角和为， ， ， ． 21．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 【答案】24 【分析】由已知条件得走的图形是正多边形，且每个外角为，由外角和求出边数，即可求解． 【详解】解：第一次回到出发点A时， 走的图形是正多边形，且每个外角为， ， 解得， 共走路程为（米）． 22．如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1)360 (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵在五边形中， ∴ ． 易错07.多边形内角和与外角和综合 题型特征：给出内角和、外角和倍数/差值关系，求边数。 解题思路：① 外角和固定360°，写出内角和(n-2)×180；② 根据题意列一元一次方程求解n。 23．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据题意，得多边形的每个外角的度数都等于，根据边数等于求解即可； 【详解】解：根据题意，得多边形的每个外角的度数都等于， 故边数为：； 24．如图是正边形的一部分及它的一个外角，根据图中所给出的信息，的值是____． 【答案】 8/八 【分析】根据平角的定义列出关于α的方程，求出正边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于即可求出n的值． 【详解】由图可知，α与互为补角， ∴， 解得， ∵多边形的外角和为，且该多边形为正n边形， ∴． 25．一个多边形的内角和是它的外角和5倍，这个多边形的边数是（   ） A．8边 B．10边 C．12边 D．不能确定 【答案】C 【分析】考查了多边形的内角和、外角和，根据多边形的内角和为，外角和为列方程解答即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得， 故选：C． 26．多边形的内角和与外角和的有关计算： (1)一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； (2)一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 【答案】(1)它的边数是6 (2)它的边数是3 【分析】（1）先求出每一个外角的度数，再根据外角和定理求解； （2）设它的边数为 n，根据内角和公式和外角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一个多边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于． ∵， ∴这个多边形是六边形． （2）解：设它的边数为n，则有 ， 解得． ∴它的边数为3． 易错08.利用平行四边形性质证明 题型特征：已知四边形是平行四边形，证线段相等、角相等、三角形全等。 解题思路：① 提取平行四边形性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；② 标记图中等边、等角，凑全等判定条件；③ 完成全等或边角关系证明。 27．如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】通过作构造平行四边形，得，结合已知得，再证，从而，即． 【详解】如图，过点作交延长线于， ，， 在上，即 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 28．已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 _________________； 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和的周长是平行四边形周长的一半，可证明是线段的垂直平分线，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴． 29．如图，在中，对角线，相交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先结合平行四边形的性质得，再证明，则，即可作答． （2）先由得，再运用勾股定理列式计算得，又因为平行四边形的性质得，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 又， ∴， ∵， ∴在中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 易错09.添条件成为平行四边形 题型特征：给出部分边角条件，补充一个条件使四边形为平行四边形，易踩陷阱。 解题思路：① 熟记平行四边形五条判定定理；② 排除陷阱：一组对边平行另一组相等不能判定；③ 选取最简有效条件填写。 30．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 31．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴    ∴ ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合要求． ∵C中条件无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵ ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 32．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 易错10.三角形中位线证明问题 题型特征：图形存在三角形两边中点，证平行、二倍线段关系。 解题思路：① 识别中点连线为中位线；② 直接使用中位线定理书写结论。 33．如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理得到，，进而可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E，F，G，H分别为四边形边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是矩形，那么，则， 故选：D． 34．如图，在平行四边形中，，于点，点，分别是，的中点，连接，，，与交于点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是______．（填写所以正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质及菱形的判定判断①；根据全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质判断③；由中位线性质及平行四边形的判定与性质判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形，故①正确； 延长，交延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； 如图，作出线段的中点P，连接， P是线段的中点，F是线段的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，故④正确； 从现有条件无法推得②成立， 故答案为：①③④ 35．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． . 【答案】证明：如图，连接， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形． 【分析】连接，由中位线可得，，即可证四边形是平行四边形． 【详解】略 易错11.三角形中位线实际应用 题型特征：障碍物遮挡，无法直接测量线段长度，测距类应用题。 解题思路：① 构造含待测线段的三角形，取两边中点；② 待测长度=中位线长度×2，代入计算。 36．如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 【答案】A 【分析】先说明是的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 37．如图，将△ABC沿着它的中位线DE对折，点A落在F处．若∠C＝120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是（　　） A．140° B．120° C．100° D．80° 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理易求∠B的度数，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，所以∠B+∠DEB=180°，进而可求出∠FEB的度数． 【详解】解：∵∠C=120°，∠A=20°， ∴∠B=40°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， ∴∠B+∠DEB=180°，∠B=∠AED=∠DEF=40° ∴∠DEB=140°， ∴∠FEB=∠DEB-∠DEF=100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用、三角形内角和定理的运用以及平行线的性质，题目的综合性较强，难度一般． 38．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 易错12.利用平行线间的距离解决问题 题型特征：平行线间有三角形、平行四边形，求面积、线段长。 解题思路：① 平行线间垂线段长度全部相等；② 同底等高图形面积相等，替换底高简化计算。 39．如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离处处相等求解即可． 【详解】解：设到的距离为， ∵直线，点、在直线上， ∴到的距离为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为． 40．如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【分析】由点E是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          易错13.由平行四边形性质与判定证明 题型特征：两步大题，先证平行四边形，再推导边角结论。 解题思路：① 第一步用判定定理证四边形是平行四边形；② 第二步使用平行四边形性质； ③ 结合全等、平行线推出最终结论。 42．如图，平行四边形中，点E、F分别为边的中点，则图中共有平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质的判定． 根据点E、F分别为边的中点以及四边形是平行四边形，得出，，即可证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可求解； 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，又已知四边形是平行四边形， ∴题图中共有4个平行四边形． 故选：B． 43．如图，在中，点D在线段上，点F在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为 __． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形的面积等知识，连接，过A作交的延长线于点M，证四边形是平行四边形，再证，设平行四边形的边上的高为h，则，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过A作交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴， 同理：， ∴S△BDE+S△ADES平行四边形ACFM=6， ∴， 设平行四边形的边上的高为h， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 44．如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； (2)11 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及已知条件，可得，证明得出，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，根据（1）可得，则，在中，根据勾股定理求得长，由此即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）可得 ∴， 在中，， ∴， ∴． 压轴14.平行四边形与折叠问题 题型特征：平行四边形沿直线折叠，求边长、角度。 解题思路：① 折叠前后对应边、对应角完全相等；② 结合平行四边形平行关系推导等角，设未知数；③ 勾股定理/内角和列方程求解。 45．如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 【答案】 【分析】延长与交于点M，由平行四边形的性质得长度，，由折叠性质得的值和的值，进而得的值，再根据是等腰直角三角形，便可求得结果． 【详解】解：延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 则 即 ∴， 由折叠知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，关键是作辅助线构造直角三角形． 46．如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 作于M，先证明，，得到在中，根据勾股定理可得， 设，则，，得到， 代入求出x的值，即可解答． 【详解】解：作于M，如图所示 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理可得， 设，则，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 47．如图，在四边形纸片中，，，，，点是线段的中点，点在线段上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可知，所以当A，，E三点共线时，的长度最小，作交CD的延长线于点G，根据勾股定理分别求出的长度，即可求长度的最小值． 【详解】解：连接AE，过点A作交CD的延长线于点G， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 为CD的中点，， ， ， ； 由折叠可知，， ∴， 当A，，E共线时，的长度最小， 此时，， 故选：C 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形求AE的长度． 48．如图，在中，F为边上的一个动点，连接． (1)当点F为边的中点时 ①如图1，过点B作，垂足为E，连接，延长交的延长线于G，求证：； ②如图2，将沿折叠，点C落在内处，连接并延长交于点G．若，求的长； (2)如图3，当时，延长到，使得，点M是边上一点．连接交于点N，当，BM平分，时，求出的面积． 【答案】(1)①证明：①∵四边形为平行四边形， ． ，． ∵点F为边的中点， ． 在和中 ． ． ， ． ． ②6 (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得 ，则，，即可证明，则，结合直角三角形的性质即可证明；②由折叠得，，则有，则，即可得到，进一步证明四边形为平行四边形，则，即可证明，可求的长； （2）过点M作于H， 得出，．再证，求出，，可得，证明，则求出的面积． 【详解】（1）①略 ②将沿折叠，点C落在内处， ，． 点F为边的中点， ． ． ． ， ． ． ． ∵四边形为平行四边形， ，． ∴四边形为平行四边形． ． ，， ． ， ． ． （2）解：如图，过点M作于H， ， ． 四边形为平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． ． ， ． ． ． ． ． 在和中 ． ． 压轴15.平行四边形与动点问题 题型特征：边上动点匀速运动，求时间t使图形满足特定条件。 解题思路：① 用含t的式子表示动线段长度；② 根据平行四边形对边相等列方程； ③ 结合动点范围，舍去不符合题意的解。 49．如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理， 先根据中位线的定义和性质可得，再根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，然后根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得. 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 可知最小时，最小， 根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故选：D． 50．如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形和平行四边形的面积公式得到． 【详解】解：，分别是和的中点， ，， ， ， ， ， 与的面积之和不变． 故选：A． 51．如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形，勾股定理； 连接，根据三角形中位线定理可得，可得时，和取最小值，然后求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∴当时，和取最小值， ∵在中，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 52．如图，在中，，，连接，恰有．过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)的长度为 ，的长度为 ，的周长为 ； (2)①用含的式子表示； ②试判断是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离． 【答案】(1)12；；36 (2)①；②的值为或4； (3)点，之间的距离为或． 【分析】（1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解； （2）①分两种情况讨论，即可表示出； ②分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，， ，， ，，， ， ， 的周长为； 故答案为：12；；36； （2）解：①由题意得，， 当时，， 当时，； ∴； ②存在， 当为边即时， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当为对角线即时， 四边形是平行四边形， ， ， ， 综上所述：的值为或4； （3）解：如图，当点的对称点在线段上时，   ， ， 是等边三角形， ， ， ； 过点作于，则，， ，，， ， ， 在中， ； 如图，当点的对称点在线段的延长线上时，   ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ； 过点作于，则，， ，，， ， ， 在中， ； 综上所述：点，之间的距离为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． .压轴16.平行四边形存在性问题 题型特征：坐标系内三点固定，找点D，四点构成平行四边形，易漏解。 解题思路：① 分三类讨论对角线：AB、AC、BC分别为对角线；② 用中点坐标公式求出每种情况D点坐标；③ 汇总全部坐标，不遗漏。 53．在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是_________． 【答案】、或 【分析】本题考查了图形与坐标，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．根据以、、、 为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，分类讨论即可． 【详解】解：如图所示， 平行四边形的两组对边分别平行且相等， 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ， 综上所述，顶点的坐标为、或． 故答案为：、或． 54．在四边形中，，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向D运动，点F从点B出发以的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t为_____________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】分情况讨论，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由对边相等建立方程即可求出时间． 【详解】解：（），（）， ∵当其中一点到达终点，而另一点也随之停止， ∴第5秒时，两点运动终止； ①当点F在线段上（不与点重合）， ∵，， ∴， 此时，， 则有， 解得； ②如图，当点F在线段上（不与点重合），即， 则有， 解得． 综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 55．如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 压轴17.平行四边形与最值问题 题型特征：平行四边形内动点，求线段、周长最小值，常结合将军饮马。 解题思路：① 利用平行四边形对边相等转化线段；② 依据垂线段最短、两点之间线段最短求最值；③ 对称变换构造最短路径。 56．如图，在平行四边形中，平行四边形的面积是32，，点H，G分别是，上的动点，连接，点E，F分别是的中点，则的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理． 连接，过A作，根据点E为的中点，点F为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，过A作， ∵， ∴， ∵平行四边形的面积是32， ∴，即， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴， ∴最小时，取得最小值， ∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：2． 57．如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．作辅助线构造全等三角形是解题的关键； 过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在▱中，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 58．如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点B作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点B作且使，连接，，    ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 59．如图，，，P在边上从点B向点C运动做匀速直线运动．始终有（E在直线上），，于点F．G为的中点，Q点从G点沿某方向做匀速直线运动，速度与F点相等，连接．Q，P同时出发，当最小时两点同时停止运动．Q，P两点停止运动时的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线；连接交于，连接，，，先证明四边形为菱形，是等边三角形，即可得到，，利用勾股定理和直角三角形的性质得到，当时，最小，此时最小，此时与重合，为中点，再根据是中位线，是中位线，得到、、三点共线，且的运动轨迹为线段， 在上取一点，使，连接、，过作交于点，则，先证明，得到，则，最后根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：连接交于，连接，，， ∵， ， ∴四边形为菱形，是等边三角形， ∴，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时最小，，， ∴此时与重合， ∵G为的中点，，， ∴是中位线，是中位线，， ∴，，，， ∴、、三点共线，且的运动轨迹为线段， 在上取一点，使，连接、，过作交于点，则， ∵Q点从G点沿某方向做匀速直线运动，速度与F点相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴Q，P两点停止运动时的最小值为， 故答案为：． 压轴18.平行四边形与坐标系综合 题型特征：坐标系给点坐标，证平行四边形、求面积、动点坐标、第四顶点。 解题思路：① 坐标算线段长度、判断直线平行；② 三点求第四点用对角线中点重合； ③ 底乘高计算图形面积。 60．如图所示，的顶点P坐标是，顶点M坐标是，则顶点N坐标是_____________； 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质得，，再根据顶点O、P、M坐标可知，线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点，最后由平移的坐标特征即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴线段向右平移4个单位后与重合，其中点M是点O的对应点，点N是点P的对应点， ∴顶点N的坐标是． 61．在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等，结合点的坐标即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 62．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先根据作图判断平分，再结合平行四边形的性质证明，轴，进而设，结合勾股定理，利用建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点，点在轴的正半轴上， ∴轴，即轴， ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴，解得 ∴． 63．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求点C的坐标___；以及平行四边形的面积． (2)动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点的坐标为， (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键. （1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2）根据 ，利用三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可. 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵点的坐标为， 点的坐标为，； ∴点的坐标为，； （2）解：根据题意得： ， ∴， 即： ， ∴ ， 解得：. 即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半； （3）当时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示， 此时轴， 轴，， ， 根据平行四边形的性质，可知 ， 即；即： 即：. 故答案为：点的坐标为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $