2026年上海市市北初级中学中考冲刺数学试卷02

**基本信息** 立足中考冲刺，融合5G信号塔测量、《海岛算经》古算等真实情境，通过正六边形平移动态分析、圆与三角形动态问题等，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题24分|幂运算、反比例函数、函数图象分析|第4题无人机飞行高度图象分析，考查几何直观与数据分析| |填空题|12题48分|因式分解、概率、向量、解直角三角形|第16题《海岛算经》测量问题，体现文化传承与应用意识| |解答题|7题78分|新定义运算、几何证明、二次函数综合、圆动态问题|22题5G信号塔高度测量，融合坡比与仰角，考查模型构建；25题圆与三角形动态问题，发展推理能力与空间观念|

上海市市北初级中学北校2026届中考冲刺数学试卷02 学校:_________班级：________姓名：_________学号：_________ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是（　　） A．3y2﹣2y﹣1＝0 B．y2﹣2y﹣3＝0 C．y2+2y﹣3＝0 D．y2﹣3y﹣2＝0 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D．y＝x2+1 4．无人机在12分钟内的飞行高度h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．当t＝10时，h＝40 B．无人机飞行的最高高度约为50米 C．在6≤t≤12范围内，无人机有2次高度达到43米 D．前8分钟内，无人机的高度在持续上升 5．如图，在正六边形ABCDEF中，直线l从点F出发向右平移，且l⊥AB，设直线l在正六边形ABCDEF内部截得 的线段MN的长为y，平移的距离为x，y与x之间的函数关系的图形如图2所示，则正六边形的面积为（　　） A．2 B． C． D． 6．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN 是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解m2﹣16＝_________ ． 8．化简： _________ ． 9．方程的解是_______ ． 10．函数的定义域是_____． 11．若关于x的一元二次方程5x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　 ． 12．从﹣1，2，3，﹣6 这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点（m，n）在函数 y＝﹣3x图象上 的概率是　　 ． 13．点A（﹣2，y1），B（m，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象上；若y1＞y2， 写出一个符合条件的m的值_________ ． 14．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且，DE∥BC．设， 那么用向量、表示向量为 ________ ． 15．“黑发不知勤学早，白首方悔读书迟．”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的 课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生2000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有__________人． 16．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁， 直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点 观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为_____米． (，，) 17．如图1，点是以为半径的圆外一点，点在线段上，若满足，则称点是点关于圆的 “反演点”．如图2，在中，，，，圆的半径为2，如果点、分别是点、 关于圆的“反演点”，那么的长是________． 18．如图，已知中，，，将绕点旋转至， 如果直线，垂足记为点，那么的值为______． 三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19．计算： 20．解不等式组：. 21.定义运算“※”：a※b.（1）计算：3※（-4）；（2）画出函数y＝2※x的图象． 22．根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图， 它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示；有两个监测点分别在斜坡的端点 A点处与水平地面上的C点处；根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为 海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就 建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底 Q点的海拔高度为802米；检测员小李在检测基地的 A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为， 在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为， 测角仪的高度忽略不计．    问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 23．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高、相交于点，，与的延长线相交于点， 连接． （1）求证：；（2）求证：. 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点， 与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式；（2）当四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 25．已知⊙的半径为3，弦，中，，，．在平面上，先将和 ⊙按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙上，点C在⊙内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在⊙上随之移动． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）如图2，若点A在所对优弧上，且， 求点O到的距离；（3）若斜边经过点O，求的长． 上海市市北初级中学北校2026届中考冲刺数学试卷02 学校:_________班级：________姓名：_________学号：_________ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．【分析】本题考查了指数运算和幂的除法法则，解题关键是根据法则逐一验证各选项的正确性。 【解析】A、，任何非零数的零次方均为1，故A错误，不符合题意；B、，负数的 奇数次方结果仍为负，计算正确，故B正确，符合题意；C、，但选项中写为，系数位置错误， 故C错误，不符合题意；D、，而选项中结果为，符号错误， 故D错误，不符合题意；故选： B． 2．【解析】已知2，设y，∴即为y2，去分母得：y2﹣3＝2y，∴y2﹣2y﹣3＝0．故选：B． 3．【解析】A、y是正比例函数，故本选项不符合题意；B、y是反比例函数，故本选项符合题意； C、y不是反比例函数，故本选项不符合题意；D、y＝x2+1是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B． 4．【解析】由函数图象可得：A．当t＝10时，h＝40，故结论正确，不符合题意；B．无人机飞行的最高高度约为50米，故结论正确，不符合题意；C．在6≤t≤12范围内，无人机有2次高度达到43米，故结论正确，不符合题意； D．前5分钟内，无人机的高度在持续上升，5至6分钟，无人机的高度随t的增加而下降，故原结论错误，符合题意；故选：D． 5．如图，在正六边形ABCDEF中，直线l从点F出发向右平移，且l⊥AB，设直线l在正六边形ABCDEF内部截得 的线段MN的长为y，平移的距离为x，y与x之间的函数关系的图形如图2所示，则正六边形的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】取正六边形ABCDEF的中心O，连接OA，OC，OE，连接AE、AC、CE，可得正六边形ABCDEF面积 是等边△ACE的两倍，再根据等边三角形的面积公式求解即可．【解析】如图， 取正六边形ABCDEF的中心O，连接OA，OC，OE，则OA，OC，OE将正六边形ABCDEF分成三个菱形， 每个菱形都由两个与正六边形ABCDEF边长相等的等边三角形拼成，连接AE、AC、CE， 则正六边形ABCDEF被分成六个全等且底角是30°的等腰三角形，△ACE也是等边三角形， ∴正六边形ABCDEF面积是△ACE的两倍；由函数图象可知当l与线段DE有交点时， MN有最大值，即，正六边形ABCDEF面积是： ，故选：C． 6．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN 是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是 【分析】根据菱形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，然后根据给出的方案进行判定即可． 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵BM＝DN，∴OM＝ON，∵OA＝OC， MN⊥AC，∴四边形AMCN是菱形，故方案甲正确；∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∠BAC＝∠DAC，∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，∴∠MAC＝∠NAC，∵∠AOM＝∠AON＝90°， 在△AOM和△AON中，，∴△AOM≌△AON（ASA），∴OM＝ON，∵OA＝OC， ∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC⊥MN，∴四边形AMCN是菱形．故方案乙正确；故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．【解析】根据平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4），故答案为：（m+4）（m﹣4）． 8．【分析】先把减数的分母写成x﹣y的形式，然后按照同分母分式相减法则进行计算即可． 【解析】∵ ，故答案为：． 9．【解析】化为整式方程得x+2＝4，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解；故本题答案为：x＝2． 【总结】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根． 10．【分析】根据分母不为零即可解答．【解析】∵x+3≠0，∴x≠－3，故答案为：x≠－3． 11．【解析】由题知，因为关于x的一元二次方程5x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（k﹣1）＞0，解得．故答案为：． 12．从﹣1，2，3，﹣6 这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点（m，n）在函数 y＝﹣3x图象上的概率 是　　 ．【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）在函数y＝﹣3x图象 上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解析】从﹣1，2，3，﹣6 这四个数中任意选两个数，分别记作m，n， 作树状图得： 共有12种等可能的结果，其中点（m，n）在函数y＝﹣3x的图象上的有2种， 则点（m，n）在函数y＝﹣3x的图象上的概率是，故答案为：． 13．【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出m＜﹣2或m＞4． 【解析】∵y＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴点A（﹣2，y1）关于直线x＝1的对称点为（4，y1）， ∵点点A（﹣2，y1），B（m，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象上．且y1＞y2， ∴m＜﹣2或m＞4，∴m＝﹣3符合题意，故答案为：﹣3（答案不唯一）． 14．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且，DE∥BC．设， 那么用向量、表示向量为 　　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例得出，，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果． 【解析】∵DE∥BC，，∴，，∴，∴， ∴，故答案为：． 15．“黑发不知勤学早，白首方悔读书迟．”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的 课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生2000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有__________人． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合问题，样本估计总体，先求出被调查人数，再求出样本中最喜欢 科学类的人数，利用该校总人数乘以样本中喜欢科学类图书的学生人数所占的比求解即可． 【解析】被调查人数是：，样本中最喜欢科学类的人数是：(人) (人)，∴该校最喜欢科学类图书的学生大约有800人；故答案为：800． 16．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁， 直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点 观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为_____米． (，，) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用 是解题的关键．根据正切的定义得出，， 从而得到，，继而得解．【解析】由题意得，∵在，两点观察 山顶点，测得仰角分别为，，∴，，∴，，∴，，∴，∴的高度约为；故答案为：200． 17．如图1，点是以为半径的圆外一点，点在线段上，若满足，则称点是点关于圆的 “反演点”．如图2，在中，，，，圆的半径为2，如果点、分别是点、 关于圆的“反演点”，那么的长是________． 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先根据“反演点”的定义得出， 然后证明，得出，根据勾股定理求出，根据“反演点”的定义求出，即可求解． 【解析】∵点、分别是点A、B关于的反演点，∴，即， 又∵，∴，∴，∵的半径r为2，∴， ∴，∴，∴；故答案为：. 18．如图，已知中，，，将绕点旋转至， 如果直线，垂足记为点，那么的值为______． 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式 计算即可求解．【解析】∵中，，，∴，设， 则，，∵将绕点旋转至，∴， 则，，，， 如图，，，， ∴，∴，则，∴， ∴，∴； 如图，，，， ∴，∴，则，∴， ∴，∴；故答案为：或． 三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19．计算： 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根， 零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【解析】． 20．解不等式组：. 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定 不等式组的解集． 【解析】解不等式①，得，解不等式①，得，所以原不等式组的解集是． 21.定义运算“※”：a※b. （1）计算：3※（-4）；（2）画出函数y＝2※x的图象． 【分析】（1）根据新运算法则得出3※（-4）的值； （2）分类讨论：当x≥0时和x＜0时，分别写出y与x的关系式，再画出图象． 【解析】（1）∵-4，∴3※（-4）＝-3×（-4）＝12； （2）当x≥0时，y与x的关系式为y＝2x；当x＜0时，y与x的关系式为y＝﹣2x；列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 4 2 0 2 4 … 描点、连线，如图所示． 22．根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图， 它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示；有两个监测点分别在斜坡的端点 A点处与水平地面上的C点处；根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为 海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就 建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底 Q点的海拔高度为802米；检测员小李在检测基地的 A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为， 在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为， 测角仪的高度忽略不计．    问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 22．（1）；（2）36米. 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角和坡比问题，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交延长线于点，由题意得：米，米，则由勾股定理得 米，则，继而可求坡比；（2）过点A作交延长线于点，延长交 延长线于点，设，则，，在中，，则， 故，在中，，得到，即可求解． 【解析】（1）延长，过点A作，交延长线于点，   由题意得：米，米， 则由勾股定理得：米，∴， ∴斜坡的坡比为：； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点，   则由题意得：米，，米，米， 设，则，，在中，， ∴，∴， 在中，， ∴，解得：，答：这个5G信号塔的高度为36米． 23．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高、相交于点，，与的延长线相交于点， 连接． （1）求证：；（2）求证：. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得， 再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据全等三角形的判定证出 ，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行四边形的性质可得，由此即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得， 再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质即可得证． 【解析】（1）证明：，是等腰直角三角形，， 又，，， ，在和中，，， ，四边形是平行四边形，，． （2）证明：四边形是平行四边形，，，由（1）已证：，是等腰直角三角形，，， 在和中，，，，． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点， 与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式；（2）当四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 24．（1）；（2）；（3）或. 【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，通过平行西变形的性质得到点Q的坐标为，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求解即可； （3）当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作于点H，则有，证明可得，设点P坐标为，点R坐标为，由相似比得到，进而得，过点Q作轴于点K，设点Q坐标为，由得到关于m的方程求得m，进而完成解答． 【解析】（1）将代得，∴点A的坐标为，将， 代入，得：，解得∶ ，∴抛物线：； （2）如图，设点P的坐标为，∵四边形为平行四边形，∴，， 则点Q的坐标为，将代入，得： ，解得或，因为时，点P与C重合，不符合题意， 所以舍去，此时点P的坐标为； （3）当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作于点H， 则有，由平分，得， 则，∴，∴，设点P坐标为，点R坐标为， 所以有整理得：，在中， ，过点Q作轴于点K，设点Q坐标为， 若，则需，所以， 所以解得∶， 所以点Q坐标为或． 25．已知⊙的半径为3，弦，中，，，．在平面上，先将和 ⊙按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙上，点C在⊙内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在⊙上随之移动． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）如图2，若点A在所对优弧上，且， 求点O到的距离；（3）若斜边经过点O，求的长． 25．（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）如图1，连接，根据已知条件推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式得到的长度；（2）连接、，过A作于H，过O作于G，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，结合已知 ，可得，进而可得，由垂径定理可得，，再求得 ，由此求出；（3）如图，过O作于，过B作于点P，连接，根据相似求出和的长，从而求得的长，根据勾股定理求得和的长，再求出的长， 从而可以求出的长，即为t值． 【解析】（1）如解图1，连接，，是等边三角形， ，的长度； （2）如解图2，连接、，过A作于H，过O作于G， ∵，∴，，， ，∴，∴，又∵在的直径上， ∴，， ∴在中， ， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ，即点O到的距离为； （3）如图，过O作于，过B作于点P，连接， 情况1：如解图3-1，当点A在上，∵，，， ∴，， ，过点O，， ，在中，， ∵，∴，∴在中， ， 在中，，； 情况2：当点A在上，如解图3-2， 同理可求：；综上所述：的长或． 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $